Единственность решений

Интегрирование стохастических уравнений <<	Оглавление	>> Метод последовательных приближений

---

Стохастические уравнения записывают, чтобы описать динамику некоторой реальной системы. Если соответствующие уравнения адекватны, то вопрос о единственности их решений обычно отходит на второй план. Тем не менее, он рано или поздно встаёт перед исследователем и является достаточно важным. Мы рассмотрим обыкновенные дифференциальные уравнения, а затем перейдём к их стохастическому аналогу. Однако сначала вспомним некоторые утверждения из анализа.

$\textstyle \bullet$ Мы называем функцию $\textstyle f(x)$ непрерывной в точке $\textstyle x=c$, если пределы при стремлении к ней слева $\textstyle x\to c-0$ и справа $\textstyle x\to c+0$ существуют и равны друг другу. Так, $\textstyle f(x)=1/x$ непрерывна во всех точках, кроме $\textstyle x=0$. Разность $\textstyle f(x+0)-f(x-0)$ называется разрывом функции. Для $\textstyle f(x)=1/x$ в $\textstyle x=0$ он равен бесконечности.

Непрерывная на интервале функция непрерывна в каждой его точке. В этом случае она имеет ограниченные значения и всегда существует такое конечное $\textstyle M$, что

${\;{\bigl |}f(x){\bigr |}\leqslant M},\;\;\;\;\;\;\;\alpha \leqslant x\leqslant \beta .$

(EQN)

Это неравенство, например, не выполняется для функций $\textstyle f(x)=1/x$, $\textstyle f(x)=\mathrm {tg} (x)$ на интервале $\textstyle -2\leqslant x\leqslant 2$.

Разрывная функция может как удовлетворять этому неравенству (если имеет конечный разрыв), так и не удовлетворять (для бесконечного разрыва). Непрерывная функция, не обращаясь в бесконечность на конечном интервале, всегда ему удовлетворяет. Другое эквивалентное свойство — непрерывная функция на интервале всегда имеет конечное минимальное и максимальное значения.

$\textstyle \bullet$ Теорема Ролля утверждает, что, если $\textstyle f(\alpha )=f(\beta )$ и в интервале $\textstyle [\alpha ...\beta ]$ производная $\textstyle f'(x)$ непрерывна, то всегда существует такая точка $\textstyle \gamma$: $\textstyle \alpha \leqslant \gamma \leqslant \beta$, в которой $\textstyle f'(\gamma )=0$. Интуитивно это понятно. Если функция не постоянная и $\textstyle f(\alpha )=f(\beta )$, то внутри $\textstyle [\alpha ...\beta ]$ она всегда достигнет минимума или максимума, в которых производная обратится в ноль (левый рисунок): \includegraphics{pic/rollya.eps}\\ Важно существование на $\textstyle \alpha \leqslant x\leqslant \beta$ конечной производной. Например, для $\textstyle f(x)=1-x^{2/3}$ (рисунок справа) выполняется $\textstyle f(-1)=f(1)$. Однако $\textstyle f'(x)=-(2/3)/x^{1/3}$ нигде в интервале $\textstyle [-1...1]$ в ноль не обращается.

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \bullet} Формула конечных приращений Лагранжа непосредственно следует из теоремы Ролля. Если Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle f(\alpha)\neq f(\beta)} , то для Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle F(x)=f(x)+\lambda x} всегда можно подобрать такое Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \lambda} , что:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F(\alpha)=F(\beta)\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\lambda = -\frac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta-\alpha}.}

Поэтому по теореме Ролля существует такое Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \gamma} , что $\textstyle F'(\gamma )=f'(\gamma )+\lambda =0$, и, следовательно:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle {\; f(\beta)-f(\alpha) = (\beta-\alpha) \cdot f'(\gamma)},\;\;\;\;\;\;\;\;\alpha\leqslant \gamma\leqslant \beta. }

(EQN)

Естественно, такая точка Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \gamma} может быть и не одна, и мы знаем о ней только то, что она находится где-то внутри отрезка Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle [\alpha...\beta]} .

