Скорость

Немного истории <<	Оглавление	>> Время

---

$\textstyle \bullet$ Рассмотрим две инерциальные системы отсчёта $\textstyle S$ и $\textstyle S'$, двигающиеся с относительной скоростью $\textstyle v$. Пусть их оси $\textstyle x$ и $\textstyle x'$ направлены параллельно друг другу. Скорость системы $\textstyle S'$ относительно $\textstyle S$ равна $\textstyle v$, а скорость $\textstyle S$ относительно $\textstyle S'$, соответственно, "Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle -v} ":

Процедура согласования единиц измерений наблюдателей, находящихся в этих системах, такова, что свои линейки они сравнивают, расположив их перпендикулярно движению ("линии на заборе", стр. \pageref{line_on_wall}). Преобразования Лоренца, в которые добавлена неизменность координаты Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle y} , имеют вид:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t'=\frac{t - vx/c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x'=\frac{x-vt}{\sqrt{1-v^2/c^2}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;y'=y.}

(EQN)

Обычно мы будем записывать все соотношения для двумерного пространства Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle (x,y)} , помня, что в силу симметрии связь проекций векторов на ось Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle z} будет такой же, как и на ось Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle y} .

Ключевым понятием кинематики является событие. Предполагается, что оно имеет сколь угодно малые длительность и локализацию в пространстве. Событие характеризуется положением $\textstyle (x,y)$ и моментом времени Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle t} . Наблюдатели в каждой системе отсчета регистрируют подобное событие по своим приборам, получая значения Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle (t,x,y)} для Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle S} и Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle (t',x',y')} для Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle S'} . Напомним, что наблюдатели способны проводить измерения только в своей непосредственной окрестности. Поэтому каждую систему отсчета мы представляем "заполненной" такими наблюдателями. Данное событие регистрируют два наблюдателя в Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle S} и $\textstyle S'$, которые находятся в том месте, где произошло событие. Благодаря процедурам синхронизации и согласования единиц времени полученные ими наблюдения будут непротиворечиво восприняты и другими собратьями из их систем отсчета. Стоит помнить, что эффекты теории относительности проявляются при больших скоростях, и для получения заметных отличий от классической кинематики часто потребуется изучать большие расстояния. Поэтому введение множества наблюдателей оказывается достаточно полезным.

---

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \bullet} Обычно представляет интерес сравнение наблюдений не единичного события, а некоторого процесса. Будем считать, что процесс состоит из двух последовательных событий: его начала в момент времени Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle t_1} (в системе Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle S} ) и конца в момент Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle t_2} . Соответственно, его локализация в пространстве также характеризуется двумя точками Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle (x_1,y_1)} и Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle (x_2,y_2)} . Интервал времени между событиями и разность координат равны:

$\Delta t=t_{2}-t_{1},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Delta x=x_{2}-x_{1},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Delta y=y_{2}-y_{1}.$

(EQN)

Для каждого из этих двух событий можно записать преобразования Лоренца и вычесть их друг из друга. В силу линейности преобразований и постоянства скорости Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle v} для приращений справедливы преобразования лоренцевского вида:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta t' = \frac{\Delta t- v\Delta x/c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Delta x' = \frac{\Delta x - v\Delta t}{\sqrt{1-v^2/c^2}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Delta y'=\Delta y.}

(EQN)

---

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \bullet} Рассмотрим двигающийся в пространстве объект. Можно измерить его положение Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle (x_1,y_1)} в момент времени Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle t_1} , а затем положение Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle (x_2,y_2)} в момент времени $\textstyle t_{2}$. По определению, проекции его скорости Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \mathbf{u}=(u_x, u_y)} в системе Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle S} равны Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle u_x=\Delta x/\Delta t} , Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle u_y=\Delta y/\Delta t} , и, аналогично, со штрихами в Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle S'} . Из преобразований для приращений несложно найти связь между скоростями объекта для наблюдателей в системе Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle S} и $\textstyle S'$:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle u'_x =\frac{u_x-v}{1-u_xv/c^2},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;u'_y=\frac{u_y\sqrt{1-v^2/c^2}}{1-u_xv/c^2}. }

