Обсуждение:Магнитостатика

Здравствуйте! Есть вопросы по поводу написанного в этой главе.

1. "...Первое слагаемое во втором равенстве является полным дифференциалом по $\ \mathbf {r} _{1}$..."

Можете, пожалуйста, расписать это утверждение на мат. языке? Непонятно, кроме того, почему именно по $\ \mathbf {r} _{1}$ полный дифференциал.

Ответ: Интегрирование по $\mathbf {r} _{1}$ и $\mathbf {r} _{2}$ проводятся независимо. Рассматриваем интеграл по $\mathbf {r} _{1}$. При фиксированном $\mathbf {r} _{2}$ (константа) имеем:

$d\left({\frac {1}{|\mathbf {r} _{12}|}}\right)=\nabla _{1}\left({\frac {1}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|}}\right)d\mathbf {r} _{1}=-{\frac {\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}}{|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{3}}}d\mathbf {r} _{1}=-{\frac {\mathbf {r} _{12}d\mathbf {r} _{1}}{|\mathbf {r} _{12}|^{3}}}.$

2. "...В частности, два линейных параллельных проводника на единицу длины притягиваются с силой..." Как Вы взяли интеграл? Переходили к координатам центра масс $\ \mathbf {R}$ и радиус-вектора $\ \mathbf {r} _{12}$? Тогда какие рамки интегрирования были для каждой переменной?

Ответ: Интегрирование ведется от минус до плюс бесконечности по каждому проводнику. Удобно считать, тем не менее, что интегралы берутся от -L/2 до L/2, где L стремится в бесконечность. Можно воспользоваться соображениями симметрии. Ненулевой будет компонента силы перпендикулярная проводникам. Пусть проводники параллельны оси $\ x$ ($d\mathbf {r} _{1}d\mathbf {r} _{2}=dx_{1}dx_{2}$) и $x_{1}$ фиксировано и равно 0. Тогда интегрирование по $x_{2}$ равно

$\int _{-L/2}^{L/2}{\frac {R}{(R^{2}+x_{2}^{2})^{3/2}}}dx_{2}={\frac {x_{2}/R}{(R^{2}+x_{2}^{2})^{1/2}}}{\Bigr |}_{-L/2}^{L/2}={\frac {L/R}{(R^{2}+L^{2}/4)^{1/2}}}\to {\frac {2}{R}},$

где в конце устремлено L к бесконечности. Интегрирование по $x_{1}$ дает L (которое бесконечно). Поэтому мы относим силу на единицу длины (эта величина будет конечна), т.е. делим F на L. Выбор $x_{1}=0$ (опять же из соображений симметрии и бесконечности проводников) несущественен. Впрочем можно все проделать "честно", вычислив двойной интеграл, расписав компоненты подынтегральной функции.

Maxim 15:54, 11 июня 2012 (UTC)

И еще есть вопросы по написанному о соленоиде.

"...Для контура внутри соленоида $\ B_{1}=B_{2}$ независимо от его положения...", "...Аналогично снаружи, однако, если поле убывает, то из $\ B_{1}=B_{2}$ следует $\ \mathbf {B} =0$..."

На основании чего был сделан этот вывод? Это каким-то образом следует из интеграла, который был взят по контуру прямоугольника?

Ответ. Не ясно какой "вывод" смущает. То, что $\ B_{1}=B_{2}$ следует из того, что интеграл по контуру, проведенному внутри или вне соленоида равен нулю (контур не пересекают токи). Поэтому и внутри и вне соленоида магнитное поле постоянно. Но если мы предполагаем, что на бесконечности (перпендикулярно оси соленоида) поля нет (B=0), то в силу его постоянства поля не будет и рядом с поверхностью соленоида (но снаружи).

Maxim 14:27, 12 июня 2012 (UTC)

Я добавил эти вопросы в задачи (см. pdf-ку главе). Вообще лучше читать материалы в pdf-формате - там всегда последняя версия. Сергей Степанов 17:21, 12 июня 2012 (UTC)

Спасибо. Есть еще один вопрос. Каким образом дифференциал первого порядка $\ d\mathbf {F} =I[d\mathbf {r} \times \mathbf {B} ]$ стал дифференциалом второго порядка $\ d\mathbf {F} _{12}=I_{1}I_{2}{\frac {[d\mathbf {r} _{1}\times [d\mathbf {r} _{2}\times \mathbf {r} _{12}]]}{|\mathbf {r} _{12}|^{3}}}$? Все остальное понятно.

Извиняюсь за обилие вопросов.

Maxim 08:57, 13 июня 2012 (UTC)

$d\mathbf {r} =d\mathbf {r} _{1}$ - это смещение по проводнику на который действует магнитное поле. А $d\mathbf {r} _{2}$ - это смещение по проводнику который создает поле. Корректнее в той формуле написать $d\mathbf {B}$. После интегрирования по $d\mathbf {r} _{2}$ получится $\mathbf {B}$. Я подправлю. Спасибо. Сергей Степанов 13:34, 13 июня 2012 (UTC)