Обсуждение:Представления групп

Не очень понятно завершение доказательства теоремы Машке

Умножая обе стороны этого равенства слева и справа на $\textstyle \mathbf {S} ^{-1}$, получаем условие унитарности:

$\mathbf {1} =\mathbf {S} ^{-1}\mathbf {T} ^{+}(g_{i})\mathbf {S} ^{2}\mathbf {T} (g_{i})\mathbf {S} ^{-1}={\bigl [}\mathbf {S} \mathbf {T} \mathbf {S} ^{-1}{\bigr ]}^{+}\,\mathbf {S} \mathbf {T} \mathbf {S} ^{-1},$

Мы показали, что ${\bigl [}\mathbf {S} \mathbf {T} \mathbf {S} ^{-1}{\bigr ]}$ - унитарна, но откуда следует, что унитарна $\mathbf {T}$ (не даст ли произведение двух эрмитовых матриц, унитарную) ?

Или это получается из того, что раз матрица ${\bigl [}\mathbf {S} \mathbf {T} \mathbf {S} ^{-1}{\bigr ]}$ - унитарна, то и матрицы составляющие её произведение также унитарны?

Здесь видимо используется следующее:

Если задано некоторое представление размерности $\textstyle n$ (матрицы $\textstyle n$x$\textstyle n$), то при помощи некоторой несингулярной матрицы $\textstyle \mathbf {S}$ ($\textstyle \det \mathbf {S} \neq 0$) той же размерности всегда можно построить другое представление:

$\mathbf {T} '(g)=\mathbf {S} \,\mathbf {T} (g)\,\mathbf {S} ^{-1}.$

откуда: $1=\mathbf {T} '^{+}\mathbf {T} '$ Это верно ?

Спасибо за вопросы. Там, действительно, не совсем ясно написано. Вы правы, имеется ввиду следующее. Пусть $\mathbf {T} (g)$ является неунитарным представлением. При помощи матрицы $\mathbf {S}$ можно всегда перейти к другому представлению в котором матрицами будут $\mathbf {S} \mathbf {T} (g)\mathbf {S} ^{-1}$. При доказательстве теоремы мы подбираем такую матрицу $\mathbf {S}$, чтобы $\mathbf {S} \mathbf {T} (g)\mathbf {S} ^{-1}$ оказалось унитарным. Сергей Степанов 19:52, 2 июня 2013 (UTC)

--Сухопаров Станислав 21:08, 3 июня 2013 (UTC)(Чтобы не забыть, спрошу) Пытаясь разобраться с доказательством леммы Шура, там есть момент когда изменение базиса сохраняет собственные значения матрицы, и переход к другому базису выглядит очень похоже на $\mathbf {T} '(g)=\mathbf {S} \,\mathbf {T} (g)\,\mathbf {S} ^{-1}.$ за исключением того, что переход выглядит вот так $\mathbf {T} '(g)=\mathbf {S} ^{-1}\,\mathbf {T} (g)\,\mathbf {S} .$, то отсюда можно утверждать что раз в некотором базисе матрица ${\bigl [}\mathbf {S} \mathbf {T} \mathbf {S} ^{-1}{\bigr ]}$ - унитарна, то и сама $\mathbf {T}$ также унитарна.

А представление ${\bigl [}\mathbf {S} \mathbf {T} \mathbf {S} ^{-1}{\bigr ]}$, есть представление в некотором другом базисе линейного пространства.

И тут появляется вопрос к этому:

Если задано некоторое представление размерности $\textstyle n$ (матрицы $\textstyle n$x$\textstyle n$), то при помощи некоторой несингулярной матрицы $\textstyle \mathbf {S}$ ($\textstyle \det \mathbf {S} \neq 0$) той же размерности всегда можно построить другое представление:

$\mathbf {T} '(g)=\mathbf {S} \,\mathbf {T} (g)\,\mathbf {S} ^{-1}.$

Не есть ли это представление в другом базисе, к которому мы перешли с помощью матрицы $\textstyle \mathbf {S}$, может так и написать, чтобы было понятно откуда это взялось ?

--Сухопаров Станислав 21:01, 3 июня 2013 (UTC)

Я честно говоря, не совсем понял о какой матрице $\textstyle \mathbf {S}$ идёт речь. Сергей Степанов 20:00, 6 июня 2013 (UTC)

__

Я не совсем понимаю, откуда для матриц 2x2 представления группы $\ \mathbf {D} _{3}$ получаются таким значения для следов элементов, как 2, -1 и т.д. Maxim 12:38, 2 августа 2013 (UTC).

След 2 имеет единичная матрица 2x2 $\mathbf {T} (e)$, след -1 у матриц $\mathbf {T} (a)$ и $\mathbf {T} (a^{2})$ (см. матрицы вращений 3x3 у которых надо отбросить последнюю колонку и строчку). У остальных матриц след нулевой. Сергей Степанов 17:07, 4 августа 2013 (UTC)