Скорость

Немного истории <<	Оглавление	>> Время

---

$\textstyle \bullet$ Рассмотрим две инерциальные системы отсчёта $\textstyle S$ и $\textstyle S'$, двигающиеся с относительной скоростью $\textstyle v$. Пусть их оси $\textstyle x$ и $\textstyle x'$ направлены параллельно друг другу. Скорость системы $\textstyle S'$ относительно $\textstyle S$ равна $\textstyle v$, а скорость $\textstyle S$ относительно $\textstyle S'$, соответственно, "$\textstyle -v$":

Процедура согласования единиц измерений наблюдателей, находящихся в этих системах, такова, что свои линейки они сравнивают, расположив их перпендикулярно движению ("линии на заборе", стр. \pageref{line_on_wall}). Преобразования Лоренца, в которые добавлена неизменность координаты $\textstyle y$, имеют вид:

$t'={\frac {t-vx/c^{2}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x'={\frac {x-vt}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;y'=y.$

(EQN)

Обычно мы будем записывать все соотношения для двумерного пространства $\textstyle (x,y)$, помня, что в силу симметрии связь проекций векторов на ось $\textstyle z$ будет такой же, как и на ось $\textstyle y$.

Ключевым понятием кинематики является событие. Предполагается, что оно имеет сколь угодно малые длительность и локализацию в пространстве. Событие характеризуется положением $\textstyle (x,y)$ и моментом времени $\textstyle t$. Наблюдатели в каждой системе отсчета регистрируют подобное событие по своим приборам, получая значения $\textstyle (t,x,y)$ для $\textstyle S$ и $\textstyle (t',x',y')$ для $\textstyle S'$. Напомним, что наблюдатели способны проводить измерения только в своей непосредственной окрестности. Поэтому каждую систему отсчета мы представляем "заполненной" такими наблюдателями. Данное событие регистрируют два наблюдателя в $\textstyle S$ и $\textstyle S'$, которые находятся в том месте, где произошло событие. Благодаря процедурам синхронизации и согласования единиц времени полученные ими наблюдения будут непротиворечиво восприняты и другими собратьями из их систем отсчета. Стоит помнить, что эффекты теории относительности проявляются при больших скоростях, и для получения заметных отличий от классической кинематики часто потребуется изучать большие расстояния. Поэтому введение множества наблюдателей оказывается достаточно полезным.

---

$\textstyle \bullet$ Обычно представляет интерес сравнение наблюдений не единичного события, а некоторого процесса. Будем считать, что процесс состоит из двух последовательных событий: его начала в момент времени $\textstyle t_{1}$ (в системе $\textstyle S$) и конца в момент $\textstyle t_{2}$. Соответственно, его локализация в пространстве также характеризуется двумя точками $\textstyle (x_{1},y_{1})$ и $\textstyle (x_{2},y_{2})$. Интервал времени между событиями и разность координат равны:

$\Delta t=t_{2}-t_{1},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Delta x=x_{2}-x_{1},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Delta y=y_{2}-y_{1}.$

(EQN)

Для каждого из этих двух событий можно записать преобразования Лоренца и вычесть их друг из друга. В силу линейности преобразований и постоянства скорости $\textstyle v$ для приращений справедливы преобразования лоренцевского вида:

$\Delta t'={\frac {\Delta t-v\Delta x/c^{2}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Delta x'={\frac {\Delta x-v\Delta t}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Delta y'=\Delta y.$

(EQN)

---

$\textstyle \bullet$ Рассмотрим двигающийся в пространстве объект. Можно измерить его положение $\textstyle (x_{1},y_{1})$ в момент времени $\textstyle t_{1}$, а затем положение $\textstyle (x_{2},y_{2})$ в момент времени $\textstyle t_{2}$. По определению, проекции его скорости $\textstyle \mathbf {u} =(u_{x},u_{y})$ в системе $\textstyle S$ равны $\textstyle u_{x}=\Delta x/\Delta t$, $\textstyle u_{y}=\Delta y/\Delta t$, и, аналогично, со штрихами в $\textstyle S'$. Из преобразований для приращений несложно найти связь между скоростями объекта для наблюдателей в системе $\textstyle S$ и $\textstyle S'$:

$u'_{x}={\frac {u_{x}-v}{1-u_{x}v/c^{2}}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;u'_{y}={\frac {u_{y}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}{1-u_{x}v/c^{2}}}.$

(EQN)

Часто удобнее использовать обращенные преобразования скорости. Их можно получить прямыми вычислениями, или, в силу эквивалентности инерциальных систем отсчета, просто изменив знак у скорости $\textstyle v$:

$u_{x}={\frac {u'_{x}+v}{1+u'_{x}v/c^{2}}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;u_{y}={\frac {u'_{y}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}{1+u'_{x}v/c^{2}}}.$

(EQN)

Если, например, мы стоим на перроне, и $\textstyle \mathbf {u} '=(u_{x},u_{y})$ — это скорость мухи относительно поезда, который движется со скоростью $\textstyle v$, то скорость мухи относительно нас будет складываться из движения поезда и движения мухи. В классической механике это сложение имеет вид:

$u_{x}\approx u'_{x}+v,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;u_{y}\approx u'_{y}.$

(EQN)

В теории относительности подобные соотношения — лишь некоторое приближение, справедливое до тех пор, пока скорости поезда и мухи много меньше фундаментальной скорости $\textstyle c$.

---

$\textstyle \bullet$ Рассмотрим объект, двигающийся вдоль оси $\textstyle x$ с фундаментальной скоростью $\textstyle u_{x}=c$. Тогда в другой системе $\textstyle S'$ его скорость будет равна:

$c'={\frac {c-v}{1-cv/c^{2}}}=c.$

(EQN)

Таким образом объект, двигающийся со скоростью, равной "$\textstyle c$", в одной системе отсчета, будет иметь ту же скорость и в любой другой системе. Поэтому мы также называем $\textstyle c$ инвариантной скоростью.

При помощи преобразований () несложно ($\textstyle \lessdot$ H) проверить, что квадрат длины скорости $\textstyle \mathbf {u} ^{2}=u_{x}^{2}+u_{y}^{2}$ преобразуется следующим образом:

$1-{\frac {\mathbf {u} '^{2}}{c^{2}}}=\left(1-{\frac {\mathbf {u} ^{2}}{c^{2}}}\right)\cdot {\frac {1-\mathbf {v} ^{2}/c^{2}}{(1-\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} /c)^{2}}},$

(EQN)

где $\textstyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =u_{x}\,v$ — проекция скорости объекта $\textstyle \mathbf {u}$ на скорость системы $\textstyle \mathbf {v}$. Если в одной системе отсчета объект движется в произвольном направлении с фундаментальной скоростью $\textstyle \mathbf {u} ^{2}=c^{2}$, то и в другой инерциальной системе $\textstyle \mathbf {u} '^{2}=c^{2}$, поэтому $\textstyle c$ является инвариантной скоростью независимо от её направления.

Подобная инвариантность обычно в качестве постулата используется при выводе преобразований Лоренца. Однако это, на самом деле, следствие теории относительности, причем одно из наиболее необычных и непривычных для нашего обыденного опыта.

---

$\textstyle \bullet$ Фундаментальная скорость $\textstyle c=299792458$ м/с имеет единое значение для всех наблюдателей. Поэтому удобно так определить единицы времени, чтобы $\textstyle c=1$. Например, можно в качестве "новой секунды" выбрать $\textstyle 1/299792458$ часть "старой секунды". Все формулы теории относительности в этой системе единиц будут выглядеть проще. Так, связь изменений координат и времени между двумя событиями, наблюдаемыми из систем $\textstyle S$ и $\textstyle S'$, имеет вид:

$\Delta t'={\frac {\Delta t-v\Delta x}{\sqrt {1-v^{2}}}},\;\;\;\;\;\;\;\Delta x'={\frac {\Delta x-v\Delta t}{\sqrt {1-v^{2}}}},\;\;\;\;\;\Delta y'=\Delta y.$

(EQN)

Если в некоторой формуле мы хотим "восстановить" константу "$\textstyle c$", то величины, имеющие в своей размерности время в некоторой степени, должны умножаться на "$\textstyle c$" в той же степени. Например, для времени $\textstyle t$, скорости $\textstyle u=dx/dt$ и ускорения $\textstyle a=d^{2}x/dt^{2}$ совершаются следующие замены:

$t\mapsto ct,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;u\mapsto {\frac {u}{c}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;a\mapsto {\frac {a}{c^{2}}}.$

(EQN)

Далее мы будем придерживаться системы единиц, в которой $\textstyle c=1$.

