Закон Кулона

Космические полёты <<	Оглавление	>> Поле равномерно двигающегося заряда

---

Мир вещественных тел, непосредственно воспринимаемый нашими чувствами, очень привычен в повседневном опыте. Поэтому для возникновения понятия "поле" потребовались длительная эволюция и достаточно высокий уровень физической абстракции.

Простейший способ введения поля состоит в "отрывании" параметров пробного тела от параметров объекта, оказывающего на него силовое воздействие. Так, если неподвижный заряд $\textstyle Q$ воздействует на пробный заряд $\textstyle q$ силой Кулона:

$\mathbf {F} ={\frac {qQ}{r^{3}}}\mathbf {r} ,$

то можно ввести электрическое поле $\textstyle \mathbf {E}$ так, что:

$\mathbf {E} ={\frac {Q}{r^{3}}}\mathbf {r} ,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf {F} =q\mathbf {E} .$

Обратим внимание, что электрическое поле мы обозначаем той же буквой, что и энергию, однако это вектор, поэтому по жирному шрифту или наличию индекса, поле всегда можно отличить от скалярной энергии $\textstyle E$.

Напряжённость электрического поля, т.е. значение векторной функции $\textstyle \mathbf {E}$, зависит от расстояния $\textstyle \mathbf {r}$ и от заряда $\textstyle Q$, но не зависит от значения пробного заряда $\textstyle q$. Такое отделение источника силы от объекта воздействия является очень удобным, однако достаточно формальным. В дальнейшем, когда мы учтём конечность скорости распространения электромагнитного взаимодействия, поле окажется реально существующим физическим объектом.

Закон Кулона, с хорошей степенью точности, справедлив как на очень малых расстояниях, так и на достаточно больших. Тем не менее, с физической точки зрения соответствующее ему электрическое поле $\textstyle \mathbf {E}$ не является хорошо определённой величиной. Если объект, имеющий заряд $\textstyle Q$ — точечный, то при $\textstyle r\to 0$ получается бесконечное значение поля и, следовательно, силы воздействия на пробный заряд $\textstyle q$.

Попробуем временно устранить эту проблему, модифицируя закон Кулона при помощи малой константы $\textstyle a$:

$\mathbf {E} ={\frac {Q\,\mathbf {r} }{(r^{2}+a^{2})^{3/2}}}.$

(EQN)

При $\textstyle a\to 0$ мы возвращаемся к исходному выражению, однако при $\textstyle a\neq 0$ получается конечное значение напряжённости $\textstyle \mathbf {E}$ при $\textstyle r\to 0$. Подобное устранение сингулярности (бесконечности) называется регуляризацией.

Вычислим дивергенцию (см. стр. \pageref{m_nabla}) электрического поля, умножив его на оператор набла. Так как дивергенция радиус вектора $\textstyle \mathbf {r}$ и градиент его длины равны (стр. \pageref{math_nabla_r_3}, \pageref{math_vec_df}):

$\nabla \mathbf {r} =3,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\nabla r=\nabla {\sqrt {\mathbf {r} ^{2}}}={\frac {\mathbf {r} }{r}},$

то для дивергенции имеем (производная произведения):

$\mathbf {\nabla } \mathbf {E} ={\frac {3Q}{(r^{2}+a^{2})^{3/2}}}-{\frac {3Q\mathbf {r} }{2(r^{2}+a^{2})^{5/2}}}\,2r\,{\frac {\mathbf {r} }{r}}=4\pi Q\,\delta _{a}(\mathbf {r} ),$

где введена следующая скалярная функция: \parbox{7cm}{

$\delta _{a}(\mathbf {r} )={\frac {3}{4\pi }}\,{\frac {a^{2}}{(r^{2}+a^{2})^{5/2}}}.$

} \parbox{7cm}{

}

При уменьшении значения параметра $\textstyle a$ функция $\textstyle \delta _{a}(\mathbf {r} )$ получается всё более высокой и узкой (см. рисунок). Множитель при функции выбран таким образом, чтобы интеграл по всему пространству был равен единице:

$\int \delta _{a}(\mathbf {r} )\,dV={\frac {3a^{2}}{4\pi }}\,\int \limits _{0}^{\infty }\int \limits _{4\pi }{\frac {r^{2}drd\Omega }{(r^{2}+a^{2})^{5/2}}}=\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {3\chi ^{2}d\chi }{(1+\chi ^{2})^{5/2}}}={\frac {\chi ^{3}}{(1+\chi ^{2})^{3/2}}}{\Bigr |}_{0}^{\infty }=1.$

Вычисление интеграла проводится в сферических координатах. Интегрирование по телесному углу $\textstyle d\Omega$ даёт $\textstyle 4\pi$ и сделана замена $\textstyle \chi =r/a$. Значение интеграла остаётся единичным при $\textstyle a\to 0$, хотя функция $\textstyle \delta (\mathbf {r} )=\delta _{0}(\mathbf {r} )$ в этом пределе становится разрывной:

$\delta (\mathbf {r} )=\left\{{\begin{array}{lll}0,&\;\;\;&r\neq 0\\\infty ,&\;\;\;&r=0\end{array}}\right.,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\int \limits \delta (\mathbf {r} )\,dV=1.$

Функция с такими свойствами называется трёхмерной функцией Дирака (см. стр. \pageref{m_dirac}). Её удобно использовать для описания точечных зарядов, когда заряд сосредоточен в сколь угодно малом объёме. В этом случае дивергенция электрического поля равна нулю везде, кроме точки $\textstyle r=0$, где она обращается в бесконечность.

Заметим, что если бы мы формально вычислили $\textstyle \nabla \mathbf {E}$ для закона Кулона, то получился бы ноль при любом значении $\textstyle r$. Поэтому дифференцирование сингулярных функций требует определённой аккуратности.

$\textstyle \bullet$ При помощи функции Дирака можно записать закон Кулона в дифференциальной форме:

$\nabla \mathbf {E} =4\pi Q\,\delta (\mathbf {r} ).$

Воспользовавшись теоремой Гаусса (стр. \pageref{m_nabla}), интегрируя по любой замкнутой поверхности окружающей заряд $\textstyle Q$, мы получаем интегральную версию этого же уравнения:

$\oint \limits _{S}\,\mathbf {E} \,d\mathbf {S} =4\pi Q.$

(EQN)

Кроме закона Кулона, важным экспериментальным фактом является принцип суперпозиции, утверждающий, что поле, создаваемое несколькими зарядами, равно векторной сумме напряжённостей поля от каждого такого заряда.

Поэтому закон Кулона в дифференциальной форме может быть записан в следующем виде, который называют законом Гаусса:

$\nabla \mathbf {E} =4\pi \,\rho (\mathbf {r} ),$

(EQN)

где функция $\textstyle \rho (\mathbf {r} )$ называется плотностью заряда

$\rho (\mathbf {r} )=\sum _{i=1}^{n}Q_{i}\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i}).$

Она выражается через значения зарядов $\textstyle Q_{1},...,Q_{n}$, находящихся в точках пространства $\textstyle \mathbf {r} _{1},...,\mathbf {r} _{n}$. Интегральный закон Кулона () остаётся неизменным, однако $\textstyle Q$, входящий в правую часть имеет смысл суммарного заряда в объёме окружённом поверхностью $\textstyle S$.

Если точечные заряды расположены очень близко, так что имеет смысл говорить о непрерывном распределении заряда, его плотность определяется при помощи предела:

$\rho (\mathbf {r} )=\lim _{V\to 0}{\frac {1}{V}}\sum _{i}Q_{i},$

где суммируются все заряды, попавшие в объём $\textstyle V$, окружающий точку пространства $\textstyle \mathbf {r}$. На практике математический предел не вычисляется, а берётся малый объём $\textstyle V$, и плотность считается равной заряду, который в нём содержится. Такая процедура "сглаживания" суммы сингулярных функций Дирака приводит к тому, что плотность заряда $\textstyle \rho (\mathbf {r} )$ оказывается гладкой ("обычной") функцией координат. Решение дифференциального уравнения () при заданной плотности заряда $\textstyle \rho (\mathbf {r} )$ позволяет найти напряжённость электрического поля.

$\textstyle \bullet$ Графически напряжённость поля принято изображать в виде стрелок, направление которых совпадает с вектором $\textstyle \mathbf {E}$, а их количество, проходящее через единицу поверхности, пропорционально модулю напряжённости.

Наличие симметрии в распределении заряда позволяет, при помощи интегрального уравнения (), легко находить напряжённость электрического поля. Рассмотрим, например, однородный шар радиуса $\textstyle R$, плотность заряда внутри которого постоянна. Выделенных направлений нет, поэтому в силу сферической симметрии линии напряжённости электрического поля должны выглядеть так, как это показано на рисунке ниже. Окружим шар сферой радиуса $\textstyle r>R$, имеющей площадь $\textstyle 4\pi r^{2}$. Так как вектор $\textstyle d\mathbf {S}$ параллелен вектору напряжённости, имеем: \parbox{8cm}{

$r>R:\;\;\oint \limits _{S}\,\mathbf {E} \,d\mathbf {S} =|\mathbf {E} |4\pi r^{2}=4\pi Q.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;$

} \parbox{6cm}{

}

Откуда получается закон Кулона $\textstyle |\mathbf {E} |=Q/r^{2}$. Если же $\textstyle r<R$, то заряд внутри сферы равен произведению объёма $\textstyle 4\pi r^{3}/3$ на плотность заряда:

$r<R:\;\;\oint \limits _{S}\,\mathbf {E} \,d\mathbf {S} =|\mathbf {E} |4\pi r^{2}=4\pi \,\rho \,{\frac {4\pi }{3}}\,r^{3}=4\pi Q\,{\frac {r^{3}}{R^{3}}}\;\;\;=>\;\;\;\mathbf {E} ={\frac {\displaystyle Q}{\displaystyle R^{3}}}\mathbf {r} .$

В качестве упражнения предлагается проверить, что напряжённость, создаваемая бесконечной тонкой однородно заряженной нитью имеет вид: \parbox{9cm}{

$\mathbf {E} =2\mu \,{\frac {\mathbf {r} _{\perp }}{r_{\perp }^{2}}}=2\mu \,{\frac {[\mathbf {k} \times [\mathbf {r} \times \mathbf {k} ]]}{[\mathbf {r} \times \mathbf {k} ]^{2}}},$

} \parbox{5cm}{

}

где $\textstyle \mathbf {r} _{\perp }$ — составляющая радиус-вектора, перпендикулярная к нити, $\textstyle \mu =Q/L$ — заряд, приходящийся на единицу длины нити $\textstyle L$, а $\textstyle \mathbf {k}$ — единичный вектор, направленный вдоль нити. Стоит также вычислить $\textstyle \nabla \mathbf {E}$, проведя регуляризацию выражения. Заметим, что, так как выделенных направлений вдоль нити нет, ещё одна симметричная конфигурация поля, когда вектора $\textstyle \mathbf {E}$ касательны цилиндру, окружающему нить (поперёк направления нити), не является подходящей. Нет оснований "закрутить" поле $\textstyle \mathbf {E}$ в одну или в другую сторону. Кроме этого, интегральная форма закона Кулона привела бы в этом случае к нулевому значению поля.

$\textstyle \bullet$ Вторая дифференциальная операция, которая может быть проделана с векторной функцией при помощи оператора набла, это ротор. Для любого сферически симметричного поля $\textstyle f(r)\mathbf {r}$ ротор равен нулю. Действительно, так как:

$\nabla f(r)=f'(r)\,{\frac {\mathbf {r} }{r}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;[\nabla \times \mathbf {r} ]=0,$

для ротора сферически симметричного поля получаем:

$[\nabla \times f(r)\,\mathbf {r} ]=f(r)\,[\nabla \times \mathbf {r} ]-[\mathbf {r} \times \nabla ]\,f(r)=-f'(r)\,{\frac {[\mathbf {r} \times \mathbf {r} ]}{r}}=0.$

Поэтому, как для закона Кулона, так и для его регуляризованного (не сингулярного) выражения (), ротор будет равен нулю. В силу принципа суперпозиции это справедливо для любого статического распределения заряда (закон Кулона!). Поэтому уравнения электростатики имеют вид:

$\nabla \mathbf {E} =4\pi \,\rho ,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;[\nabla \times \mathbf {E} ]=0.$

Последнее уравнение, выражающее центральный характер кулоновского поля точечного заряда, выполняться автоматически, если:

$\mathbf {E} =-\nabla \,\varphi ,$

где $\textstyle \varphi =\varphi (\mathbf {r} )$ — скалярная функция называемая потенциалом. Действительно: $\textstyle [\nabla \times \mathbf {E} ]=-[\nabla \times \nabla ]\varphi =0.$ Подстановка вектора напряжённости, выраженного через потенциал в уравнение для дивергенции, даёт уравнение Пуассона с оператором Лапласа $\textstyle \Delta =\nabla ^{2}$ (стр. \pageref{m_nabla}):

$\Delta \varphi =-4\pi \rho .$

Вычислив градиент, несложно проверить, что для точечного заряда:

$\varphi ={\frac {Q}{r}}.$

Напряжённость и потенциал можно представить в интегральном виде, просуммировав кулоновские поля от зарядов малых объёмов: \parbox{3cm}{

} \parbox{12cm}{

$\;\;\;\mathbf {E} (\mathbf {r} )=\int (\mathbf {r} -\mathbf {R} )\,{\frac {\rho (\mathbf {R} )\,dV}{|\mathbf {r} -\mathbf {R} |^{3}}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\varphi (\mathbf {r} )=\int {\frac {\rho (\mathbf {R} )\,dV}{|\mathbf {r} -\mathbf {R} |}}.$

}

Интегрирование проводится по радиус-вектору $\textstyle \mathbf {R}$, пробегающему все заряды. Если плотность $\textstyle \rho (\mathbf {R} )$ равна сумме дельта-функций Дирака, мы снова возвращаемся к простой сумме напряжённостей или потенциалов, создаваемых точечными зарядами.

$\textstyle \bullet$ При движении в кулоновском поле, создаваемом точечным зарядом $\textstyle Q$, сохраняется полная энергия пробного заряда $\textstyle q$:

${\mathcal {E}}=E+{\frac {qQ}{r}}=E+q\varphi .$

Действительно (см. также стр. \pageref{sec_force}):

${\frac {d{\mathcal {E}}}{dt}}\;=\;\mathbf {u} \mathbf {F} -{\frac {qQ}{r^{2}}}\,{\frac {\mathbf {r} \mathbf {u} }{r}}\;=\;{\frac {qQ}{r^{3}}}\,(\mathbf {r} \mathbf {u} )-{\frac {qQ}{r^{2}}}\,{\frac {\mathbf {r} \mathbf {u} }{r}}\;=\;0.$

Поэтому потенциал $\textstyle \varphi$ можно интерпретировать как потенциальную энергию единичного пробного заряда. Соответственно, напряжённость поля $\textstyle \mathbf {E}$ — это сила, действующая на такой единичный заряд.

При помощи теоремы Стокса, равенство нулю ротора электрического поля, можно записать в интегральном виде: \parbox{9cm}{

$\oint \limits _{L}\mathbf {E} \,d\mathbf {r} =0,$

} \parbox{6cm}{

}

где интегрирование проводится по замкнутому контуру $\textstyle L$. Сила, действующая на заряд $\textstyle q$, равна $\textstyle q\mathbf {E}$, а скалярное произведение силы на вектор смещения $\textstyle d\mathbf {r}$ в пространстве — это работа, совершаемая полем при перемещении заряда. Поэтому подобный интегральный закон выражает равенство нулю работы сил поля при перемещении заряда по замкнутому контуру. Если контур незамкнутый, то работа:

$A=\int \limits _{\mathbf {r_{1}} }^{\mathbf {r_{2}} }\mathbf {F} \,d\mathbf {r} =-\int \limits _{\mathbf {r_{1}} }^{\mathbf {r_{2}} }q\nabla \varphi (\mathbf {r} )\,d\mathbf {r} =-q\int \limits _{\mathbf {r_{1}} }^{\mathbf {r_{2}} }d\varphi =q\varphi (\mathbf {r_{1}} )-q\varphi (\mathbf {r_{2}} )$

равна разнице потенциалов в начальной и конечной точках (изменению потенциальной энергии) и не зависит от формы пути.

До сих пор мы не обсуждали возможные значения зарядов $\textstyle q$ и $\textstyle Q$, входящих в закон Кулона. Эмпирические данные свидетельствуют о том, что заряды могут быть как положительными, так и отрицательными. Сила взаимодействия между двумя зарядами (закон Кулона) зависит от их произведения, следовательно, заряды одинакового знака отталкиваются, а противоположного — притягиваются.

Второе важное свойство заряда — это его квантованность. Существует минимальный заряд, ассоциируемый обычно с зарядом электрона. Все наблюдаемые в свободном состоянии частицы имеют кратное значение этого заряда (возможно, с противоположным знаком).