Космические полёты

Кинетическая энергия <<	Оглавление	>> Частицы и поля

---

Межзвёздные расстояния огромны. Чтобы их преодолевать, необходимы движения с релятивистскими скоростями. В {\it пустом пространстве} летательный аппарат может ускорить себя, только лишившись части своей массы. Рассмотрим детали подобного релятивистского реактивного движения. Пусть ракета массой $M$, летящая со скоростью $v$, за малый интервал времени $dt$ испускает в противоположном от скорости направлении движения нечто, обладающее небольшой энергией $\varepsilon$ и скоростью $-u$: \begin{center} \includegraphics{pic/raket1.eps} \end{center} Скорость ракеты при этом увеличивается, а масса уменьшается. Законы сохранения энергии и импульса имеют вид: $$ \frac{M}{\sqrt{1-v^2}}=\frac{M'}{\sqrt{1-v'^2}}+\varepsilon,13:48, 20 февраля 2010 (UTC)13:48, 20 февраля 2010 (UTC)~~\frac{M\,v}{\sqrt{1-v^2}}=\frac{M'\,v'}{\sqrt{1-v'^2}}-u\,\varepsilon, $$ где $M'$ и $v'$ -- масса и скорость ракеты после испускания, а для импульса испускаемого объекта подставлено соотношение $p=-u\,\varepsilon$ (скорость $\mathbf{u}$ направлена против $v$). Считая изменения энергии и импульса {\it малыми}, их можно записать в дифференциалах ($df=f'-f$): $$ d\,\left(\frac{M}{\sqrt{1-v^2}}\right)=-\varepsilon,13:48, 20 февраля 2010 (UTC)WikiSysopd\,\left(\frac{v\,M}{\sqrt{1-v^2}}\right)=u\,\varepsilon. $$ или, исключая $\varepsilon$, имеем: $$ d\,\left(\frac{v\,M}{\sqrt{1-v^2}}\right)=-u\, d\,\left(\frac{M}{\sqrt{1-v^2}}\right). $$ Скорость истечения $u_x=-u$, как и скорость ракеты, измеряется относительно неподвижной системы отсчёта. Будем считать постоянной скорость истечения {\it относительно ракеты} $u'_x=-u_0=const$. Тогда, по правилу релятивистского сложения скоростей, эта скорость для неподвижного наблюдателя равна: $$

  u_x=\frac{u'_x+v}{1+u_xv}=\frac{-u_0+v}{1-u_0v}=-u.

$$ Естественно, текущая скорость $u$ в неподвижной системе отсчёта зависит от скорости ракеты $v$, и при её увеличении уменьшается (при $u_0<1$).

\vskip 1000mm %\newpage

Масса ракеты $M=M(t)$ и её скорость $v=v(t)$ являются функциями времени. Время всегда можно исключить и считать, что оставшаяся масса ракеты зависит от приобретённой ею скорости $M=M(v)$. Разделив на $dv$, получаем дифференциальное уравнение: $$ \frac{d(vf)}{dv}=\frac{v-u_0}{1-u_0v}\cdot \frac{df}{dv},13:48, 20 февраля 2010 (UTC)WikiSysopгде13:48, 20 февраля 2010 (UTC)WikiSysopf=f(v)=\frac{M(v)}{\sqrt{1-v^2}}. $$ Раскроем производную произведения и разделим дифференциалы: $$ \frac{df}{f}~=~\frac{v-1/u_0}{1-v^2}\cdot dv ~=~ \frac{vdv}{1-v^2}-\frac{1}{2u_0}\,\left(\frac{dv}{1-v}+\frac{dv}{1+v}\right). $$ Это уравнение легко интегрируется ($\lessdot$ H$_{\ref{h_raket1}}$). \label{h_bk_raket1} Возвращаясь от функции $f$ к массе $M=f\cdot\sqrt{1-v^2}$, окончательно получаем: \begin{equation}\label{raketa}

           \frac{M}{M_0}=\left(\frac{1-v}{1+v}\right)^{1/(2u_0)},

\end{equation} где $M_0=M(0)$ - масса ракеты в начале разгона. Восстанавливая фундаментальную скорость $v\mapsto v/c$, несложно ($\lessdot$ H$_{\ref{h_raket2}}$) \label{h_bk_raket2} в нерелятивистском пределе получить известную {\it формулу Циолковского} $M=M_0e^{-v/u_0}$. \index{формула!Циолковского}

Заметим, что при выводе формулы реактивного движения мы предполагали, что поток выбрасываемого из ракеты вещества постоянен как по скорости, так и по интенсивности. На самом деле, это достаточно неэффективный способ ускорения, так как на начальных этапах приходится разгонять как полезный груз, так и топливо. Более рациональным является выбрасывание в начальный момент как можно большего количества вещества, хотя ускорение, испытываемое при этом ракетой, будет очень большим. Так, если вещество испускается ракетой не постепенно, а сразу, например, в результате взрыва, то ситуация с балансом полезной массы ракеты и исходной $M/M_0$ будет иной. Запишем законы сохранения энергии и импульса, когда ракета первоначально была неподвижна, имея массу $M_0$. Пусть она испускает со скоростью $u_0$ некоторую массу $m$: $$ M_0=\frac{M}{\sqrt{1-v^2}}+\frac{m}{\sqrt{1-u_0^2}},13:48, 20 февраля 2010 (UTC)WikiSysop\frac{Mv}{\sqrt{1-v^2}}=\frac{mu_0}{\sqrt{1-u_0^2}}. $$ Исключая $m$, получаем: $$

      \frac{M}{M_0}=\frac{\sqrt{1-v^2}}{1+v/u_0}.

$$ В случае, если $u_0=1$ (фундаментальная скорость), результат совпадает с (\ref{raketa}). Однако при $u_0<1$ формулы различаются, и вместо степенного убывания массы мы имеем значительно более мягкую зависимость от $u_0$.

%\newpage \vskip 1000mm

Из соотношения (\ref{raketa}) следует, что чем выше скорость истечения $u_0$, тем меньшую часть исходной массы теряет ракета. В химических ракетных двигателях скорость истечения в долях фундаментальной скорости составляет порядка $u=10^{-5}=$3 км/c. Поэтому при разгоне до половины скорости света $v=1/2$ от ракеты останется $10^{-23856}$ часть. Понятно, что подобный способ релятивистского ускорения абсолютно нереалистичен.

Наиболее экономичным является двигатель, в котором скорость истечения близка к единице $u_0\sim 1$. В этом случае для достижения половины скорости света $v=1/2$ потребуется потратить 40\% исходной массы. Обычно подобные двигатели называются фотонными, однако в качестве реактивной струи могут использоваться не только фотоны, но и заряженные частицы, ускоренные при помощи электромагнитных полей до скоростей, близких к скорости света.

Представим корабль в виде большого циклического ускорителя заряженных частиц, которые постепенно разгоняются электрическим полем, удерживаясь на круговой или спиральной орбите при помощи магнитного поля. Достигнув околосветовых скоростей, они выбрасываются в виде реактивной струи. Другой вариант -- очень длинный линейный ускоритель частиц, которыми могут быть и достаточно тяжёлые ионизированные атомы. Такой принцип устройства ракеты часто называется ионным двигателем. Он имеет очень маленькую реактивную силу, однако на маршевом разгоне (этап набора скорости при старте, например, с орбиты вокруг Земли) постепенно и достаточно эффективно увеличивает скорость ракеты. Возможны также гибридные варианты, когда несколько пар линейных ускорителей зацикливают разворотными кольцами с магнитным полем. В этом случае двигатель может работать как в линейном, так и в циклическом варианте.

В солнечной системе, кроме химических ракет и ракет, использующих ядерные реакции, возможно движение при помощи светового солнечного давления, отражаемого большими зеркальными парусами. %Для задач маневрирования на орбите это принцип движения уже используется. Стоит также упомянуть идею внешнего ускорения космического аппарата без двигателя. В этом случае он может удаляться от Земли, получая импульсы (например, лазерные) от цепочки вращающихся на разных расстояниях вокруг Земли ускорительных установок. Отдача от таких импульсов будет постепенно увеличивать скорость и самих установок. Подобная раскручивающаяся и увеличивающаяся праща может постоянно запускать множество небольших аппаратов для исследования Солнечной системы, получая энергию для импульсов от солнечных батарей. Не запрещено также и дальнейшее совершенствование идеи Жюля Верна $\ddot\smile$.

%\vskip 1000mm \newpage

Движение с околосветовыми скоростями сопряжено с множеством опасностей. Помимо космических пиратов негуманоидного вида, главным врагом звездолета будут атомы водорода. По современным оценкам в каждом кубическом сантиметре межзвёздного пространства содержится примерно один такой атом. Даже если он имеет небольшую скорость, при столкновении с обшивкой быстролетящего корабля будет порождаться жёсткое радиоактивное излучение. Ещё большая проблема -- пыль и микрометеориты, которые могут быть смертельными даже для автоматических зондов. Одним из возможных решений (технически пока непонятно, как реализуемым) была бы защита от этих частиц при помощи электромагнитных полей, с одновременным захватом их для пополнения расходуемого для реактивного движения вещества.

Вторая проблема - энергетическая. Даже без учёта релятивистской формулы Циолковского, чтобы ускорить зонд массой 100 кг. до скорости, равной половине скорости света, требуется $0.15\cdot 10^2\cdot (3\cdot 10^8)^2\approx 10^{18}$ Дж. По современным меркам это гигантская энергия. Однако освоение термоядерного управляемого синтеза сделает подобные энергии более реалистичными. Не стоит на месте также и физика элементарных частиц. Чем глубже мы опускаемся по структурной лестнице, тем большие энергии связанных состояний потенциально нам доступны. Электрон так же неисчерпаем, как и атом $\ddot\smile$.

Кроме технологических проблем, возникающих при исследовании глубокого космоса, существуют и проблемы, связанные с целесообразностью таких экспедиций. Чем дальше мы забираемся в космос, тем позже человечество узнаёт о результатах исследований. В какой-то момент задержка в получении новой информации полностью нивелирует её ценность. Сомнительна также польза пилотируемых экспедиций, даже в пределах солнечной системы. Стремительно развивающаяся компьютерная техника уже в ближайшем будущем будет обладать интеллектом, сравнимым и, к сожалению, превышающим человеческий. Поэтому слабые биологические организмы, которые необходимо защищать от радиации, обеспечивать воздухом и водой, делают бессмысленными пилотируемые человеческими особями экспедиции. Единственная причина, по которой необходима разработка звездолетов с биологическим экипажем, -- это возможные проблемы с нашим Солнцем. Пока нет оснований считать, что оно выйдет из режима спокойного горения, став, например, сверхновой. Однако мы достаточно мало знаем о его физике. В любом случае, возможность построения ковчегов, способных спасти часть биологических существ и знаний человечества должна быть проработана.

---

Кинетическая энергия <<	Оглавление	>> Частицы и поля

---

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии