Прецессия Томаса/Заключение

Движение гироскопа по окружности <<	Оглавление	>> Приложение A: Вигнеровское вращение

---

В работе получены дифференциальные уравнения, описывающие изменение вектора $\mathbf{s}$, связанного с ускоренно движущемся стержнем: \begin{equation}\label{concl_stick} \frac{d\mathbf{s}}{dt} = - \gamma^2\,\mathbf{a}\,(\mathbf{v}\mathbf{s}), \end{equation} классического спина $\mathbf{S}$ и момента импульса $\mathbf{L}$ вращающегося гироскопа: \begin{equation}\label{concl_gyro} \frac{d\mathbf{S}}{dt} = \gamma^2 \mathbf{v}\,(\mathbf{a}\mathbf{S}), 17:52, 13 марта 2011 (UTC)17:52, 13 марта 2011 (UTC)Сергей Степанов 17:52, 13 марта 2011 (UTC) \frac{d\mathbf{L}}{dt}=\gamma^2 \,\mathbf{v}\times [\mathbf{L}\times \mathbf{a}], \end{equation} где $\mathbf{v}$, $\mathbf{a}$ -- мгновенные скорость и ускорение системы и $\gamma=1/\sqrt{1-\mathbf{v}^2}$. Уравнения записаны в лабораторной системе отсчёта. Спин характеризует собственный момент импульса, не связанный со скоростью поступательного движения гироскопа. Поэтому при рассмотрении гироскопа более существенным является первое уравнение (\ref{concl_gyro}). В ковариантной записи оно совпадет с уравнением переноса Ферми.

Полученные уравнения отличаются от известной формулы Томаса \begin{equation}\label{concl_Thomas} \frac{d\mathbf{s}}{dt}=-\frac{\gamma^2}{\gamma+1}\,[\mathbf{v}\times\mathbf{a}]\times\mathbf{s}, \end{equation} если интерпретировать её как поворот некоторого вектора $\mathbf{s}$, жёстко связанного с НИСО относительно лабораторной системы.

Различие уравнения (\ref{concl_Thomas}) и (\ref{concl_stick}), (\ref{concl_gyro}) приводит к {\it качественно} отличным результатам при описании ускоренного движения стержня или вращающейся системы частиц. Одинаковая динамика прецессии спина или поворота стержня возникает только в некоторых частных случаях.

Основная причина расхождения с классической формулой Томаса (\ref{concl_Thomas}) связана с эффектами лоренцевского сокращения длины и трансформационными свойствами спина, которые были учтены в настоящей работе. В общем случае при изменении скорости системы отсчёта возникает её поворот (вигнеровское вращение). Этот кинематический эффект теории относительности приводит к вращению всех векторов, ``жёстко связанных с этой системой отсчёта. Относительно мгновенно сопутствующей ИСО подобный поворот можно описать при помощи уравнения Томаса (\ref{concl_Thomas}). Однако относительно лабораторной системы отсчёта необходимо учитывать лоренцевское сокращение длины. Оно приводит к дополнительному вращению и изменению длин векторов. В результате уравнение (\ref{concl_stick}) для стержня отличатся от уравнения Томаса.

Аналогична ситуация со спином вращающейся системы. Для корректного рассмотрения прецессии спина необходимо учитывать его трансформационные свойства.

Физические явления, происходящие в неинерциальных системах отсчёта, существенно сложнее по сравнению с физикой инерциальных систем. Представление неинерционной системы как совокупности мгновенно сопутствующих инерциальных систем служит лишь первым приближением. Поэтому уравнения для вращающегося гироскопа (\ref{concl_gyro}), как и уравнение для стержня (\ref{concl_stick}), являются приближенными. Они справедливы при относительно небольших ускорениях системы. Впрочем, на примере частного случая ``жёсткой НИСО в работе была проделана оценка характерного ускорения метрового стержня, равного $a_0=3\cdot 10^{16}~м/c^2$. При $a\ll a_0$ модель сопутствующих ИСО достаточно хорошо выполняется. Понятно, что это происходит в большинстве реально осуществимых физических ситуаций.

Кроме этого, уравнения (\ref{concl_gyro}) перестают выполняться при большой угловой скорости вращения гироскопа. В последнем случае начинают сказываться эффекты относительности одновременности, существенные для составных систем (не точечный гироскоп). Например, хотя энергия и импульс точечной частицы являются компонентами 4-вектора $p^\alpha=\{E,\mathbf{p}\}$, суммарная энергия и импульс гироскопа такого 4-вектора не образуют \cite{Fock1961}. Это же относится к суммарному моменту импульса и спину. Первый не является 4-тензором, а второй 4-вектором. Более того, можно показать, что если спин гироскопа постоянен в ИСО, где его центр энергии неподвижен, то это не означает, что в общем случае он будет постоянным и в других ИСО. Тем не менее, все эти эффекты имеют более высокий порядок малости по $\omega_0 r_0$, где $\omega_0$ -- собственная угловая скорость вращения гироскопа, а $r_0$ -- его характерные размеры. Эти вопросы более подробно будут рассмотрены в отдельной публикации.

Таким образом, в пределе небольших поступательных ускорений и угловых скоростей уравнения (\ref{concl_gyro}) выполняются. Скорость же движения гироскопа при этом может быть достаточно большой.

Автор благодарит О. Ю. Орлянского и В. В. Скалозуба за многочисленные стимулирующие дискуссии, доброжелательные замечания и полезные советы.

---

Движение гироскопа по окружности <<	Оглавление	>> Приложение A: Вигнеровское вращение