---

$\textstyle \bullet$ Фундаментальная и инвариантная скорость "$\textstyle c$" является также предельно возможной скоростью движения "материального" объекта. В самом деле, пусть наблюдатель в системе $\textstyle S$ создает своего клона и отправляет его в полет со скоростью $\textstyle v$ (система $\textstyle S_{1}$). Первый клон создает второго и "отправляет" его с той же скоростью относительно себя (система $\textstyle S_{2}$), и т.д. до бесконечности. В классической физике $\textstyle n$-тый клон относительно системы $\textstyle S$ имел бы скорость $\textstyle u_{n}=n\,v$, которая при $\textstyle n\to \infty$ также стремилась бы к бесконечности. В релятивистском мире скорость $\textstyle n$-того и $\textstyle n-1$-го клонов относительно системы отсчета $\textstyle S$ связаны следующим образом ($\textstyle c=1$):

} \\ Если протабулировать это рекурсивное соотношение, начиная, например, с $\textstyle u_{1}=v=1/2$, то получится график, приведенный справа. Скорость $\textstyle u_{n}$ при $\textstyle n\to \infty$ стремится к $\textstyle c=1$. Хотя $\textstyle u_{n}$ постоянно увеличивается, относительно наблюдателя в $\textstyle S$ каждая добавка становится всё меньше. При $\textstyle n\to \infty$ можно положить $\textstyle u_{n}=u_{n-1}=u_{\infty }$ и получить асимптотическое значение не зависящее от $\textstyle v$:

$u_{\infty }={\frac {u_{\infty }+v}{1+u_{\infty }\,v}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;\;\;u_{\infty }=1.$

(EQN)

Найдём явную зависимость $\textstyle u_{n}$ от $\textstyle n$. Для этого заметим, что при помощи гиперболического арктангенса ($\textstyle \lessdot$ C) закон сложения скоростей () вдоль оси $\textstyle x$ можно записать в линейном виде:

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \mathrm{ath}\,u_x)=\mathrm{ath}\,u'_x)+\mathrm{ath}\,v),\;\;\;\;\;\;\;где\;\;\;\mathrm{ath}\,v)=\frac{1}{2}\,\ln \frac{1+v}{1-v}.}

(EQN)

Поэтому $\textstyle \mathrm {ath} \,(u_{n})=\mathrm {ath} \,(u_{n-1})+\mathrm {ath} \,(v)=n\cdot \mathrm {ath} \,(v)$, откуда:

$u_{n}={\frac {1-w^{n}}{1+w^{n}}},$

(EQN)

где $\textstyle w=(1-v)/(1+v)<1$. Понятно, что при $\textstyle n\to \infty$, $\textstyle u_{n}\to 1$. Формула сложения скоростей, записанная при помощи гиперболического арктангенса, имеет важный геометрический смысл, который мы обсудим в шестой главе при рассмотрении пространства Лобачевского.

Кроме мысленного эксперимента, приведенного выше, существуют также веские энергетические причины предельности скорости "$\textstyle c$", которые будут изучены в следующей главе.

---

$\textstyle \bullet$ При помощи преобразований () несложно ($\textstyle \lessdot$ H) проверить, что для любых двух событий следующая комбинация приращений имеет одинаковое значение для наблюдателей из различных инерциальных систем отсчета:

$(\Delta s)^{2}=(\Delta t')^{2}-(\Delta x')^{2}-(\Delta y')^{2}=(\Delta t)^{2}-(\Delta x)^{2}-(\Delta y)^{2}.$

(EQN)

Величина $\textstyle \Delta s$ называется интервалом между событиями и является инвариантом преобразований Лоренца.

Если в некоторой точке $\textstyle (x_{1},y_{1})$ произошла вспышка света, распространяющаяся в виде сферической волны (в плоскости — окружность) со скоростью $\textstyle c=1$, то за время $\textstyle \Delta t$ её радиус $\textstyle R$ станет равным $\textstyle \Delta t$:

Следовательно, $\textstyle (\Delta s)^{2}=0$, и такие интервалы называются светоподобными. Светоподобные интервалы возникают между событиями, которые можно связать распространяющимся с фундаментальной скоростью сигналом. Светоподобный интервал, как и любой другой, равен нулю для всех наблюдателей. Поэтому сферическая световая волна будет выглядеть точно так же из любой инерциальной системы отсчета.

Если $\textstyle (\Delta s)^{2}>0$, то интервал называется времениподобным. В частности, если $\textstyle \Delta x=\Delta y=0$, то $\textstyle \Delta s$ равен времени $\textstyle \Delta t$, прошедшему на неподвижных в данной системе часах. События, связанные времениподобными интервалами, могут быть соединены сигналом, распространяющимся со скоростью $\textstyle \mathbf {u}$, меньшей единицы ($\textstyle c=1$):

$(\Delta s)^{2}=(\Delta t)^{2}-(\Delta x)^{2}-(\Delta y)^{2}=(\Delta t)^{2}\cdot (1-\mathbf {u} ^{2})>0.$

(EQN)

Естественно, свойство времениподобности интервала является инвариантным свойством для всех наблюдателей.

Наконец, если $\textstyle (\Delta s)^{2}<0$, то интервал называется пространственноподобным. Два события, для которых $\textstyle (\Delta s)^{2}<0$, нельзя связать световыми сигналами или "обычными" частицами, имеющими скорость меньше фундаментальной.

Инвариантность интервала имеет глубокий геометрический смысл. Величина $\textstyle \Delta s$ является расстоянием в псевдоевклидовом четырехмерном пространстве - времени. Подробнее геометрические аспекты теории относительности мы рассмотрим в пятой главе, а сейчас сделаем ещё несколько замечаний общего характера.

---

$\textstyle \bullet$ Объект, летящий со скоростью, сколь угодно близкой к фундаментальной скорости "Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle c} ", качественно отличается от объектов, имеющих в точности скорость "$\textstyle c$". Например, преобразования Лоренца при $\textstyle v=c$ обращаются в бесконечность. Это приводит к тому, что с объектами, имеющими скорость "$\textstyle c$", нельзя связать инерциальную систему отсчета, наполненную наблюдателями, часами и линейками.

Наш мир вполне мог быть устроен таким образом, что в нем вообще бы отсутствовали объекты, способные двигаться со скоростью "$\textstyle c$". На самом деле, это было бы более естественным. В таком мире "$\textstyle c$" являлась бы предельной, но недостижимой никаким объектом скоростью.

Однако, по-видимому, наш мир устроен иначе, и в нем существуют принципиально отличные от остальных объектов сущности, двигающиеся с фундаментальной скоростью. Их самым важным представителем является свет. Он дает нам возможность изучать удалённые предметы, а благодаря свету, испускаемому Солнцем, существует жизнь на нашей планете. При высокой энергии мы воспринимаем свет, как частицы (фотоны), а при малой — как волны (электромагнитное излучение).

Кроме света, могут существовать и другие сущности, двигающиеся с фундаментальной скоростью. Например, до сих пор надежно не установлено, есть ли у нейтрино масса, и вполне вероятно, что это тоже "светоподобный" объект. Со скоростью света, по всей видимости, распространяется гравитационное взаимодействие, и т.д.

Принципиальное отличие светоподобных объектов от "обычных" в том, что, один раз родившись такими, они так и проживают всю свою "жизнь". Их нельзя, не уничтожив, затормозить и остановить. Они не меняют свою скорость. Речь, конечно, идет о движении в вакууме. В веществе скорость света становится меньше. Однако фактически эта скорость является усреднением скорости различных фотонов, переизлучаемых ("с задержкой") атомами вещества. Между атомами фотон движется со скоростью $\textstyle c$. "Неквантовая" картина того же процесса строится на основе суммирования множества вторичных волн, возникающих при колебании заряженных частиц вещества электромагнитной волной.

Раз возможны светоподобные объекты, качественно отличающиеся от обычных, то можно допустить и существование тахионов. Тахион — это объект, способный двигаться быстрее фундаментальной скорости "$\textstyle c$". В принципе, как и свет, один раз таким родившись, тахион остаётся тахионом все время. Его скорость может приближаться к скорости "$\textstyle c$" сверху, никогда её не достигая. Допущение существования тахионов приводит к очень необычным следствиям, и мы их пока обсуждать не будем.

---

Немного истории <<	Оглавление	>> Время

---

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии