Совместная и условная вероятность

Нормальное распределение <<	Оглавление	>> Вероятностные свойства языка

---

$\textstyle \bullet$ Пусть мы имеем дело с двумя случайными величинами $\textstyle x$ и $\textstyle y$. В этом случае наблюдаются пары эмпирических значений $\textstyle \{x_{1},y_{1}\},\;\{x_{2},y_{2}\},$ и т.д., возникающие с той или иной частотой. Поэтому можно говорить о совместной плотности вероятности $\textstyle P(x,y)$ того, что величины принимают некоторые значения в окрестности $\textstyle x$ и $\textstyle y$.

Совместная вероятность позволяет вычислять среднее от произвольной функции двух аргументов:

$\left\langle F(x,y)\right\rangle =\int \limits _{-\infty }^{\infty }F(x,y)\cdot P(x,y)\,dx\,dy.$

(1.15)

Если мы не интересуемся значением величины $\textstyle y$, можно $\textstyle P(x,y)$ проинтегрировать по всем её возможным реализациям и получить плотность вероятности только для величины $\textstyle x$:

$\int \limits _{-\infty }^{\infty }P(x,y)\,dy=P(x).$

(1.16)

Интегрирование ещё раз левой и правой части по $\textstyle x$ даст единицу. Поэтому условие нормировки имеет форму двойного интеграла. Оно получается из (1.15), если положить $\textstyle F(x,y)=1$, так как $\textstyle \left\langle 1\right\rangle =1$.

Одновременное изучение $\textstyle x$ и $\textstyle y$ необязательно означает их временное совпадение. Например, в финансах $\textstyle x$ может быть изменением цены за день европейского фондового индекса, а $\textstyle y$ — американского, торгуемого после европейского. Между ними существует причинная связь, разделённая временем. С другой стороны, изменение цен двух акций $\textstyle x$ и $\textstyle y$ за день происходит одновременно и зависит от внешних синхронизирующих факторов (новости, макроэкономика и т.д.).

Как мы увидим в следующем разделе, совместная плотность вероятности $\textstyle P(x,y)$ особенно важна, если между случайными величинами существует некоторая зависимость. Эта связь может иметь функциональную форму $\textstyle y=f(x)$. Тогда, если для $\textstyle x$ реализуется некоторое значение, то величина $\textstyle y$ будет полностью предопределена. Однако чаще $\textstyle y=f(x,\xi )$, где $\textstyle \xi$ — третья, "ненаблюдаемая", случайная переменная. Она может быть непредсказуемым внешним воздействием, меняющим параметры функциональной зависимости $\textstyle y=f(x)$, или динамической переменной, которую мы не учли в более простой модели.

$\textstyle \bullet$ Кроме совместной вероятности двух величин $\textstyle x$ и $\textstyle y$ удобно ввести условную плотность вероятности. Она отвечает на вопрос, "какова вероятность $\textstyle y$, если уже известно значение величины $\textstyle x$". Условная плотность равна совместной $\textstyle P(x,y)$, нормированной на вероятность уже доступной информации $\textstyle P(x)$:

${\;P(x\Rightarrow y)={\frac {P(x,y)}{P(x)}}\;}.$

(1.17)

В качестве примера для $\textstyle P(x)$ рассмотрим нормальное распределение, а для совместной плотности вероятности $\textstyle P(x,y)$ — "двумерную повёрнутую" гауссиану:

$P(x,y)={\frac {e^{-(x^{2}+y^{2}+{\sqrt {2}}\,xy)}}{\pi {\sqrt {2}}}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;P(x\Rightarrow y)={\frac {e^{-(x^{2}/2+y^{2}+{\sqrt {2}}\,xy)}}{\sqrt {\pi }}}.$

Совместная и условная вероятности представлены на рисунке ниже:

Объём под $\textstyle P(x,y)$ равен единице, тогда как под $\textstyle P(x\Rightarrow y)$ — бесконечности. Нормировка условной вероятности имеет смысл получения любого значения $\textstyle y$ при данном $\textstyle x$:

$\int \limits _{-\infty }^{\infty }P(x\Rightarrow y)\,dy=1.$

(1.18)

Стоит проверить, что формула (1.18) согласуется с (1.16).

Для условной вероятности распространено обозначение $\textstyle P(y|x)$. Однако ниже мы увидим, что $\textstyle P(x\Rightarrow y)$ оказывается более естественной записью при описании цепочек связанных между собой событий. В любом случае $\textstyle P(x\Rightarrow y)$, как и $\textstyle P(x,y)$, — это функция двух вещественных аргументов.

Условная вероятность важна, так как позволяет связать друг с другом разнообразные события, отражая их причинно-следственную связь.

---

Нормальное распределение <<	Оглавление	>> Вероятностные свойства языка

---

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения