Многомерное распределение Гаусса

Характеристическая функция <<	Оглавление	>> Модель аддитивного блуждания

---

$\textstyle \bullet$ При изучении систем стохастических уравнений мы будем активно использовать матричные и тензорные обозначения. Для сокращения операции умножения матриц используется два типа соглашений:

$\eta _{\alpha }=\sum _{i=1}^{n}S_{\alpha i}\;\varepsilon _{i}\;=\;S_{\alpha i}\;\varepsilon _{i}=(\mathbf {S} \cdot \mathbf {\epsilon } )_{\alpha }.$

По повторяющемуся индексу всегда подразумевается суммирование, и знак суммы опускается. Выше таковым является индекс "$i$" во втором равенстве. Повторяющиеся индексы, по которым проводится суммирование, называют "немыми". В процессе вычислений их можно переобозначить в любую букву, которая ещё не используется в выражении. Третье равенство в уравнении () — это матричная форма той же суммы, в которой матрица $\mathbf {S} =S_{\alpha \beta }$ и вектор $\textstyle \epsilon =\{\varepsilon _{1},...,\varepsilon _{n}\}$ перемножаются вообще без упоминания индексов и знака суммирования.

Рассмотрим $n$ независимых гауссовых случайных величин, имеющих нулевое среднее и единичную дисперсию. Среднее значение их произведения $\left\langle \varepsilon _{i}\varepsilon _{j}\right\rangle$ равно единице для совпадающих индексов и нулю — для различных. Подобная матрица будет обозначаться символом Кронекера:

$\left\langle \varepsilon _{i}\varepsilon _{j}\right\rangle =\delta _{ij}=\left\{{\begin{array}{ll}1&i=j\\0&i\neq j.\end{array}}\right.$

Вычислим, например, ковариационную матрицу случайных величин $\textstyle \eta _{\alpha }$:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \bigl\langle\eta_\alpha\eta_\beta\bigr\rangle = S_{\alpha i} S_{\beta j} \bigl\langle\varepsilon_i\varepsilon_j\bigr\rangle = S_{\alpha i} S_{\beta j} \delta_{ij} = S_{\alpha i} S_{\beta i} = S_{\alpha i} S^{T}_{i\beta} = (\mathbf{S}\mathbf{S}^T)_{\alpha\beta}. }

При суммировании с символом Кронекера Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \delta_{ij}} в сумме остаются только слагаемые с Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle i=j} . Поэтому одна из сумм (по Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle j} ) и символ Кронекера исчезают, и остаётся только суммационный индекс Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle i} . Затем вводится новая матрица Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle S^T_{i\beta}=S_{\beta i}} с переставленными индексами. Подобная операция называется транспонированием. В табличном представлении она соответствует перестановке местами строк и столбцов матрицы.

Матрица Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \mathbf{S}} может имеет обратную Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \mathbf{S}^{-1}} , если выполняется уравнение:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf{S}\cdot \mathbf{S}^{-1} = \mathbf{S}^{-1} \cdot \mathbf{S} = \mathbf{1},}

где Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \mathbf{1}=\delta_{ij}} — единичная матрица (символ Кронекера). Так, для определённого выше вектора Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \eta=(\eta_1,...,\eta_n)} можно записать:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \eta =\mathbf{S}\cdot \epsilon\;\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;\;\epsilon=\mathbf{S}^{-1}\cdot \eta,}

где мы умножили левую и правую части на Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \mathbf{S}^{-1}} .

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \bullet} Пусть Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \epsilon = (\varepsilon_1,...,\varepsilon_n)} — стандартные независимые гауссовые случайные величины Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \varepsilon_i\sim N(0,1)} , а величины Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \eta=(\eta_1,...,\eta_n)} получены из них () при помощи перемешивающих коэффициентов Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle S_{\alpha\beta}} . Среднее значение произведения Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \eta_\alpha\eta_\beta} определяется матрицей дисперсий ():

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle D_{\alpha\beta}=\bigl\langle\eta_\alpha\eta_\beta\bigr\rangle,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf{D} = \mathbf{S}\cdot \mathbf{S}^{T},}

которая является симметричной: Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle D_{\alpha\beta}=D_{\beta\alpha}} .

Найдём производящую функцию для случайных величин $\textstyle \eta$. Для этого введём вектор Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \mathbf{b}=(b_1,...,b_n)} и вычислим среднее экспоненты от скалярного произведения Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \mathbf{b}\cdot \eta=b_1\eta_1+...+b_n\eta_n} (по Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle n} нет суммы!):

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \left\langle e^{\mathbf{b}\cdot \eta}\right\rangle = \left\langle e^{\mathbf{b}\cdot \mathbf{S}\cdot \varepsilon}\right\rangle = \left\langle e^{ b_{i} S_{i1} \varepsilon_1}\right\rangle \cdot ...\cdot\left\langle e^{b_{i} S_{in} \varepsilon_n}\right\rangle = e^{\frac{1}{2}\{(b_{i} S_{i1})^2+...+(b_{i} S_{in})^2\}}.}

Мы воспользовались независимостью величин Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \varepsilon_i} , разбив среднее произведения на произведение средних, и формулой. В показателе экспоненты стоит матричное выражение вида:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle (b_{i} S_{i1})^2+...+(b_{i} S_{in})^2 = b_{i} S_{ik}\, b_{j} S_{jk} = b_i \,S_{ik}\, S^T_{kj}\,b_j = \mathbf{b}\cdot \mathbf{S}\cdot \mathbf{S}^T\cdot \mathbf{b}.}

Поэтому окончательно производящая функция равна:

$\phi (\mathbf {b} )=\left\langle e^{\mathbf {b} \cdot \eta }\right\rangle =e^{{\frac {1}{2}}\,\mathbf {b} \cdot \mathbf {D} \cdot \mathbf {b} }.$

Взяв частные производные по Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle b_\alpha} , несложно найти среднее от любого произведения Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \eta_\alpha} . Проверим, что среднее Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \bigl\langle\eta_\alpha\eta_\beta\bigr\rangle} равно Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle D_{\alpha\beta}} . Возьмём производную производящей функции по Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle b_\alpha} . Учитывая, что Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \mathbf{b}\cdot \mathbf{D}\cdot \mathbf{b}} равно $\textstyle b_{i}D_{ij}b_{j}$, имеем:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\partial \phi(\mathbf{b}) }{\partial b_\alpha} = \frac{1}{2}\, (D_{\alpha j} b_j + b_i D_{i\alpha} ) \, \phi(\mathbf{b}) = D_{\alpha i} b_i \, \phi(\mathbf{b}),}

где во втором равенстве мы воспользовались тем, что Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle D_{\alpha\beta}=D_{\beta\alpha}} . Аналогично берётся вторая производная:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\partial^2 \phi(\mathbf{b}) }{\partial b_\alpha \partial b_\beta} = D_{\alpha \beta} \, \phi(\mathbf{b}) + D_{\alpha i} b_i \, D_{\beta j} b_j \,\phi(\mathbf{b}).}

Полагая Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \mathbf{b}=0} и учитывая, что

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{\partial^2 \left\langle e^{\mathbf{b}\cdot \eta}\right\rangle }{\partial b_\alpha \partial b_\beta }\Big|_{\mathbf{b}=0} = \bigl\langle\eta_\alpha\eta_\beta\bigr\rangle,}

приходим к соотношению $\textstyle D_{\alpha \beta }={\bigl \langle }\eta _{\alpha }\eta _{\beta }{\bigr \rangle }$. В качестве упражнения предлагается проверить следующее тензорное выражение:

${\bigl \langle }\eta _{\alpha }\eta _{\beta }\eta _{\gamma }\eta _{k}{\bigr \rangle }=D_{\alpha \beta }D_{\gamma k}+D_{\alpha \gamma }D_{\beta k}+D_{\alpha k}D_{\beta \gamma }.$

Таким образом, среднее любых степеней $\textstyle \eta$ полностью определяется матрицей дисперсии $\mathbf {D}$.

$\textstyle \bullet$ Найдём теперь явный вид совместной плотности вероятности для величин $\textstyle \eta _{1},...,\eta _{n}$. Запишем сначала плотность вероятности для $\textstyle \varepsilon _{1},...,\varepsilon _{n}$:

$P(\varepsilon _{1},...,\varepsilon _{n})=P(\varepsilon _{1})\cdot ...\cdot P(\varepsilon _{n})={\frac {e^{-{\frac {1}{2}}\,(\varepsilon _{1}^{2}+...+\varepsilon _{n}^{2})}}{(2\pi )^{n/2}}}.$

При замене переменных $\textstyle \eta _{\alpha }=S_{\alpha \beta }\varepsilon _{\beta }$ в интеграле необходимо изменить элемент объёма интегрирования $\textstyle d^{n}\varepsilon =d\varepsilon _{1}...d\varepsilon _{n}$, умножив его на якобиан:

$d^{n}\eta =\det \left|{\frac {\partial \eta _{\alpha }}{\partial \varepsilon _{\beta }}}\right|\,d^{n}\varepsilon =(\det \mathbf {S} )\,d^{n}\varepsilon .$

Так как при транспонировании матрицы её определитель не изменяется, а определитель произведения матриц равен произведению их определителей, то $\textstyle \det \mathbf {D} =(\det \mathbf {S} )^{2}$ и, следовательно:

$P(\eta _{1},...,\eta _{n})={\frac {e^{-{\frac {1}{2}}\,\eta \cdot \mathbf {D} ^{-1}\cdot \eta }}{(2\pi )^{n/2}{\sqrt {\det \mathbf {D} }}}},$

где в показателе экспоненты подставлены $\textstyle \epsilon =\mathbf {S} ^{-1}\cdot \eta$:

$\epsilon ^{2}=S_{i\alpha }^{-1}\eta _{\alpha }\,S_{i\beta }^{-1}\eta _{\beta }=\eta _{\alpha }{S^{-1}}_{\alpha i}^{T}\,S_{i\beta }^{-1}\eta _{\beta }=\eta \cdot {\mathbf {S} ^{-1}}^{T}\cdot \mathbf {S} ^{-1}\cdot \eta =\eta \cdot (\mathbf {S} \cdot \mathbf {S} ^{T})^{-1}\cdot \eta$

и использовано свойство обратных матриц $\textstyle (\mathbf {A} \cdot \mathbf {b} )^{-1}=\mathbf {b} ^{-1}\cdot \mathbf {A} ^{-1}$. Как и любая плотность вероятности, $\textstyle P(\eta _{1},...,\eta _{n})$ нормирована на единицу, поэтому, учитывая выражение для производящей функции $\textstyle {\bigl \langle }e^{\mathbf {b} \cdot \eta }{\bigr \rangle }$, можно записать значение следующего $\textstyle n$-мерного гауссового интеграла:

$\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{\mathbf {b} \cdot \eta -{\frac {1}{2}}\eta \cdot \mathbf {D} ^{-1}\cdot \eta }\,d^{n}\eta =(2\pi )^{n/2}\,{\sqrt {\det \mathbf {D} }}\;e^{{\frac {1}{2}}\,\mathbf {b} \cdot \mathbf {D} \cdot \mathbf {b} }.$

До сих пор мы работали с перемешанными величинами, имеющими нулевое среднее: $\textstyle {\bigl \langle }\eta {\bigr \rangle }=\mathbf {S} \cdot {\bigl \langle }\epsilon {\bigr \rangle }=0$. Можно к ним прибавить некоторый постоянный вектор $\textstyle {\bar {\eta }}_{\alpha }$, который будет иметь смысл средних значений $\textstyle \eta _{\alpha }$:

$\eta _{\alpha }={\bar {\eta }}_{\alpha }+S_{\alpha \beta }\varepsilon _{\beta }.$

Тогда общее $\textstyle n$-мерное гауссово распределение принимает вид:

$P(\eta _{1},...,\eta _{n})={\frac {e^{-{\frac {1}{2}}\,(\eta -{\bar {\eta }})\cdot \mathbf {D} ^{-1}\cdot (\eta -{\bar {\eta }})}}{(2\pi )^{n/2}{\sqrt {\det \mathbf {D} }}}},$

где в плотность вероятности $\textstyle P(\varepsilon _{1},...,\varepsilon _{n})$ подставлено Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \epsilon=\mathbf{S}^{-1}\cdot (\eta-\bar{\eta})} .

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \bullet} Рассмотрим в качестве примера случай Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle n=2} . Запишем элементы симметричной матрицы Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle D_{\alpha\beta}} при помощи трёх независимых констант Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \sigma_1} , Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \sigma_2} и $\textstyle \rho$:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf{D} = \begin{pmatrix} \sigma^2_1 & \rho\,\sigma_1\sigma_2 \\ \rho\,\sigma_1\sigma_2 & \sigma^2_2 \\ \end{pmatrix}. }

Несложно проверить, что определитель Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \mathbf{D}} равен

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \det\mathbf{D} = \sigma^2_1\sigma^2_2 (1-\rho^2),}

а обратная к Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \mathbf{D}} матрица имеет вид:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf{D}^{-1} = \frac{1}{\det \mathbf{D}}\, \begin{pmatrix} \sigma^2_2 & -\rho\,\sigma_1\sigma_2 \\ -\rho\,\sigma_1\sigma_2 & \sigma^2_1 \\ \end{pmatrix}. }

В результате совместная плотность вероятности для Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \eta_1,\eta_2} может быть записана следующим образом:

$P(\eta _{1},\eta _{2})={\frac {\exp\{-(x_{1}^{2}-2\rho \,x_{1}x_{2}+x_{2}^{2})/2(1-\rho ^{2})\}}{2\pi \sigma _{1}\sigma _{2}{\sqrt {1-\rho ^{2}}}}},$

где Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle x_i=(\eta_i-\bar{\eta}_i)/\sigma_i} — относительные отклонения Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \eta_i} от своих средних Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \bar{\eta}_i} . Параметры Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \sigma_i} являются волатильностями: Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \bigl\langle(\eta_1-\bar{\eta}_1)^2\bigr\rangle=D_{11}=\sigma^2_1} , а Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \rho} — коэффициент корреляции: $\textstyle \rho =\left\langle x_{1}x_{2}\right\rangle$.

Матрица Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \mathbf{D}} является симметричной, тогда как Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \mathbf{S}} в общем случае — нет. Поэтому $\textstyle \mathbf {D}$ зависит от трёх параметров, а $\textstyle \mathbf {S}$ — от четырёх, и одной и той же матрице дисперсии может соответствовать несколько различных матриц $\textstyle \mathbf {S}$. Так, можно записать:

$\mathbf {S} ={\begin{pmatrix}\sigma _{1}\cos \alpha &\sigma _{1}\sin \alpha \\\sigma _{2}\sin \beta &\sigma _{2}\cos \beta \\\end{pmatrix}},$

где $\textstyle \rho =\sin(\alpha +\beta )$. Понятно, что возможны различные комбинации "углов" $\textstyle \alpha$ и $\textstyle \beta$, дающие один и тот же корреляционный коэффициент $\textstyle \rho$.

Если $\textstyle \alpha =-\beta$, то $\textstyle \rho =0$, и $\textstyle \mathbf {D} =\mathbf {S} \mathbf {S} ^{T}$ является диагональной, а при $\textstyle \sigma _{1}=\sigma _{2}=1$ — единичной. Матрицу $\textstyle \mathbf {S}$, удовлетворяющую уравнению $\textstyle \mathbf {S} \mathbf {S} ^{T}=\mathbf {1}$, называют ортогональной.

Если Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \alpha=0} , Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \rho=\sin\beta} , Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \sigma_1=\sigma_2=1} , то

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathbf{S} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ \rho & \sqrt{1-\rho^2} \\ \end{pmatrix}, \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \mathbf{D} = \begin{pmatrix} 1 & \rho \\ \rho & 1 \\ \end{pmatrix}. }

Подобная смесь переводит независимые стандартные случайные величины Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \varepsilon_1,\varepsilon_2\sim N(0,1)} в скоррелированные, так что Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \textstyle \eta_1,\eta_2\sim N(0,1)}  :

$\left\{{\begin{array}{l}\eta _{1}=\;\;\varepsilon _{1}\\\eta _{2}=\rho \,\varepsilon _{1}+{\sqrt {1-\rho ^{2}}}\;\varepsilon _{2}\\\end{array}}\right.\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;{\bigl \langle }\eta _{1}\cdot \eta _{2}{\bigr \rangle }=\rho ,\;\;\;\;\;\;{\bigl \langle }\eta _{1}^{2}{\bigr \rangle }={\bigl \langle }\eta _{2}^{2}{\bigr \rangle }=1.$

Это позволяет, например, при компьютерном моделировании генерить скоррелированные величины при помощи нескоррелированных.

---

Характеристическая функция <<	Оглавление	>> Модель аддитивного блуждания

---

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения