Прецессия Томаса/Заключение

Движение гироскопа по окружности <<	Оглавление	>> Приложение A: Вигнеровское вращение

---

В работе получены дифференциальные уравнения, описывающие изменение вектора $\textstyle \mathbf {s}$, связанного с ускоренно движущемся стержнем:

${\frac {d\mathbf {s} }{dt}}=-\gamma ^{2}\,\mathbf {a} \,(\mathbf {v} \mathbf {s} ),$

(97)

классического спина $\textstyle \mathbf {S}$ и момента импульса $\textstyle \mathbf {L}$ вращающегося гироскопа:

${\frac {d\mathbf {S} }{dt}}=\gamma ^{2}\mathbf {v} \,(\mathbf {a} \mathbf {S} ),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\frac {d\mathbf {L} }{dt}}=\gamma ^{2}\,\mathbf {v} \times [\mathbf {L} \times \mathbf {a} ],$

(98)

где $\textstyle \mathbf {v}$, $\textstyle \mathbf {a}$ — мгновенные скорость и ускорение системы и $\textstyle \gamma =1/{\sqrt {1-\mathbf {v} ^{2}}}$. Уравнения записаны в лабораторной системе отсчёта. Спин характеризует собственный момент импульса, не связанный со скоростью поступательного движения гироскопа. Поэтому при рассмотрении гироскопа более существенным является первое уравнение (98). В ковариантной записи оно совпадет с уравнением переноса Ферми.

Полученные уравнения отличаются от известной формулы Томаса

${\frac {d\mathbf {s} }{dt}}=-{\frac {\gamma ^{2}}{\gamma +1}}\,[\mathbf {v} \times \mathbf {a} ]\times \mathbf {s} ,$

(99)

если интерпретировать её как поворот некоторого вектора $\textstyle \mathbf {s}$, жёстко связанного с НИСО относительно лабораторной системы.

Различие уравнения (99) и (97), (98) приводит к качественно отличным результатам при описании ускоренного движения стержня или вращающейся системы частиц. Одинаковая динамика прецессии спина или поворота стержня возникает только в некоторых частных случаях.

Основная причина расхождения с классической формулой Томаса (99) связана с эффектами лоренцевского сокращения длины и трансформационными свойствами спина, которые были учтены в настоящей работе. В общем случае при изменении скорости системы отсчёта возникает её поворот (вигнеровское вращение). Этот кинематический эффект теории относительности приводит к вращению всех векторов, "жёстко" связанных с этой системой отсчёта. Относительно мгновенно сопутствующей ИСО подобный поворот можно описать при помощи уравнения Томаса (99). Однако относительно лабораторной системы отсчёта необходимо учитывать лоренцевское сокращение длины. Оно приводит к дополнительному вращению и изменению длин векторов. В результате уравнение (97) для стержня отличатся от уравнения Томаса.

Аналогична ситуация со спином вращающейся системы. Для корректного рассмотрения прецессии спина необходимо учитывать его трансформационные свойства.

Физические явления, происходящие в неинерциальных системах отсчёта, существенно сложнее по сравнению с физикой инерциальных систем. Представление неинерционной системы как совокупности мгновенно сопутствующих инерциальных систем служит лишь первым приближением. Поэтому уравнения для вращающегося гироскопа (98), как и уравнение для стержня (97), являются приближенными. Они справедливы при относительно небольших ускорениях системы. Впрочем, на примере частного случая "жёсткой" НИСО в работе была проделана оценка характерного ускорения метрового стержня, равного Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \textstyle a_0=3\cdot 10^{16}\;м/c^2} . При $\textstyle a\ll a_{0}$ модель сопутствующих ИСО достаточно хорошо выполняется. Понятно, что это происходит в большинстве реально осуществимых физических ситуаций.

Кроме этого, уравнения (98) перестают выполняться при большой угловой скорости вращения гироскопа. В последнем случае начинают сказываться эффекты относительности одновременности, существенные для составных систем (не точечный гироскоп). Например, хотя энергия и импульс точечной частицы являются компонентами 4-вектора $\textstyle p^{\alpha }=\{E,\mathbf {p} \}$, суммарная энергия и импульс гироскопа такого 4-вектора не образуют \cite{Fock1961}. Это же относится к суммарному моменту импульса и спину. Первый не является 4-тензором, а второй 4-вектором. Более того, можно показать, что если спин гироскопа постоянен в ИСО, где его центр энергии неподвижен, то это не означает, что в общем случае он будет постоянным и в других ИСО. Тем не менее, все эти эффекты имеют более высокий порядок малости по $\textstyle \omega _{0}r_{0}$, где $\textstyle \omega _{0}$ — собственная угловая скорость вращения гироскопа, а $\textstyle r_{0}$ — его характерные размеры. Эти вопросы более подробно будут рассмотрены в отдельной публикации.

Таким образом, в пределе небольших поступательных ускорений и угловых скоростей уравнения (98) выполняются. Скорость же движения гироскопа при этом может быть достаточно большой.

Автор благодарит О. Ю. Орлянского и В. В. Скалозуба за многочисленные стимулирующие дискуссии, доброжелательные замечания и полезные советы.

---

Движение гироскопа по окружности <<	Оглавление	>> Приложение A: Вигнеровское вращение