(EQN)

Часто удобнее использовать обращенные преобразования скорости. Их можно получить прямыми вычислениями, или, в силу эквивалентности инерциальных систем отсчета, просто изменив знак у скорости Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle v} :

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle u_x =\frac{u'_x+v}{1+u'_xv/c^2},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;u_y=\frac{u'_y\sqrt{1-v^2/c^2}}{1+u'_xv/c^2}. }

(EQN)

Если, например, мы стоим на перроне, и Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \mathbf{u}'=(u_x,u_y)} — это скорость мухи относительно поезда, который движется со скоростью $\textstyle v$, то скорость мухи относительно нас будет складываться из движения поезда и движения мухи. В классической механике это сложение имеет вид:

$u_{x}\approx u'_{x}+v,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;u_{y}\approx u'_{y}.$

(EQN)

В теории относительности подобные соотношения — лишь некоторое приближение, справедливое до тех пор, пока скорости поезда и мухи много меньше фундаментальной скорости $\textstyle c$.

---

$\textstyle \bullet$ Рассмотрим объект, двигающийся вдоль оси $\textstyle x$ с фундаментальной скоростью $\textstyle u_{x}=c$. Тогда в другой системе $\textstyle S'$ его скорость будет равна:

$c'={\frac {c-v}{1-cv/c^{2}}}=c.$

(EQN)

Таким образом объект, двигающийся со скоростью, равной "$\textstyle c$", в одной системе отсчета, будет иметь ту же скорость и в любой другой системе. Поэтому мы также называем $\textstyle c$ инвариантной скоростью.

При помощи преобразований () несложно ($\textstyle \lessdot$ H) проверить, что квадрат длины скорости $\textstyle \mathbf {u} ^{2}=u_{x}^{2}+u_{y}^{2}$ преобразуется следующим образом:

$1-{\frac {\mathbf {u} '^{2}}{c^{2}}}=\left(1-{\frac {\mathbf {u} ^{2}}{c^{2}}}\right)\cdot {\frac {1-\mathbf {v} ^{2}/c^{2}}{(1-\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} /c)^{2}}},$

(EQN)

где $\textstyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =u_{x}\,v$ — проекция скорости объекта $\textstyle \mathbf {u}$ на скорость системы $\textstyle \mathbf {v}$. Если в одной системе отсчета объект движется в произвольном направлении с фундаментальной скоростью $\textstyle \mathbf {u} ^{2}=c^{2}$, то и в другой инерциальной системе Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \mathbf{u}'^2=c^2} , поэтому Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle c} является инвариантной скоростью независимо от её направления.

Подобная инвариантность обычно в качестве постулата используется при выводе преобразований Лоренца. Однако это, на самом деле, следствие теории относительности, причем одно из наиболее необычных и непривычных для нашего обыденного опыта.

---

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \bullet} Фундаментальная скорость Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle c=299792458} м/с имеет единое значение для всех наблюдателей. Поэтому удобно так определить единицы времени, чтобы Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle c=1} . Например, можно в качестве "новой секунды" выбрать Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle 1/299792458} часть "старой секунды". Все формулы теории относительности в этой системе единиц будут выглядеть проще. Так, связь изменений координат и времени между двумя событиями, наблюдаемыми из систем $\textstyle S$ и Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle S'} , имеет вид:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta t' = \frac{\Delta t- v\Delta x}{\sqrt{1-v^2}},\;\;\;\;\;\;\;\Delta x' = \frac{\Delta x - v\Delta t}{\sqrt{1-v^2}},\;\;\;\;\;\Delta y'=\Delta y. }

(EQN)

Если в некоторой формуле мы хотим "восстановить" константу "Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle c} ", то величины, имеющие в своей размерности время в некоторой степени, должны умножаться на "Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle c} " в той же степени. Например, для времени Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle t} , скорости Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle u=dx/dt} и ускорения $\textstyle a=d^{2}x/dt^{2}$ совершаются следующие замены:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle t\mapsto ct,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;u\mapsto \frac{u}{c},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;a\mapsto \frac{a}{c^2}.}

(EQN)

Далее мы будем придерживаться системы единиц, в которой Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle c=1} .

---

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \bullet} Фундаментальная и инвариантная скорость "Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle c} " является также предельно возможной скоростью движения "материального" объекта. В самом деле, пусть наблюдатель в системе Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle S} создает своего клона и отправляет его в полет со скоростью Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle v} (система $\textstyle S_{1}$). Первый клон создает второго и "отправляет" его с той же скоростью относительно себя (система Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle S_2} ), и т.д. до бесконечности. В классической физике Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle n} -тый клон относительно системы Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle S} имел бы скорость Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle u_n=n\,v} , которая при Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle n\to\infty} также стремилась бы к бесконечности. В релятивистском мире скорость Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle n} -того и $\textstyle n-1$-го клонов относительно системы отсчета Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle S} связаны следующим образом (Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle c=1} ):

} \\ Если протабулировать это рекурсивное соотношение, начиная, например, с Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle u_1=v=1/2} , то получится график, приведенный справа. Скорость Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle u_n} при Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle n\to\infty} стремится к $\textstyle c=1$. Хотя $\textstyle u_{n}$ постоянно увеличивается, относительно наблюдателя в $\textstyle S$ каждая добавка становится всё меньше. При $\textstyle n\to \infty$ можно положить $\textstyle u_{n}=u_{n-1}=u_{\infty }$ и получить асимптотическое значение не зависящее от $\textstyle v$:

$u_{\infty }={\frac {u_{\infty }+v}{1+u_{\infty }\,v}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;\;\;u_{\infty }=1.$

(EQN)

Найдём явную зависимость $\textstyle u_{n}$ от $\textstyle n$. Для этого заметим, что при помощи гиперболического арктангенса ($\textstyle \lessdot$ C) закон сложения скоростей () вдоль оси $\textstyle x$ можно записать в линейном виде:

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \mathrm{ath}\,u_x)=\mathrm{ath}\,u'_x)+\mathrm{ath}\,v),\;\;\;\;\;\;\;где\;\;\;\mathrm{ath}\,v)=\frac{1}{2}\,\ln \frac{1+v}{1-v}.}

(EQN)

Поэтому $\textstyle \mathrm {ath} \,(u_{n})=\mathrm {ath} \,(u_{n-1})+\mathrm {ath} \,(v)=n\cdot \mathrm {ath} \,(v)$, откуда:

$u_{n}={\frac {1-w^{n}}{1+w^{n}}},$

(EQN)

где $\textstyle w=(1-v)/(1+v)<1$. Понятно, что при $\textstyle n\to \infty$, $\textstyle u_{n}\to 1$. Формула сложения скоростей, записанная при помощи гиперболического арктангенса, имеет важный геометрический смысл, который мы обсудим в шестой главе при рассмотрении пространства Лобачевского.

Кроме мысленного эксперимента, приведенного выше, существуют также веские энергетические причины предельности скорости "$\textstyle c$", которые будут изучены в следующей главе.

---

$\textstyle \bullet$ При помощи преобразований () несложно ($\textstyle \lessdot$ H) проверить, что для любых двух событий следующая комбинация приращений имеет одинаковое значение для наблюдателей из различных инерциальных систем отсчета:

$(\Delta s)^{2}=(\Delta t')^{2}-(\Delta x')^{2}-(\Delta y')^{2}=(\Delta t)^{2}-(\Delta x)^{2}-(\Delta y)^{2}.$

(EQN)

Величина $\textstyle \Delta s$ называется интервалом между событиями и является инвариантом преобразований Лоренца.

Если в некоторой точке $\textstyle (x_{1},y_{1})$ произошла вспышка света, распространяющаяся в виде сферической волны (в плоскости — окружность) со скоростью $\textstyle c=1$, то за время $\textstyle \Delta t$ её радиус $\textstyle R$ станет равным $\textstyle \Delta t$:

Следовательно, Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle (\Delta s)^2=0} , и такие интервалы называются светоподобными. Светоподобные интервалы возникают между событиями, которые можно связать распространяющимся с фундаментальной скоростью сигналом. Светоподобный интервал, как и любой другой, равен нулю для всех наблюдателей. Поэтому сферическая световая волна будет выглядеть точно так же из любой инерциальной системы отсчета.

Если Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle (\Delta s)^2>0} , то интервал называется времениподобным. В частности, если Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \Delta x=\Delta y=0} , то Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \Delta s} равен времени Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \Delta t} , прошедшему на неподвижных в данной системе часах. События, связанные времениподобными интервалами, могут быть соединены сигналом, распространяющимся со скоростью Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \mathbf{u}} , меньшей единицы ($\textstyle c=1$):

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (\Delta s)^2 = (\Delta t)^2-(\Delta x)^2-(\Delta y)^2 = (\Delta t)^2\cdot (1-\mathbf{u}^2)>0.}

(EQN)

Естественно, свойство времениподобности интервала является инвариантным свойством для всех наблюдателей.

Наконец, если Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle (\Delta s)^2<0} , то интервал называется пространственноподобным. Два события, для которых Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle (\Delta s)^2<0} , нельзя связать световыми сигналами или "обычными" частицами, имеющими скорость меньше фундаментальной.

Инвариантность интервала имеет глубокий геометрический смысл. Величина Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \Delta s} является расстоянием в псевдоевклидовом четырехмерном пространстве - времени. Подробнее геометрические аспекты теории относительности мы рассмотрим в пятой главе, а сейчас сделаем ещё несколько замечаний общего характера.

---

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \bullet} Объект, летящий со скоростью, сколь угодно близкой к фундаментальной скорости "Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle c} ", качественно отличается от объектов, имеющих в точности скорость "$\textstyle c$". Например, преобразования Лоренца при Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle v=c} обращаются в бесконечность. Это приводит к тому, что с объектами, имеющими скорость "Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle c} ", нельзя связать инерциальную систему отсчета, наполненную наблюдателями, часами и линейками.

Наш мир вполне мог быть устроен таким образом, что в нем вообще бы отсутствовали объекты, способные двигаться со скоростью "Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle c} ". На самом деле, это было бы более естественным. В таком мире "Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle c} " являлась бы предельной, но недостижимой никаким объектом скоростью.

Однако, по-видимому, наш мир устроен иначе, и в нем существуют принципиально отличные от остальных объектов сущности, двигающиеся с фундаментальной скоростью. Их самым важным представителем является свет. Он дает нам возможность изучать удалённые предметы, а благодаря свету, испускаемому Солнцем, существует жизнь на нашей планете. При высокой энергии мы воспринимаем свет, как частицы (фотоны), а при малой — как волны (электромагнитное излучение).

Кроме света, могут существовать и другие сущности, двигающиеся с фундаментальной скоростью. Например, до сих пор надежно не установлено, есть ли у нейтрино масса, и вполне вероятно, что это тоже "светоподобный" объект. Со скоростью света, по всей видимости, распространяется гравитационное взаимодействие, и т.д.

Принципиальное отличие светоподобных объектов от "обычных" в том, что, один раз родившись такими, они так и проживают всю свою "жизнь". Их нельзя, не уничтожив, затормозить и остановить. Они не меняют свою скорость. Речь, конечно, идет о движении в вакууме. В веществе скорость света становится меньше. Однако фактически эта скорость является усреднением скорости различных фотонов, переизлучаемых ("с задержкой") атомами вещества. Между атомами фотон движется со скоростью Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle c} . "Неквантовая" картина того же процесса строится на основе суммирования множества вторичных волн, возникающих при колебании заряженных частиц вещества электромагнитной волной.

Раз возможны светоподобные объекты, качественно отличающиеся от обычных, то можно допустить и существование тахионов. Тахион — это объект, способный двигаться быстрее фундаментальной скорости "Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle c} ". В принципе, как и свет, один раз таким родившись, тахион остаётся тахионом все время. Его скорость может приближаться к скорости "$\textstyle c$" сверху, никогда её не достигая. Допущение существования тахионов приводит к очень необычным следствиям, и мы их пока обсуждать не будем.

---

Немного истории <<	Оглавление	>> Время

---

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии