Обсуждение:Группа Пуанкаре

Классический и квантовый спин частиц

1. А как понимать слова о том, что система частиц, обладающих спином, не имеет операторы импульса и момента, соответствующие матрицам 4*4? С чем это связано? С квантовым спином?

Нет. Там идёт речь о том, что в представлении группы Пуанкаре с матрицами 4x4 оператор ${\hat {W}}$ будет равен нулю (т.к. в этом представлении ${\hat {J}}_{\alpha \beta }=x_{\alpha }{\hat {P}}_{\beta }-x_{\beta }{\hat {P}}_{\alpha }$, поэтому ${\hat {W}}^{\nu }={\frac {1}{2}}\,\varepsilon ^{\nu \alpha \beta \gamma }\,{\hat {J}}_{\alpha \beta }\,{\hat {P}}_{\gamma }.=0$). Однако, алгебра (коммутаторы) более общее понятие, по сравнению с представлением генераторов. Поэтому, возможны представления в которых ${\hat {W}}^{\nu }\neq 0$. Они соответствуют спину, например системы частиц или фундаментальной точечной квантовой частице со спином. Впрочем, стоит помнить, что это именно соответствие а не тождественность. Группа Пуанкаре сама по себе не является ещё квантовой механикой. Сергей Степанов 17:35, 22 июля 2013 (UTC)

Спасибо.

А как тогда записать $\ J_{\alpha \beta }$ (как полный момент импульса) в явном виде для случая наличия спина (если это вообще возможно)? Как я понимаю, речь идет еще и о классическом представлении полного момента импульса. Maxim 17:53, 22 июля 2013 (UTC).

2. Если в классическом случае для одной частицы ее 3-вектор спина равен нулю, то как ввести спин частицы в квантовой механике, исходя из оператора спина? Рассмотреть вначале произвольное число частиц, а после этого сказать, что одна частица обладает собственным моментом, не связанным с ее движением?

Не все квантовые понятия имеют свои классические аналоги. Классический спин (как суммарный орбитальный момент системы частиц) имеет четкий квантовый аналог. В тоже время спин точечной частицы, например, электрона не имеет, хотя бы потому, что $\hbar /2$ равен нулю при $\hbar \to 0$. Сергей Степанов 17:35, 22 июля 2013 (UTC)

Спасибо.

А как показать верность коммутационного соотношения для $\ [{\hat {J}}_{ij},{\hat {W}}_{\gamma }]$ "в лоб"? Я получил

$\ [{\hat {J}}_{ij},{\hat {W}}_{\alpha }]=\varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }[{\hat {J}}_{ij},{\hat {J}}_{\beta \gamma }{\hat {P}}_{\delta }]=\varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }[{\hat {J}}_{ij},{\hat {J}}_{\beta \gamma }]{\hat {P}}_{\delta }+\varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }{\hat {J}}_{\beta \gamma }[{\hat {J}}_{ij},{\hat {P}}_{\delta }]=$

$\ i\varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }\left(-g_{i\gamma }{\hat {J}}_{\beta j}{\hat {P}}_{\delta }+g_{j\beta }{\hat {J}}_{i\gamma }{\hat {P}}_{\delta }+g_{i\beta }{\hat {J}}_{\gamma j}{\hat {P}}_{\delta }-g_{j\gamma }{\hat {J}}_{i\beta }{\hat {P}}_{\delta }+g_{\delta i}{\hat {J}}_{\beta \gamma }{\hat {P}}_{j}-g_{\delta j}{\hat {J}}_{\beta \gamma }{\hat {P}}_{i}\right)$,

а что делать дальше - не представляю. Maxim 23:38, 10 августа 2013 (UTC).

Кстати, выражение для коммутатора просто доказать, рассмотрев свертку $\ [{\hat {J}}_{\kappa \lambda },{\hat {W}}^{\mu }{\hat {P}}_{\mu }]$, которая тождественно равна нулю. Maxim 13:30, 11 августа 2013 (UTC).