Нормальное распределение

$\textstyle \bullet$ Очень часто встречается плотность вероятности Гаусса, или нормальное распределение.

Соответствующую случайную величину на протяжении этих лекций мы будем обозначать как $\textstyle \varepsilon$: \parbox{7.5cm}{ \begin{center} \includegraphics{pic/norm.eps} } \parbox{8cm}{

${;;P(\varepsilon )={\frac {e^{-{\frac {1}{2}}\,\varepsilon ^{2}}}{\sqrt {2\pi }}}}$

} \end{center} Среднее значение $\textstyle \varepsilon$ равно нулю $\textstyle \left\langle \varepsilon \right\rangle =0$, а её квадрата – единице $\textstyle \left\langle \varepsilon ^{2}\right\rangle =1$. Следовательно, дисперсия также равна единице $\textstyle \sigma _{\varepsilon }^{2}=1$. Далее это будет обозначаться следующим образом: $\textstyle \varepsilon \sim N(0,1)$. Если перейти к случайной величине $\textstyle x=\mu +\sigma \cdot \varepsilon$, то она будет иметь среднее $\textstyle \mu$ и волатильность $\textstyle \sigma$ ($\textstyle \lessdot$ C$\textstyle _{}$), поэтому $\textstyle x\sim N(\mu ,\sigma ^{2})$.

Для гауссовых величин полезно знание производящей функции, равной среднему значению от экспоненты [см. (), стр. \pageref{gauss_int_gen}]:

$\left\langle e^{\alpha \cdot \varepsilon }\right\rangle ;=;\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{\alpha \cdot \varepsilon }\,P(\varepsilon )\,d\varepsilon ;=;e^{\alpha ^{2}/2}.$

Разложение в ряд по параметру $\textstyle \alpha$ левой и правой части позволяет легко находить средние произвольных степеней $\textstyle \left\langle \varepsilon ^{n}\right\rangle$ ($\textstyle \lessdot$ H$\textstyle _{}$).

В частности: $\textstyle \left\langle \varepsilon ^{4}\right\rangle$ равно 3, и, следовательно, $\textstyle excess=0$. Вычитание из безразмерного момента четвёртого порядка тройки в определении эксцесса () связано с желанием рассматривать в качестве "эталона" нормальное распределение. Если эксцесс больше нуля, то, скорее всего, распределение имеет "толстые хвосты", т.е. лежит выше графика нормального распределения (при $\textstyle x\to \pm \infty$). Если эксцесс отрицательный – наоборот, ниже.

Интегральным распределением: \parbox{7.5cm}{ \begin{center} \includegraphics{pic/norm1.eps}\ } \parbox{8cm}{

$\displaystyle F(x)=\int \limits _{-\infty }^{x}{\frac {e^{-\varepsilon ^{2}/2}}{\sqrt {2\pi }}};d\varepsilon$

} \end{center} мы называем вероятность того, что случайная величина не превышает некоторого значения $\textstyle x$.

$\textstyle \bullet$ Если известна плотность вероятности $\textstyle P(x)$ величины $\textstyle x$, то мы можем найти плотность вероятности для другой случайной величины $\textstyle y$, связанной с $\textstyle x$ некоторой функциональной зависимостью $\textstyle y=f(x)$. Для этого вычисляется среднее от произвольной функции $\textstyle F(y)$. Это можно сделать, проведя усреднение с известной плотностью вероятности $\textstyle P(x)$:

$\left\langle F(y)\right\rangle =\int \limits _{-\infty }^{\infty }F{\bigl (}y{\bigr )}\cdot {\tilde {P}}(y)\,dy=\int \limits _{-\infty }^{\infty }F{\bigl (}f(x){\bigr )}\cdot P(x)\,dx.$

Так как $\textstyle {\tilde {P}}(y)$ нам неизвестна, мы интегрируем с $\textstyle P(x)$ и подставляем $\textstyle y=f(x)$ в $\textstyle F(...)$. При помощи обратной замены можно преобразовать второй интеграл в первый. Множитель при $\textstyle F(y)$ в подынтегральной функции окажется искомой плотностью вероятности $\textstyle {\tilde {P}}(y)$ для $\textstyle y$.

Рассмотрим в качестве примера случайную величину $\textstyle r=\mu +\sigma \,\varepsilon$, имеющую нормальное распределение со средним значением $\textstyle \mu$ и волатильностью $\textstyle \sigma$. Найдём распределение для $\textstyle x=x_{0}\,e^{r}$, где $\textstyle x_{0}$ – константа.

$\left\langle F(x)\right\rangle =\int \limits _{-\infty }^{\infty }F{\bigl (}x_{0}e^{\mu +\sigma \,\varepsilon }{\bigr )};e^{-\varepsilon ^{2}/2}{\frac {d\varepsilon }{\sqrt {2\pi }}}=\int \limits _{0}^{\infty }F(x);e^{-[\ln(x/x_{0})-\mu ]^{2}/2\sigma ^{2}}{\frac {dx}{x\sigma {\sqrt {2\pi }}}}.$

Первый интеграл – вычисление среднего при помощи нормального распределения. В нём проводится замена $\textstyle x=x_{0}\,e^{\mu +\sigma \varepsilon }$, $\textstyle dx=\sigma xd\varepsilon$. В результате при $\textstyle x\geqslant 0$:

$P_{L}(x)={\frac {1}{x\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\exp \left[-{\frac {(\ln(x/x_{0})-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right].$

Вероятность $\textstyle P_{L}(x)$ называется логнормальным распределением. В качестве упражнения предлагается вычислить среднее $\textstyle \left\langle x\right\rangle$ при помощи $\textstyle P_{L}(x)$ или гауссовой плотности $\textstyle P(\varepsilon )$ ($\textstyle \lessdot$ H$\textstyle _{}$).

$\textstyle \bullet$ Используя случайные величины в соотношениях типа $\textstyle x=\mu +\sigma \varepsilon$, мы не выполняем арифметических операций с конкретными числами, а сообщаем о потенциальном вычислении: "если $\textstyle \varepsilon$ окажется равным некоторому значению, то $\textstyle x$ ....". Иногда делают различие в обозначениях, записывая случайную величину при помощи большой буквы $\textstyle X$, а при вычислении среднего – строчной буквой $\textstyle x$, как переменную интегрирования. Мы не будем этого делать, тем не менее, необходимо помнить об этом довольно тонком различии.