Обсуждение:Группы O(3) и SO(3)

Здравствуйте!

А как можно показать, что тензор, например, четвертого ранга, компоненты которого выражаются через $\ \delta ^{ij}\delta ^{kl},\delta ^{ik}\delta ^{jl}+\delta ^{il}\delta ^{jk}$, инвариантен относительно всех О(3)-вращениях? Maxim 18:36, 18 декабря 2012 (UTC).

Для этого достаточно показать неизменность тензора $\delta _{ij}$:

$\delta '_{ij}=R_{ik}R_{jm}\,\delta _{km}=R_{im}R_{jm}=(\mathbf {R} \mathbf {R} ^{T})_{ij}=(\mathbf {I} )_{ij}=\delta _{ij}.$

Остальные комбинации являются несвязанными произведениями символов Кронекера. Поэтому они естественно также не меняют своего вида при ортогональных преобразованиях. Сергей Степанов 20:13, 18 декабря 2012 (UTC)

Спасибо. А можно будет записать аналогичное для $\ \delta _{ijkl}$? Или он уже будет инвариантен лишь при определенных ортогональных матрицах перехода $\ \mathbf {R}$ (например, при повороте лишь на определенный угол)? Maxim 21:22, 18 декабря 2012 (UTC).