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \bullet} Лемма Гронуолла - Беллмана: если для констант Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle A} , Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle B>0} на $\textstyle [\alpha ...\beta ]$ справедливо первое неравенство (), то тогда выполняется и второе:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \;f(x) \leqslant A + B \int\limits^x_\alpha f(s)\,ds\;\;\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;f(x) \leqslant A\, e^{B\cdot(x-\alpha)}\;. }

(EQN)

Для доказательства введём функцию:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle g(x) = \int\limits^x_\alpha f(s)\,ds \;\;\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;g'(x) \leqslant A + B\, g(x),}

где мы взяли производную от Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle g(x)} и воспользовались первым неравенством (). Неравенство, которому удовлетворяет Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle g(x)} , похоже на неоднородное линейное дифференциальное уравнение. Поступая аналогично этому случаю и вводя функцию Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle C(x)} , имеем:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle g(x)=C(x)\,e^{Bx}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;C'(x) \leqslant A\, e^{-B\,x}.}

Интегрируя его от $\textstyle \alpha$ до $\textstyle x$ и учитывая, что $\textstyle g(\alpha )=0$ и $\textstyle C(\alpha )=0$, получаем:

$C(x)\leqslant {\frac {A}{B}}\left(e^{-B\alpha }-e^{-Bx}\right)\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;g(x)\leqslant {\frac {A}{B}}\left(e^{B(x-\alpha )}-1\right).$

Дифференцируя последнее неравенство Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle g'(x)=f(x)} , мы приходим к (). В частном случае Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle A=0} имеем такую форму леммы:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \;f(x) \leqslant B \int\limits^x_\alpha f(s)\,ds\;\;\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;f(x) \leqslant 0\;. }

(EQN)

Поэтому, если Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle f(x)\geqslant 0} и она удовлетворяет первому неравенству (), то это означает, что функция равна нулю: Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle f(x)=0} .

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \bullet} Рассмотрим теперь обыкновенное дифференциальное уравнение:

${\frac {dx}{dt}}=a(x,t).$

(EQN)

Для него справедлива теорема о существовании и единственности:

Если в открытой области Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle G} на плоскости Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle (x,t)} функция Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle a(x,t)} непрерывна и имеет непрерывную производную по Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle x} , то через любую точку Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle G} проходит одно и только одно решение ().

Если производная непрерывна, то в соответствии с () она ограничена: Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle |\partial a/\partial x| \leqslant M} , и по формуле конечных приращений () мы имеем неравенство Липшица:

$|a(y,t)-a(x,t)|\leqslant M\cdot |y-x|,$

(EQN)

Оно является непосредственным следствием непрерывности Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \partial a(x,t)/\partial x} .

Докажем единственность решения (), представив его в форме интегрального уравнения:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x(t) = x_0 + \int\limits^t_{t_0} a\bigl(x(\tau), \tau\bigr) \, dt.}

Пусть на интервале Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle [t_0\, ...\, t]} существуют два решения Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle x(t)} и Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle y(t)} с одинаковым начальным условием Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle x(t_0)=y(t_0)=x_0} . Запишем их в интегральной форме и вычтем:

$y(t)-x(t)=\int \limits _{t_{0}}^{t}\left\{a{\bigl (}y(\tau ),\tau {\bigr )}-a{\bigl (}x(\tau ),\tau {\bigr )}\right\}\,dt.$

Так как сумма модулей всегда больше модуля суммы, имеем:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |y(t)-x(t)| \leqslant \int\limits^t_{t_0} \left| a\bigl(y(\tau), \tau\bigr)- a\bigl(x(\tau), \tau\bigr) \right| \, dt \leqslant M\cdot \int\limits^t_{t_0} \left| y(\tau)- x(\tau) \right| \, dt,}

где во втором неравенстве мы воспользовались условием Липшица (). В соответствии с леммой Гронуолла - Беллмана (), из этого неравенства следует, что Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle |y(t)-x(t)|=0} , и, следовательно, решения совпадают.

Подобное доказательство "от противного" типично для многих "неконструктивных" рассуждений в математике. Заметим, что мы доказали, что, если производная Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle a(x,t)} по Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle x} непрерывна, то решение единственно. Для разрывной производной может появиться более одного решения.

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \bullet} Большинство уравнений имеют единственное решение. Однако бывают и исключения. Рассмотрим пример:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{dx}{dt} = 3 x^{2/3}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x^{1/3} = x^{1/3}_0 + t-t_0. }

(EQN)

Если начальное условие $\textstyle x_{0}=x(0)=0$, то формально решение имеет вид Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle x=t^3} . Однако несложно проверить, что следующая функция также является решением () и удовлетворяет начальным условиям Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle x(0)=0} :

где Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle T} — произвольное число. Причина неоднозначности - в нарушении условия Липшица (бесконечность производной Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle a'(x)=2/x^{1/3}} в Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle x=0} ). В реальном Мире, если некоторая система описывается (), то она не сдвинется из начального состояния Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle x(0)=0} , если "решает" уравнение итерациями. Спустя произвольный момент времени $\textstyle T$ может произойти внешнее воздействие (флуктуация), которое "столкнёт" итерационный процесс с нулевой отметки. Это и приведёт к неоднозначному решению (Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \lessdot} C).

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \bullet} Кроме неоднозначности, с решениями уравнений может произойти ещё одна неприятность. Рассмотрим следующую задачу:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{dx}{dt} = x^2\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;\;x(t)=\frac{x_0}{1-(t-t_0)x_0}.}

Через конечное время Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle t-t_0=1/x_0} от начального момента решение обращается в бесконечность. Подобная ситуация называется "взрывом решения". За редкими исключениями подобные модели не соответствуют реальным системам или являются лишь их грубым приближением.

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \bullet} С начальным условием дифференциального уравнения связана одна тонкость. Не любая функция Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle x=f(x_0, t_0, t)} со значением $\textstyle x_{0}=f(x_{0},t_{0},t_{0})$ удовлетворяет хоть какому-то дифференциальному уравнению первого порядка. Так, в производной по времени функции Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle x=x_0+\sin (t-t_0)} никакими заменами и выбором Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle a(x,t)} не удастся одновременно избавиться и от Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle x_0} , и от Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle t_0} . Подставляя в уравнение решение $\textstyle x=f(x_{0},t_{0},t)$, мы должны так его преобразовать, чтобы константы $\textstyle x_{0}$, $\textstyle t_{0}$, являющиеся "внешними" к уравнению начальными условиями, сократились.

$\textstyle \bullet$ Перейдём теперь к стохастическим дифференциальным уравнениям. Так как мы работаем со случайными процессами, различные реализации траектории $\textstyle x(t)$ могут отличаться сколь угодно сильно. Говоря о единственности решения, мы подразумеваем единственность плотности вероятности $\textstyle P(x_{0},t_{0}\Rightarrow x,t)$, которая влечёт за собой единственность среднего значения, волатильности, автоковариационной функции и т.д.

Докажем, что для уравнения

$dx=a(x,t)\,dt+b(x,t)\,\delta W$

решение будет единственным, если производные по Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle x} сноса Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle a(x,t)} и волатильности Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle b(x,t)} непрерывны. Непрерывность означает, что производные ограничены (нигде не обращаются в бесконечность):

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left|\frac{\partial a(x,t)}{\partial x}\right| \leqslant M_a,\;\;\;\;\;\;\;\;\left|\frac{\partial b(x,t)}{\partial x}\right| \leqslant M_b.}

Поэтому в силу формулы Лагранжа каждая из них удовлетворяет неравенству Липшица:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{lll} |a(y,t)-a(x,t)| &\leqslant &M_a\cdot |y-x|,\\ |b(y,t)\,-b(x,t)| &\leqslant &M_b\cdot |y-x|. \end{array} }

(EQN)

Будем действовать так же, как и в детерминированном случае. Перейдём к интегральному уравнению:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle x(t) = x_0 + \int\limits^t_{t_0} a\bigl(x(s),s\bigr)\, ds + \int\limits^t_{t_0} b\bigl(x(s),s\bigr)\,\delta W_s.}

Пусть существуют две разные случайные функции $\textstyle x_{t}=x(t)$ и Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle y_t=y(t)} с одинаковым начальным условием Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle x(t_0)=y(t_0)=x_0} , которые удовлетворяют этому уравнению. Найдём дисперсию их разности:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left\langle (y_t-x_t)^2 \right\rangle = \Bigl< \left[ \int\limits^t_{t_0} a_{yx}(s)\, ds + \int\limits^t_{t_0} b_{yx}(s)\,\delta W_s \right]^2 \Bigr>, }

где Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle a_{yx}(s)=a\bigl(y(s),s\bigr)-a\bigl(x(s),s\bigr)} , Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle b_{yx}(s)=b\bigl(y(s),s\bigr)-b\bigl(x(s),s\bigr)} - разности сноса или волатильности, вычисленные для каждого решения.

Для двух Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle n} - мерных векторов $\textstyle \{\alpha _{1},...,\alpha _{n}\}$ и Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \{\beta_1,...,\beta_n\}} скалярное произведение всегда меньше, чем произведение их длин (косинус угла между ними меньше единицы). Поэтому справедливо неравенство Коши - Буняковского:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (\alpha_1\beta_1+...+\alpha_n\beta_n)^2 \leqslant (\alpha^2_1+...+\alpha^2_n)\cdot(\beta^2_1+...+\beta^2_n).}

Если все Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \beta_i=1} , имеем такой вариант этого неравенства:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (\alpha_1+...+\alpha_n)^2 \leqslant n\cdot(\alpha^2_1+...+\alpha^2_n).}

В нашем случае Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle n=2} , поэтому:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left\langle (y_t-x_t)^2\right\rangle \leqslant 2\Bigl< \left[\int\limits^t_{t_0} a_{yx}(s)\, ds \right]^2 \Bigr> + 2\Bigl< \left[ \int\limits^t_{t_0} b_{yx}(s)\,\delta W_s\right]^2 \Bigr>.}

Для первого интеграла (точнее, его интегральной суммы) снова применим неравенство Коши-Буняковского c $\textstyle n=(t-t_{0})/\Delta s$. Среднее значение квадрата стохастического интеграла по Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \delta W} можно записать через среднее от обычного интеграла по времени (), стр. \pageref{stoch_int_avers}, поэтому:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left\langle (y_t-x_t)^2\right\rangle \leqslant 2(t-t_0)\int\limits^t_{t_0} \Bigl< a^2_{yx}(s) \Bigr>\, ds + 2\int\limits^t_{t_0} \Bigl< b^2_{yx}(s) \Bigr>\, ds.}

Воспользуемся теперь неравенствами Липшица (), возведя их в квадрат. В результате:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left\langle (y_t-x_t)^2\right\rangle \leqslant M \int\limits^t_{t_0} \left\langle (y_t-x_t)^2 \right\rangle \, ds,}

где Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle M=2(t-t_0)M^2_a+2M^2_b} . Среднее разности решений Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \left\langle (y_t-x_t)^2\right\rangle } — это обычная функция времени, поэтому, применяя лемму Гронуолла — Беллмана (), приходим к выводу, что Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \left\langle (y_t-x_t)^2\right\rangle =0} .

Среднее является интегралом с положительной плотностью вероятности. Величина $\textstyle (y_{t}-x_{t})^{2}$ также положительна. Интеграл от положительной функции может быть равен нулю, только когда она равна нулю. В результате мы приходим к выводу, что Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle x(t)=y(t)} , и решение единственно.

---

Интегрирование стохастических уравнений <<	Оглавление	>> Метод последовательных приближений

---

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения