Масса

Неинерциальные координаты и время <<	Оглавление	>> Релятивистские законы сохранения

---

$\textstyle \bullet$ После пространства и времени масса — наиболее загадочное свойство, характеризующее объекты окружающего мира. Из своего повседневного опыта мы знаем, что существуют "тяжёлые" и "лёгкие" тела. "Тяжёлые" тела, к тому же, часто имеют большой размер. Их трудно поднять вверх, и одновременно трудно толкнуть в горизонтальном направлении. В этих обыденных описаниях "массивного тела" содержатся три основные характеристики массы — меры количества вещества, гравитационного взаимодействия и инертности. Исаак Ньютон в "Математических началах натуральной философии" определил массу следующим образом:

Количество материи (масса) есть мера таковой, устанавливаемая пропорционально плотности и объёму её. \cite{Newton}

В дальнейшем это определение неоднократно подвергалось критике, так как более естественно выглядит определение плотности через массу и объём: $\textstyle \rho =m/V$. Однако для тел одинаковой плотности вычисление массы через их геометрические характеристики выглядит достаточно привлекательным. Возможно, на более фундаментальном уровне удастся свести понятие массы к пространственным свойствам материи, и тем самым уменьшить число первичных понятий физики.

Инертные свойства массы проявляются при попытке изменить скорость некоторого объекта. В силу определения равномерности хода времени и инерциальных систем отсчёта мы считаем, что свободный объект двигается равномерно и прямолинейно со скоростью $\textstyle \mathbf {u}$. Чтобы его скорость изменилась, необходимо некоторое воздействие со стороны других тел, например, в результате их столкновения. Если две одинаковые частицы сталкиваются с одинаковыми скоростями, а затем разлетаются, то в силу симметрии их скорости после соударения также будут одинаковыми:

Если частицы после столкновения остались "те же", то мы называем такое столкновение упругим. В этом случае скорости конечных частиц оказываются не только одинаковыми по модулю, но и равными скоростям начальных частиц. Подобное свойство можно связать с обратимостью времени. Если прокрутить в обратном направлении фильм об этом соударении, мы не должны заметить никакой разницы ни в скоростях, ни во "внешнем виде" частиц.

Пусть теперь частицы различны, что проявляется в различии их скоростей после соударения. Каковы бы ни были эти скорости, всегда можно подобрать систему отсчёта, в которой сохраняется симметричность при обращении времени:

Действительно, если у частицы $\textstyle A$ в некоторой системе отсчёта до столкновения скорость $\textstyle {\bar {u}}_{1}$, а после $\textstyle -{\bar {u}}_{2}$, то, двигаясь относительно этой системы с подходящей скоростью $\textstyle v$, можно уравнять эти скорости по модулю, получив некоторое $\textstyle u_{1}$. В такой системе, в силу симметрии, окажется неизменным и модуль скорости частицы $\textstyle B$. Однако, если частицы различны, то значение этой скорости $\textstyle u_{2}$ будет отлично от $\textstyle u_{1}$. Мы говорим, что частица, кроме скорости, характеризуется некоторым скалярным параметром, называемым массой. Если массы частицы $\textstyle A$ и $\textstyle B$ равны $\textstyle m_{1}$ и $\textstyle m_{2}$, то справедливо следующее правило упорядочивания:

Невозможно разобрать выражение (неизвестная функция «\begin{array}»): {\displaystyle \begin{array}{lll} m_1<m_2, & \;\;\;если\;\;\; & u_1>u_2;\\ m_1=m_2, & \;\;\;если\;\;\; & u_1=u_2;\\ m_1>m_2, & \;\;\;если\;\;\; & u_1<u_2.\\ \end{array}}

Это определение позволяет упорядочить массы, однако не даёт измерительных инструкций для вычисления их абсолютного значения. Для этого необходимо задать некоторую функцию $\textstyle m_{2}/m_{1}=F(u_{1},u_{2})$, позволяющую по значениям скоростей получать отношение масс. То, что массы входят в виде относительной комбинации, можно мотивировать при помощи следующего мысленного эксперимента:

Пусть кубики с пометками $\textstyle A$ эквивалентны друг другу и отличны от кубиков $\textstyle B$. Тогда столкновения верхних и нижних кубиков будет происходить одинаковым образом. С другой стороны, пары кубиков $\textstyle AA$ и $\textstyle BB$ можно рассматривать, как целые объекты, имеющие вдвое больше "материи". В результате мы приходим к выводу, что пропорциональное увеличение масс не должно изменить значения скоростей. Поэтому и возникает отношение $\textstyle m_{2}/m_{1}$. Естественно, это рассуждение не является самоочевидным и должно рассматриваться, как аксиома. Например, в нём игнорируется возможность взаимодействия кубиков, и целое считается равным простой сумме своих частей.

---

$\textstyle \bullet$ Насколько произвольно задание функции $\textstyle F(u_{1},u_{2})=m_{2}/m_{1}$, и какие ограничения могут быть на неё наложены, исходя из общих соображений? Что в понятии "масса" является определением, а что — опытным фактом? Попробуем сформулировать ряд утверждений, которые предполагаются при определении массы.

Отношение масс двух частиц должно согласовываться с аналогичным отношением, полученным при столкновении с другими частицами. Потребуем, чтобы операция измерения массы обладала транзитивностью:

${\frac {m_{2}}{m_{1}}}=F(u_{1},u_{2}),\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\frac {m_{3}}{m_{2}}}=F(u_{2},u_{3}),\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\frac {m_{3}}{m_{1}}}=F(u_{1},u_{3}).$

Первые два соотношения — это определения. В третьем скорость $\textstyle u_{3}$ та же, что и во втором отношении $\textstyle m_{3}/m_{2}$. Это достаточно сильное требование, которое мы проиллюстрируем на эксперименте, в котором сначала сталкиваются частицы $\textstyle B$ и $\textstyle C$, а затем $\textstyle C$ и $\textstyle A$:

Пусть $\textstyle A$ и $\textstyle B$ двигаются с теми же скоростями, что и в отсутствие $\textstyle C$, а скорость $\textstyle u_{3}$ частицы $\textstyle C$ подобрана так, чтобы выполнялось условие симметричности разлёта $\textstyle C$ и $\textstyle B$ после их столкновения: $\textstyle m_{3}/m_{2}=F(u_{2},u_{3})$. Если затем, при столкновении $\textstyle A$ и $\textstyle C$, эти частицы развернут свои скорости, то частица $\textstyle C$ окажется в своём первоначальном состоянии, двигаясь вправо со скоростью $\textstyle u_{3}$. Финальная картина эквивалентна ситуации, когда $\textstyle C$ вообще не участвовала в столкновении, а $\textstyle A$ и $\textstyle B$ сталкиваются в соответствии с отношением их масс.

Из транзитивности следует, что

$F(u_{1},u_{2})F(u_{2},u_{3})=F(u_{1},u_{3}).$

Массы в это соотношение не входят, и скорость $\textstyle u_{3}$ является произвольной (ей соответствует произвольная масса $\textstyle m_{3}$). Она не зависит от $\textstyle u_{1}$, $\textstyle u_{2}$, поэтому для неё можно задать некоторое фиксированное значение, например, 0. Следовательно, функция $\textstyle F(u_{1},u_{2})$ является отношением двух одинаковых функций $\textstyle F(u_{1},0)/F(u_{2},0)$, зависящих от $\textstyle u_{1}$ и $\textstyle u_{2}$:

${\frac {m_{2}}{m_{1}}}={\frac {f(u_{1})}{f(u_{2})}}.$

(3.1)

Понятно, что правило упорядочивания будет выполняться только, если функция $\textstyle f(u)$ является монотонно растущей.

---

$\textstyle \bullet$ В рамках классической механики для определения функции $\textstyle f(u)$ достаточно потребовать, чтобы масса не зависела от единиц измерения скорости. Например, (3.1) должно приводить к одному и тому же отношению масс при ускоренном просмотре фильма о соударении частиц, когда все скорости умножаются на общий параметр $\textstyle \lambda$:

${\frac {m_{2}}{m_{1}}}={\frac {f(\lambda \cdot u_{1})}{f(\lambda \cdot u_{2})}}.$

Это требование полностью определяет вид функции $\textstyle f(u)$. Действительно, взяв производную уравнения $\textstyle m_{1}f(\lambda \,u_{1})=m_{2}f(\lambda \,u_{2})$ по $\textstyle \lambda$ и разделив на исходное уравнение, получаем:

${\frac {f'(\lambda \,u_{1})\,u_{1}}{f(\lambda \,u_{1})}}={\frac {f'(\lambda \,u_{2})\,u_{2}}{f(\lambda \,u_{2})}}.$

Выберем $\textstyle \lambda =1/u_{2}$, введём обозначения $\textstyle x=u_{1}/u_{2}$ и $\textstyle \alpha =f'(1)/f(1)$. Это даст следующее простое дифференциальное уравнение:

${\frac {f'(x)}{f(x)}}={\frac {\alpha }{x}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;f(x)=f_{0}\cdot x^{\alpha },$

где $\textstyle f_{0}$ — константа интегрирования. Таким образом:

Невозможно разобрать выражение (синтаксическая ошибка): {\displaystyle \frac{m_2}{m_1} = \frac{u_1^\alpha}{u_2^\alpha},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;или\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{m_2^{1/\alpha}}{m_1^{1/\alpha}} = \frac{u_1}{u_2}.}

Выбор парамера $\textstyle \alpha$ произволен и сводится к деформации шкалы масс: $\textstyle m\mapsto m^{\alpha }$. В простейшем случае $\textstyle \alpha =1$ получаем стандартное определение отношения масс точечных частиц:

${\frac {m_{2}}{m_{1}}}={\frac {u_{1}}{u_{2}}}.$

(3.2)

Таким образом, свойство транзитивности операции измерения массы и её независимость от единиц измерения скорости с точностью до степенной деформации полностью определяют связь скоростей частиц и отношения их масс. Обычно фиксируется некоторая частица, масса которой считается эталонной. Массы остальных частиц могут быть выражены в долях эталонной массы при помощи симметричного столкновения.

Можно ли применить все эти рассуждения в релятивистском мире? К сожалению, нет. Получая степенную функцию, мы неявно предполагали, что $\textstyle f(u)$ зависит от единственного размерного параметра $\textstyle u$. Однако в релятивистском мире существует ещё фундаментальная скорость $\textstyle c$, поэтому в общем случае $\textstyle f=f(u,c)$, и при изменении единиц скорости получается $\textstyle f=f(\lambda \,u,\lambda c)$. Поэтому нам потребуются более хитрые рассуждения.

---

$\textstyle \bullet$ Вернёмся к рисунку в начале раздела, иллюстрирующему столкновение одинаковых частиц. Кроме обратимости времени, существует ещё один способ "объяснения" сохранения модуля скоростей частиц после столкновения. Предположим, что некоторая функция квадрата скорости при упругом соударении остаётся неизменной. Эта функция на заре её введения поэтично называлась живой силой, однако со временем, стала более прозаично именоваться энергией. В силу изотропии пространства энергия должна зависеть от квадрата вектора скорости $\textstyle E=E(\mathbf {u} ^{2})$ и, соответственно, быть скаляром. Если суммарная "живая сила" тел в процессе упругого столкновения сохраняется, то, какова бы ни была функция $\textstyle E(\mathbf {u} ^{2})$, модули скоростей финальных частиц не изменятся.

Приняв определение $\textstyle m_{2}u_{1}=m_{1}u_{2}$ и предположив, что энергия частицы пропорциональна её массе $\textstyle E=m\,g(\mathbf {u} ^{2})$, можно получить явный вид функции $\textstyle g$ при помощи преобразований Галилея и следующей аксиомы (свойства массы):

Масса частицы является её собственной характеристикой,\\ и она одинакова для всех инерциальных наблюдателей.

Рассмотрим закон сохранения энергии для симметричного упругого столкновения из системы, двигающейся с произвольной скоростью $\textstyle v$. Скорости в этой системе изменяются $\textstyle \mathbf {u} \mapsto \mathbf {u} -\mathbf {v}$, а массы нет. Поэтому закон сохранения энергии (см. рисунок в начале раздела) имеет следующий вид:

$m_{1}\,g[(u_{1}-v)^{2}]+m_{2}\,g[(u_{2}+v)^{2}]=m_{1}\,g[(u_{1}+v)^{2}]+m_{2}\,g[(u_{2}-v)^{2}].$

Взяв производную по $\textstyle v$ и положив $\textstyle v=0$, с учётом $\textstyle m_{2}\,u_{1}=m_{1}\,u_{2}$ получаем:

$m_{1}\,g'(u_{1}^{2})\,u_{1}=m_{2}\,g'(u_{2}^{2})\,u_{2}\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;\;g'(u_{1}^{2})=g'(u_{2}^{2})=const.$

Так как массы сократились, в силу их произвольности, $\textstyle u_{1}$ и $\textstyle u_{2}$ — также произвольные и независимые величины. Поэтому последнее соотношение выполняется только, если оно равно константе. Следовательно, функция $\textstyle g(\mathbf {u} ^{2})$ линейна по квадрату скорости.

Закона сохранения энергии недостаточно для полного "объяснения" симметрии столкновения одинаковых тел. Так как $\textstyle E$ зависит от квадрата скорости, не запрещена ситуация, когда после столкновения обе частицы полетят в одну сторону. Поэтому для полноты картины требуется ещё одна сохраняющаяся величина — импульс, который уже зависит от направления скорости, т.е. является вектором. Естественно, для объяснения и так "очевидно симметричного" эксперимента введение двух новых сущностей выглядит ненужным. Однако они оказываются очень полезными, когда такой явной симметрии нет.

В классической физике предполагается выполнение трёх законов сохранения — энергии, импульса и массы. В случае упругого столкновения неизменными оказываются следующие суммы по всем частицам:

$\sum _{i}E_{i}=const,\;\;\;\;\;\;\sum _{i}\mathbf {p} _{i}=const,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\sum _{i}m_{i}=const,$

где энергия и импульс для частицы, двигающейся со скоростью $\textstyle \mathbf {u}$, равны:

$E=m\,{\frac {\mathbf {u} ^{2}}{2}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf {p} =m\,\mathbf {u} .$

Для энергии выбор константы в случае упругого столкновения произволен, и она положена равной $\textstyle 1/2$.

Во всех трёх законах присутствует один и тот же параметр, характеризующий частицу, — её масса $\textstyle m$. В частности, сохранение импульса при симметричном упругом столкновении приводит к полученному выше определению классической массы:

$m_{1}u_{1}-m_{2}u_{2}=-m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;\;{\frac {m_{2}}{m_{1}}}={\frac {u_{1}}{u_{2}}}.$

Закон сохранения энергии при этом выполняется автоматически независимо от явного вида функции $\textstyle E(\mathbf {u} ^{2})$.

Из закона сохранения энергии при помощи преобразований Галилея и инвариантности массы можно получить закон сохранения импульса и массы. Действительно, для наблюдателя, двигающегося со скоростью $\textstyle \mathbf {v}$ относительно "неподвижной" системы отсчёта, в которой происходит столкновение, скорости всех частиц изменятся на величину $\textstyle \mathbf {v}$. В силу равноправия инерциальных наблюдателей энергия должна сохраняться в любой системе отсчёта, поэтому:

$\sum _{i}m_{i}{\frac {(\mathbf {u} _{i}-\mathbf {v} )^{2}}{2}}=\sum _{i}m_{i}{\frac {\mathbf {u} _{i}^{2}}{2}}+\mathbf {v} \sum _{i}m_{i}\mathbf {u} _{i}+{\frac {\mathbf {v} ^{2}}{2}}\sum _{i}m_{i}=const.$

Первое слагаемое, благодаря закону сохранения энергии, является константой. В силу произвольности скорости $\textstyle \mathbf {v}$ суммарный импульс и суммарная масса должны быть также постоянны. Для более строго вывода необходимо приравнять это выражение к аналогичному, в котором стоят новые скорости разлетающихся частиц $\textstyle \mathbf {u} '_{i}$, и взять производную по $\textstyle \mathbf {v}$. Приравнивая $\textstyle \mathbf {v} =0$, мы получим закон сохранения суммарного импульса. Ещё одна производная по $\textstyle \mathbf {v}$ даст закон сохранения массы.

Если бы энергия зависела от квадрата скорости нелинейным образом, то, при выполнимости линейных преобразований Галилея, у нас возникло бы не три закона сохранения, а больше.

---

Неинерциальные координаты и время <<	Оглавление	>> Релятивистские законы сохранения

---

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии