Прецессия Томаса/Момент импульса и спин

Движение по окружности стержня <<	Оглавление	>> Прецессия спина и момента импульса

---

До сих пор мы рассматривали поворот стержня, движущегося по криволинейной траектории. Иногда вектор спина (собственного момента импульса) гироскопа отождествляют с таким стержнем (или осью координат НИСО). Ниже мы покажем, что это, в общем случае, неверно.

Как известно \cite{LandauLifshizII}, в теории относительности момент импульса $\textstyle \mathbf {L}$ точечной частицы не является векторной частью 4-вектора. Чтобы записать преобразования между двумя инерциальными системами отсчёта, необходимы два вектора:

$\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} ,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf {G} =E\,\mathbf {r} -\mathbf {p} \,t,$

(46)

где $\textstyle \mathbf {p}$ — импульс частицы, а $\textstyle E$ — её энергия. Эти векторы являются компонентами антисимметричного тензора

$L^{\alpha \beta }=x^{\alpha }p^{\beta }-x^{\beta }p^{\alpha }={\begin{pmatrix}0&-G_{x}&-G_{y}&-G_{z}\\G_{x}&0&L_{z}&-L_{y}\\G_{y}&-L_{z}&0&L_{x}\\G_{z}&L_{y}&-L_{x}&0\\\end{pmatrix}},$

(47)

где $\textstyle x^{\alpha }=\{t,\mathbf {r} \}$ — 4-вектор положения частицы в данный момент времени, а $\textstyle p^{\alpha }=\{E,\mathbf {p} \}$ — её 4-импульс.

Используя преобразования Лоренца для координат-времени (7) и аналогичные для энергии-импульса:

$E'=\gamma \,(E-{\mathbf {v} }{\mathbf {p} }),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\mathbf {p} }'={\mathbf {p} }-\gamma {\mathbf {v} }E+\Gamma \,{\mathbf {v} }\,({\mathbf {v} }{\mathbf {p} }),$

(48)

можно получить преобразования для $\textstyle \mathbf {L}$ и $\textstyle \mathbf {G}$, которые мы запишем в обращённом виде:

$\mathbf {L} =\gamma \,(\mathbf {L} '-\mathbf {v} \times \mathbf {G} ')-\Gamma \,\mathbf {v} \,(\mathbf {v} \mathbf {L} '),$

(49)

$\mathbf {G} =\gamma \,(\mathbf {G} '+\mathbf {v} \times \mathbf {L} ')-\Gamma \,\mathbf {v} (\mathbf {v} \mathbf {G} ').$

(50)

Прямые преобразования получаются перестановкой штрихованных и нештрихованных величин и сменой знака относительной скорости $\textstyle \mathbf {v} \mapsto -\mathbf {v}$.

Продольные компоненты векторов $\textstyle \mathbf {L}$ и $\textstyle \mathbf {G}$ при преобразованиях Лоренца не изменяются: $\textstyle \mathbf {v} \mathbf {L} =\mathbf {v} \mathbf {L} '$, $\textstyle \mathbf {v} \mathbf {G} =\mathbf {v} \mathbf {G} '$. Кроме этого, для точечной частицы эти векторы ортогональны в любой системе отсчёта ($\textstyle \mathbf {L} \mathbf {G} =0$).

Суммарная энергия движения, импульс и момент импульса системы частиц определяют суммированием по всем частицам:

${\mathcal {E}}=\sum E,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf {P} =\sum \mathbf {p} ,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf {L} =\sum \mathbf {r} \times \mathbf {p} ,$

(51)

где опущены индексы, нумерующие частицы.

В системе отсчёта, в которой суммарный импульс равен нулю ($\textstyle \mathbf {P} =0$), вектор $\textstyle \mathbf {G}$ делённый на суммарную энергию $\textstyle {\mathcal {E}}$ имеет смысл центра энергии системы \cite{LandauLifshizII} (в нерелятивистском случае центра масс):

$\mathbf {R} ={\frac {\sum E\mathbf {r} }{\sum E}}\approx {\frac {\sum m\mathbf {r} }{\sum m}},$

(52)

где приближенное равенство записано в нерелятивистском пределе, в котором энергия частицы $\textstyle E$ приблизительно равна её массе $\textstyle m$.

Для системы частиц вводится также 4-вектор собственного момента импульса системы или классического (не квантового) спина \cite{Weinberg1975}:

Невозможно разобрать выражение (MathML с переходом в SVG или PNG (рекомендуется для современных браузеров и инструментов повышения доступности): Недопустимый ответ («Math extension cannot connect to Restbase.») от сервера «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle S_\nu = \frac{1}{2}\,\varepsilon_{\nu\alpha\beta\gamma}\,L^{\alpha\beta}\,U^\gamma, }

(53)

где $\textstyle \varepsilon _{\nu \alpha \beta \gamma }$ — символ Леви-Чевиты, а $\textstyle U^{\alpha }$ — суммарная 4-скорость системы частиц, определяемая при помощи суммарного 4-импульса $\textstyle P^{\alpha }=\{{\mathcal {E}},\mathbf {P} \}$:

$U^{\alpha }={\frac {P^{\alpha }}{M}}=\{U^{0},\mathbf {U} \}={\frac {\{1,\mathbf {u} \}}{\sqrt {1-\mathbf {u} ^{2}}}},$

(54)

где $\textstyle \mathbf {u}$ — 3-мерный вектор "суммарной скорости", а $\textstyle M={\sqrt {{\mathcal {E}}^{2}-\mathbf {P} ^{2}}}$ — масса системы частиц (без учёта энергии их взаимодействия). Мы используем сигнатуру $\textstyle g_{\alpha \beta }=\mathrm {diag} (1,-1,-1,-1)$ и $\textstyle \varepsilon _{0123}=1$.

Физический смысл классического спина становится ясным, если его определение (53) записать в 3-мерных обозначениях $\textstyle S^{\alpha }=\{S^{0},\,\mathbf {S} \}$. Оказывается, что 3-вектор спина $\textstyle \mathbf {S}$ пропорционален разнице полного момента импульса $\textstyle \mathbf {L}$ и момента суммарного импульса $\textstyle \mathbf {P}$ к радиус-вектору центра энергии системы $\textstyle \mathbf {R}$:

$\mathbf {S} ={\frac {\mathcal {E}}{M}}\,(\mathbf {L} -\mathbf {R} \times \mathbf {P} ),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;S^{0}=\mathbf {u} \mathbf {S} .$

(55)

Таким образом, спин имеет смысл собственного момента импульса и равен разнице полного момента импульса и момента движения системы как целого. В системе отсчёта, в которой суммарный импульс равен нулю, 3-мерный вектор спина совпадает с моментом импульса $\textstyle \mathbf {S} =\mathbf {L}$.

В силу антисимметричности символа Леви-Чевиты, произведение спина на 4-вектор скорости в любой системе отсчёта равно нулю:

$S\cdot U=S_{\alpha }U^{\alpha }=0.$

(56)

Поэтому в системе покоя $\textstyle U^{\alpha }=\{1,\mathbf {0} \}$ спин обладает только векторными компонентами $\textstyle S^{\alpha }=\{0,\mathbf {S} \}$.

Для точечной частицы $\textstyle \mathbf {L} =\mathbf {R} \times \mathbf {P}$, поэтому всегда $\textstyle \mathbf {S} =\mathbf {0}$. В случае системы частиц, суммарный момент импульса непропорционален суммарному импульсу (51), и спин, в общем случае, не равен нулю.

---

Движение по окружности стержня <<	Оглавление	>> Прецессия спина и момента импульса