Нормальное распределение — различия между версиями
WikiSysop (обсуждение | вклад) |
WikiSysop (обсуждение | вклад) |
||
Строка 1: | Строка 1: | ||
<math>\textstyle \bullet</math> Очень часто встречается ''плотность вероятности Гаусса'', или ''нормальное распределение''. | <math>\textstyle \bullet</math> Очень часто встречается ''плотность вероятности Гаусса'', или ''нормальное распределение''. | ||
− | Соответствующую случайную величину на протяжении этих лекций мы будем обозначать как <math>\textstyle \varepsilon</math>: \parbox{7.5cm}{ \begin{center} | + | Соответствующую случайную величину на протяжении этих лекций мы будем обозначать как <math>\textstyle \varepsilon</math>: \parbox{7.5cm}{ \begin{center} |
− | : | + | [[File:norm.gif]] |
− | } \end{center} Среднее значение <math>\textstyle \varepsilon</math> равно нулю <math>\textstyle \left\langle \varepsilon\right\rangle =0</math>, а её квадрата & | + | } \parbox{8cm}{ |
+ | |||
+ | :<center><math> { \;\;P(\varepsilon) = \frac{e^{-\frac{1}{2}\,\varepsilon^2}}{\sqrt{2\pi}} } </math></center> | ||
+ | |||
+ | } \end{center} Среднее значение <math>\textstyle \varepsilon</math> равно нулю <math>\textstyle \left\langle \varepsilon\right\rangle =0</math>, а её квадрата — единице <math>\textstyle \left\langle \varepsilon^2\right\rangle =1</math>. Следовательно, дисперсия также равна единице <math>\textstyle \sigma^2_\varepsilon=1</math>. Далее это будет обозначаться следующим образом: <math>\textstyle \varepsilon \sim N(0,1)</math>. Если перейти к случайной величине <math>\textstyle x=\mu+\sigma\cdot \varepsilon</math>, то она будет иметь среднее <math>\textstyle \mu</math> и волатильность <math>\textstyle \sigma</math> (<math>\textstyle \lessdot</math> C), поэтому <math>\textstyle x\sim N(\mu,\sigma^2)</math>. | ||
Для гауссовых величин полезно знание ''производящей функции'', равной среднему значению от экспоненты [см. (), стр. \pageref{gauss_int_gen}]: | Для гауссовых величин полезно знание ''производящей функции'', равной среднему значению от экспоненты [см. (), стр. \pageref{gauss_int_gen}]: | ||
− | :<math> \left\langle e^{\alpha\cdot\varepsilon}\right\rangle ;=; \int\limits^{\infty}_{-\infty} e^{\alpha\cdot\varepsilon}\,P(\varepsilon)\,d\varepsilon ;=; e^{\alpha^2/2}. </math> | + | :<center><math> \left\langle e^{\alpha\cdot\varepsilon}\right\rangle \;=\; \int\limits^{\infty}_{-\infty} e^{\alpha\cdot\varepsilon}\,P(\varepsilon)\,d\varepsilon \;=\; e^{\alpha^2/2}. </math></center> |
+ | |||
+ | Разложение в ряд по параметру <math>\textstyle \alpha</math> левой и правой части позволяет легко находить средние произвольных степеней <math>\textstyle \left\langle \varepsilon^n\right\rangle </math> (<math>\textstyle \lessdot</math> H). | ||
+ | |||
+ | В частности: <math>\textstyle \left\langle \varepsilon^4\right\rangle </math> равно 3, и, следовательно, <math>\textstyle excess=0</math>. Вычитание из безразмерного момента четвёртого порядка тройки в определении эксцесса () связано с желанием рассматривать в качестве "эталона" нормальное распределение. Если эксцесс больше нуля, то, скорее всего, распределение имеет "толстые хвосты", т.е. лежит выше графика нормального распределения (при <math>\textstyle x\to\pm\infty</math>). Если эксцесс отрицательный — наоборот, ниже. | ||
− | + | ''Интегральным распределением'': \parbox{7.5cm}{ \begin{center} | |
− | + | [[File:norm1.gif]] | |
− | + | \ } \parbox{8cm}{ | |
− | :<math> \displaystyle F(x) = \int\limits^x_{-\infty} \frac{e^{-\varepsilon^2/2}}{\sqrt{2\pi}} ;d\varepsilon </math> | + | :<center><math> \displaystyle F(x) = \int\limits^x_{-\infty} \frac{e^{-\varepsilon^2/2}}{\sqrt{2\pi}} \;d\varepsilon </math></center> |
} \end{center} мы называем вероятность того, что случайная величина не превышает некоторого значения <math>\textstyle x</math>. | } \end{center} мы называем вероятность того, что случайная величина не превышает некоторого значения <math>\textstyle x</math>. | ||
Строка 23: | Строка 31: | ||
<math>\textstyle \bullet</math> Если известна плотность вероятности <math>\textstyle P(x)</math> величины <math>\textstyle x</math>, то мы можем найти плотность вероятности для другой случайной величины <math>\textstyle y</math>, связанной с <math>\textstyle x</math> некоторой функциональной зависимостью <math>\textstyle y=f(x)</math>. Для этого вычисляется среднее от ''произвольной'' функции <math>\textstyle F(y)</math>. Это можно сделать, проведя усреднение с известной плотностью вероятности <math>\textstyle P(x)</math>: | <math>\textstyle \bullet</math> Если известна плотность вероятности <math>\textstyle P(x)</math> величины <math>\textstyle x</math>, то мы можем найти плотность вероятности для другой случайной величины <math>\textstyle y</math>, связанной с <math>\textstyle x</math> некоторой функциональной зависимостью <math>\textstyle y=f(x)</math>. Для этого вычисляется среднее от ''произвольной'' функции <math>\textstyle F(y)</math>. Это можно сделать, проведя усреднение с известной плотностью вероятности <math>\textstyle P(x)</math>: | ||
− | :<math> \left\langle F(y)\right\rangle = \int\limits^\infty_{-\infty} F\bigl(y\bigr)\cdot \tilde P(y) \,dy = \int\limits^\infty_{-\infty} F\bigl(f(x)\bigr)\cdot P(x) \,dx. </math> | + | :<center><math> \left\langle F(y)\right\rangle = \int\limits^\infty_{-\infty} F\bigl(y\bigr)\cdot \tilde P(y) \,dy = \int\limits^\infty_{-\infty} F\bigl(f(x)\bigr)\cdot P(x) \,dx. </math></center> |
Так как <math>\textstyle \tilde{P}(y)</math> нам неизвестна, мы интегрируем с <math>\textstyle P(x)</math> и подставляем <math>\textstyle y=f(x)</math> в <math>\textstyle F(...)</math>. При помощи обратной замены можно преобразовать второй интеграл в первый. Множитель при <math>\textstyle F(y)</math> в подынтегральной функции окажется искомой плотностью вероятности <math>\textstyle \tilde{P}(y)</math> для <math>\textstyle y</math>. | Так как <math>\textstyle \tilde{P}(y)</math> нам неизвестна, мы интегрируем с <math>\textstyle P(x)</math> и подставляем <math>\textstyle y=f(x)</math> в <math>\textstyle F(...)</math>. При помощи обратной замены можно преобразовать второй интеграл в первый. Множитель при <math>\textstyle F(y)</math> в подынтегральной функции окажется искомой плотностью вероятности <math>\textstyle \tilde{P}(y)</math> для <math>\textstyle y</math>. | ||
− | Рассмотрим в качестве примера случайную величину <math>\textstyle r=\mu + \sigma\, \varepsilon</math>, имеющую нормальное распределение со средним значением <math>\textstyle \mu</math> и волатильностью <math>\textstyle \sigma</math>. Найдём распределение для <math>\textstyle x=x_0\,e^r</math>, где <math>\textstyle x_0</math> & | + | Рассмотрим в качестве примера случайную величину <math>\textstyle r=\mu + \sigma\, \varepsilon</math>, имеющую нормальное распределение со средним значением <math>\textstyle \mu</math> и волатильностью <math>\textstyle \sigma</math>. Найдём распределение для <math>\textstyle x=x_0\,e^r</math>, где <math>\textstyle x_0</math> — константа. |
− | :<math>\left\langle F(x)\right\rangle = \int\limits^{\infty}_{-\infty} F\bigl(x_0e^{\mu+\sigma\,\varepsilon}\bigr); e^{-\varepsilon^2/2}\frac{d\varepsilon}{\sqrt{2\pi}} = \int\limits^{\infty}_{0} F(x) ;e^{-[\ln(x/x_0)-\mu]^2/2\sigma^2}\frac{dx}{x\sigma\sqrt{2\pi}}.</math> | + | :<center><math>\left\langle F(x)\right\rangle = \int\limits^{\infty}_{-\infty} F\bigl(x_0e^{\mu+\sigma\,\varepsilon}\bigr)\; e^{-\varepsilon^2/2}\frac{d\varepsilon}{\sqrt{2\pi}} = \int\limits^{\infty}_{0} F(x) \;e^{-[\ln(x/x_0)-\mu]^2/2\sigma^2}\frac{dx}{x\sigma\sqrt{2\pi}}.</math></center> |
− | Первый интеграл & | + | Первый интеграл — вычисление среднего при помощи нормального распределения. В нём проводится замена <math>\textstyle x=x_0\,e^{\mu+\sigma\varepsilon}</math>, <math>\textstyle dx=\sigma x d\varepsilon</math>. В результате при <math>\textstyle x\geqslant 0</math>: |
− | :<math> P_L(x) = \frac{1}{x \sigma \sqrt{2\pi}}\exp\left[-\frac{(\ln(x/x_0) - \mu)^2}{2\sigma^2}\right]. </math> | + | :<center><math> P_L(x) = \frac{1}{x \sigma \sqrt{2\pi}}\exp\left[-\frac{(\ln(x/x_0) - \mu)^2}{2\sigma^2}\right]. </math></center> |
− | Вероятность <math>\textstyle P_L(x)</math> называется ''логнормальным распределением''. В качестве упражнения предлагается вычислить среднее <math>\textstyle \left\langle x\right\rangle </math> при помощи <math>\textstyle P_L(x)</math> или гауссовой плотности <math>\textstyle P(\varepsilon)</math> (<math>\textstyle \lessdot</math> H | + | Вероятность <math>\textstyle P_L(x)</math> называется ''логнормальным распределением''. В качестве упражнения предлагается вычислить среднее <math>\textstyle \left\langle x\right\rangle </math> при помощи <math>\textstyle P_L(x)</math> или гауссовой плотности <math>\textstyle P(\varepsilon)</math> (<math>\textstyle \lessdot</math> H). |
− | <math>\textstyle \bullet</math> Используя случайные величины в соотношениях типа <math>\textstyle x=\mu+\sigma\varepsilon</math>, мы не выполняем арифметических операций с конкретными числами, а сообщаем о ''потенциальном'' вычислении: "если <math>\textstyle \varepsilon</math> окажется равным некоторому значению, то <math>\textstyle x</math> ....". Иногда делают различие в обозначениях, записывая случайную величину при помощи большой буквы <math>\textstyle X</math>, а при вычислении среднего & | + | <math>\textstyle \bullet</math> Используя случайные величины в соотношениях типа <math>\textstyle x=\mu+\sigma\varepsilon</math>, мы не выполняем арифметических операций с конкретными числами, а сообщаем о ''потенциальном'' вычислении: "если <math>\textstyle \varepsilon</math> окажется равным некоторому значению, то <math>\textstyle x</math> ....". Иногда делают различие в обозначениях, записывая случайную величину при помощи большой буквы <math>\textstyle X</math>, а при вычислении среднего — строчной буквой <math>\textstyle x</math>, как переменную интегрирования. Мы не будем этого делать, тем не менее, необходимо помнить об этом довольно тонком различии. |
Версия 13:46, 21 января 2010
Очень часто встречается плотность вероятности Гаусса, или нормальное распределение.
Соответствующую случайную величину на протяжении этих лекций мы будем обозначать как : \parbox{7.5cm}{ \begin{center}
} \parbox{8cm}{
} \end{center} Среднее значение равно нулю , а её квадрата — единице . Следовательно, дисперсия также равна единице . Далее это будет обозначаться следующим образом: . Если перейти к случайной величине , то она будет иметь среднее и волатильность ( C), поэтому .
Для гауссовых величин полезно знание производящей функции, равной среднему значению от экспоненты [см. (), стр. \pageref{gauss_int_gen}]:
Разложение в ряд по параметру левой и правой части позволяет легко находить средние произвольных степеней ( H).
В частности: равно 3, и, следовательно, . Вычитание из безразмерного момента четвёртого порядка тройки в определении эксцесса () связано с желанием рассматривать в качестве "эталона" нормальное распределение. Если эксцесс больше нуля, то, скорее всего, распределение имеет "толстые хвосты", т.е. лежит выше графика нормального распределения (при ). Если эксцесс отрицательный — наоборот, ниже.
Интегральным распределением: \parbox{7.5cm}{ \begin{center}
\ } \parbox{8cm}{
} \end{center} мы называем вероятность того, что случайная величина не превышает некоторого значения .
Если известна плотность вероятности величины , то мы можем найти плотность вероятности для другой случайной величины , связанной с некоторой функциональной зависимостью . Для этого вычисляется среднее от произвольной функции . Это можно сделать, проведя усреднение с известной плотностью вероятности :
Так как нам неизвестна, мы интегрируем с и подставляем в . При помощи обратной замены можно преобразовать второй интеграл в первый. Множитель при в подынтегральной функции окажется искомой плотностью вероятности для .
Рассмотрим в качестве примера случайную величину , имеющую нормальное распределение со средним значением и волатильностью . Найдём распределение для , где — константа.
Первый интеграл — вычисление среднего при помощи нормального распределения. В нём проводится замена , . В результате при :
Вероятность называется логнормальным распределением. В качестве упражнения предлагается вычислить среднее при помощи или гауссовой плотности ( H).
Используя случайные величины в соотношениях типа , мы не выполняем арифметических операций с конкретными числами, а сообщаем о потенциальном вычислении: "если окажется равным некоторому значению, то ....". Иногда делают различие в обозначениях, записывая случайную величину при помощи большой буквы , а при вычислении среднего — строчной буквой , как переменную интегрирования. Мы не будем этого делать, тем не менее, необходимо помнить об этом довольно тонком различии.