Прецессия Томаса/Лоренцевское сокращение — различия между версиями

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
м (Защищена страница «Прецессия Томаса/Лоренцевское сокращение» ([edit=sysop] (бессрочно) [move=sysop] (бессрочно)))
Строка 14: Строка 14:
 
<center>[[File:coord_grid_move.png]]</center>
 
<center>[[File:coord_grid_move.png]]</center>
  
\parbox{14cm}{\large \fig Движение квадрата со скоростью <math>\textstyle v=0.8</math> в различных направлениях. Пунктир &mdash; координатная сетка неподвижной системы. }
+
<blockquote> '''Рисунок 4'''. Движение квадрата со скоростью <math>\textstyle v=0.8</math> в различных направлениях. Пунктир &mdash; координатная сетка неподвижной системы.  
 +
</blockquote>
  
 
На рисунке a изображены координатные оси восьми систем отсчёта и стрелками указаны направления их скорости. Хотя системы расположены по окружности, это ещё не томасовская прецессия, так как каждая система отсчёта движется прямолинейно с постоянной скоростью в указанном стрелкой направлении, а не вдоль окружности.
 
На рисунке a изображены координатные оси восьми систем отсчёта и стрелками указаны направления их скорости. Хотя системы расположены по окружности, это ещё не томасовская прецессия, так как каждая система отсчёта движется прямолинейно с постоянной скоростью в указанном стрелкой направлении, а не вдоль окружности.
Строка 22: Строка 23:
 
<center>[[File:circle_sys_rot.png]]</center>
 
<center>[[File:circle_sys_rot.png]]</center>
  
\parbox{14cm}{\large \fig Координатные оси систем отсчёта, имеющих одинаковый модуль скорости <math>\textstyle v=0.8</math> и разное направление (левый рисунок). Правый рисунок определяет три угла осей движущейся системы отсчёта относительно неподвижной: <math>\textstyle \alpha=\alpha_x+\alpha_y+\pi/2</math>. }
+
<blockquote> '''Рисунок 5'''. Координатные оси систем отсчёта, имеющих одинаковый модуль скорости <math>\textstyle v=0.8</math> и разное направление (левый рисунок). Правый рисунок определяет три угла осей движущейся системы отсчёта относительно неподвижной: <math>\textstyle \alpha=\alpha_x+\alpha_y+\pi/2</math>.  
 +
</blockquote>
  
 
Задавая координаты <math>\textstyle \mathbf{r}'</math> точек в системе отсчёта <math>\textstyle K'</math>, связанной с телом, при помощи преобразований Лоренца можно получить координаты точек <math>\textstyle \mathbf{r}</math> в неподвижной системе <math>\textstyle K</math>. Нас интересует мгновенная форма движущегося тела в момент времени <math>\textstyle t</math> в системе <math>\textstyle K</math>. Поэтому необходимо так переписать преобразования Лоренца, чтобы радиус-вектор <math>\textstyle \mathbf{r}</math> зависел от <math>\textstyle t</math> и <math>\textstyle \mathbf{r}'</math>. Для этого запишем обратные преобразования Лоренца (<math>\textstyle \mathbf{v}\mapsto-\mathbf{v}</math>):
 
Задавая координаты <math>\textstyle \mathbf{r}'</math> точек в системе отсчёта <math>\textstyle K'</math>, связанной с телом, при помощи преобразований Лоренца можно получить координаты точек <math>\textstyle \mathbf{r}</math> в неподвижной системе <math>\textstyle K</math>. Нас интересует мгновенная форма движущегося тела в момент времени <math>\textstyle t</math> в системе <math>\textstyle K</math>. Поэтому необходимо так переписать преобразования Лоренца, чтобы радиус-вектор <math>\textstyle \mathbf{r}</math> зависел от <math>\textstyle t</math> и <math>\textstyle \mathbf{r}'</math>. Для этого запишем обратные преобразования Лоренца (<math>\textstyle \mathbf{v}\mapsto-\mathbf{v}</math>):

Версия 19:19, 13 марта 2011

Преобразования Лоренца << Оглавление >> Уравнение для стержня

Из преобразований Лоренца следует, что если одновременно зафиксировать положение всех точек движущегося объекта, то он будет выглядеть сжатым в направлении движения. Например, квадрат (в собственной системе отсчета), движущийся со скоростью в плоскости вдоль одной из граней, будет короче в раз (рисунки a, b). Если же квадрат движется под углом 45 градусов, то его диагональ вдоль направления движения будет сокращаться, а вторая диагональ — нет. Результат изображён на рисунке c.

Представим, что стороны квадрата — это координатные оси движущейся системы отсчёта. Тогда, при произвольном направлении её скорости, эти оси будут не ортогональны друг другу и некоторым образом повёрнуты относительно неподвижной системы отсчёта.


Coord grid move.png

Рисунок 4. Движение квадрата со скоростью в различных направлениях. Пунктир — координатная сетка неподвижной системы.

На рисунке a изображены координатные оси восьми систем отсчёта и стрелками указаны направления их скорости. Хотя системы расположены по окружности, это ещё не томасовская прецессия, так как каждая система отсчёта движется прямолинейно с постоянной скоростью в указанном стрелкой направлении, а не вдоль окружности.


Circle sys rot.png

Рисунок 5. Координатные оси систем отсчёта, имеющих одинаковый модуль скорости и разное направление (левый рисунок). Правый рисунок определяет три угла осей движущейся системы отсчёта относительно неподвижной: .

Задавая координаты точек в системе отсчёта , связанной с телом, при помощи преобразований Лоренца можно получить координаты точек в неподвижной системе . Нас интересует мгновенная форма движущегося тела в момент времени в системе . Поэтому необходимо так переписать преобразования Лоренца, чтобы радиус-вектор зависел от и . Для этого запишем обратные преобразования Лоренца ():

(EQN)

и исключим из них время :

(EQN)

Это соотношение позволяет вычислять положение точек движущегося тела в данный момент времени в системе .

Первое слагаемое в () указывает на то, что все точки движутся параллельно с постоянной скоростью . Когда , начала систем отсчёта совпадают и форма движущегося тела определяется вторым и третьим слагаемыми (). При , из () следует, что:

(EQN)

т.е. продольные размеры испытывают лоренцевское сокращение, а поперечные (если ) остаются неизменными. Рассмотрим две фиксированные точки тела. Для радиус-векторов к каждой из них запишем соотношение (). Их скалярное произведение в двух системах отсчёта связаны следующим образом:

(EQN)

Пусть движение происходит в плоскости . Выберем одну точку на оси , а вторую — на оси (см. рис.b). В системе их координаты равны: , . Координаты этих же точек в неподвижной системе отсчёта получаются из уравнения ():

(EQN)

где . В результате синус угла между осями и и аналогично для между осями и (см. рис.) равны:

(EQN)

где модули и найдены при помощи второго соотношения ().

Косинус угла между осями движущейся системы отсчёта находится из соотношения ():

(EQN)

Таким образом, координатные оси системы будут ортогональными для наблюдателей в , только если одна из компонент скорости равна нулю. Это происходит при движении вдоль координатной оси.


Преобразования Лоренца << Оглавление >> Уравнение для стержня