Просмотр исходного текста страницы Франк Роте 1911 III

<center>
'''О преобразовании пространственно-временных координат из неподвижных систем в движущиеся'''
</center>

<center>
''Филипп Франк и Герман Роте''
</center>

<center>
Ann. der Physik, Ser. 4, Vol. 34, No. 5, 1911, pp. 825&mdash;855
</center>

----
<center>
Части: 
[[Франк_Роте_1911|Введение]] -
[[Франк_Роте_1911_I| I ]] -
[[Франк_Роте_1911_II| II ]] -
[[Франк_Роте_1911_III| III ]] -
[[Франк_Роте_1911_IV| IV ]] -
[[Франк_Роте_1911_V| V ]] -
[[Франк_Роте_1911_VI| VI ]] -
[[Франк_Роте_1911_VII| VII ]] -      
</center>
----

<center> '''III''' </center>

10. Теперь можно подытожить все предположения, которые мы сделали в отношении преобразований (6), следующим образом: ''shape Преобразования (6), которые связывают пространственно-временные координатаы в начальной и конечной системах <math>\textstyle S</math> и <math>\textstyle S'</math>, образуют однопараметрическую линейную однородную группу с параметром <math>\textstyle p</math>.'' Чтобы уравнения (43) со значением параметра <math>\textstyle p=p_0</math> преобразовывались в уравнения (15), которые представляют тождественное преобразование, должно быть:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \left\{ \begin{array}{lll} \displaystyle a_{11}(p_{0})=1,\;\;\; a_{12}(p_{0})=0,\\[2mm] \displaystyle a_{21}(p_{0})=0,\;\;\; a_{22}(p_{0})=1. \end{array} \right. </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(44)'''</div>
 |}

Для значения параметра <math>\textstyle p=p_{0} + \delta p</math> получим коэффициенты:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \left\{ \begin{array}{lll} a_{11}(p_{0}+ \delta p)=1+a'_{11}(p_{0})\, \delta p,\\[2mm] a_{21}(p_{0}+ \delta p)=\;\;\;\;\;\;a'_{21}(p_{0})\,\delta p,\\[2mm] a_{12}(p_{0}+ \delta p)=\;\;\;\;\;\;a'_{12}(p_{0})\, \delta p,\\[2mm] a_{22}(p_{0}+ \delta p)=1+a'_{22}(p_{0})\, \delta p, \end{array} \right. </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(45)'''</div>
 |}

и, если мы положим

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \left\{ \begin{array}{lll} a'_{11}(p_{0})=\alpha_{11},\;\;\; a'_{12}(p_{0})=\alpha_{12},\\[2mm] a'_{21}(p_{0})=\alpha_{21},\;\;\; a'_{22}(p_{0})=\alpha_{22}, \end{array} \right. </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(46)'''</div>
 |}

то отсюда следуют уравнения для бесконечно малого преобразования [сравним с уравнениями (19), (20), (21) и (22) в п.5] в виде:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \delta t=(\alpha_{11}t+\alpha_{12}x)\delta p,\;\;\;\; \delta x=(\alpha_{21}t+\alpha_{22}x)\delta p, </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(47)'''</div>
 |}

таким образом, что для линейной однородной группы (43) выполняется:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \tau(t,x)\equiv \alpha_{11}t+\alpha_{12}x,\;\;\; \xi(t,x)\equiv \alpha_{21}t+\alpha_{22}x. </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(48)'''</div>
 |}

Коэффициенты <math>\textstyle \alpha_{11}, \alpha_{12}, \alpha_{21}, \alpha_{22}</math> могут быть выбраны произвольно, существенны только их отношения. Таким образом, существует <math>\textstyle \infty^3</math> бесконечно малых преобразований (47), и каждое из них генерирует определенную однопараметрическую линейную однородную группу (43).

11. Рассмотрим теперь некоторое определенное преобразование из <math>\textstyle \mathfrak{G}</math>, т.е. придадим параметру <math>\textstyle p</math> какое-либо фиксированное значение. Дифференцируя уравнения (43) мы тогда получим:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> dt'=a_{11}(p)\cdot dt+a_{12}(p)\cdot dx,\;\;\;\;dx'=a_{21}(p)\cdot dt+a_{22}(p)\cdot dx, </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(49)'''</div>
 |}

откуда следует, что дифференциалы <math>\textstyle dt, dx</math> преобразовываются так же, как конечные величины <math>\textstyle t, x</math>, и что, таким образом, обе пары величин <math>\textstyle t, x</math> и <math>\textstyle dt, dx</math> подвергаются коградиентным преобразованиям (43) и (49).

Из уравнений (49) следует:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \frac{dx'}{dt'}=\frac{a_{21}(p)\cdot dt+a_{22}(p)\cdot dx}{a_{11}(p)\cdot dt+a_{12}(p)\cdot dx} </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(50)'''</div>
 |}

и, таким образом, вследствие (27):

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> w'=\frac{a_{21}(p)+a_{22}(p)\cdot w}{a_{11}(p)+a_{12}(p)\cdot w}. </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(51)'''</div>
 |}

Это уравнение, которое описывает преобразование скорости <math>\textstyle w</math> в <math>\textstyle w'</math>, занимает место уравнения (28) и представляет вместе с уравнениями (43) первую расширенную группу <math>\textstyle \mathfrak{G}_{1}</math>. Особую важность имеет то обстоятельство, что в случае линейной группы <math>\textstyle w'</math> является функцией только от <math>\textstyle w</math> и <math>\textstyle p</math> и не зависит от <math>\textstyle t</math> и <math>\textstyle x</math>.

В итоге, мы получаем бесконечно малое преобразование скорости <math>\textstyle w</math> с помощью (34) и (48) в виде:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \delta w=-[-\alpha_{21}+(\alpha_{11}-\alpha_{22})w+\alpha_{12}w^{2}]\delta p, </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(52)'''</div>
 |}

откуда следует вывод, что функция <math>\textstyle \eta(t,x,w)</math> в (35) уже не содержит величин <math>\textstyle t</math> и <math>\textstyle x</math>. С помощью этого бесконечно малого преобразования скорость <math>\textstyle w</math> преобразовывается в <math>\textstyle w'= w+\delta w</math> согласно (33) и, таким образом, тогда и только тогда остается неизменной, когда:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \delta w=0. </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(53)'''</div>
 |}

Это выполняется для тех скоростей, которые являются корнями квадратного уравнения:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> -\alpha_{21}+(\alpha_{11}-\alpha_{22})w+\alpha_{12}w^{2}=0. </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(54)'''</div>
 |}

Они остаются неизменными при бесконечно малом преобразовании и поэтому (как мы, впрочем, ещё непосредственно покажем в конце п.12) также при любом конечном преобразовании группы <math>\textstyle \mathfrak{G}</math>. В дальнейшем мы будем называть их выделенными скоростями и предположим, что:

''shape Скорость <math>\textstyle w=0</math> (т. е. в состоянии покоя) не должна быть выделенной скоростью, откуда следует, что должно быть:''

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \alpha_{21}\neq 0. </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(55)'''</div>
 |}

Из предположения (55) прежде всего следует, что исключается случай:

:<center><math>\alpha_{11}=\alpha_{22},\;\;\;\; \alpha_{12}=\alpha_{21}=0,</math></center>

когда уравнение (54) выполняется тождественно и, таким образом, каждая скорость <math>\textstyle w</math> была бы выделенной. В любом другом случае мы имеем только две выделенные скорости, которые обозначим <math>\textstyle c_{1}</math> и <math>\textstyle c_{2}</math>, а именно:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> c_{1}=\frac{\alpha_{22}-\alpha_{11}+\sqrt{\theta}}{2\alpha_{12}},\;\;\;\;c_{2}=\frac{\alpha_{22}-\alpha_{11}-\sqrt{\theta}}{2\alpha_{12}}, </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(56)'''</div>
 |}

где

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \theta=(\alpha_{11}-\alpha_{22})^{2}+4\alpha_{12}\alpha_{21}. </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(57)'''</div>
 |}

Основные симметричные функции корней <math>\textstyle c_{1}</math> и <math>\textstyle c_{2}</math>:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> c_{1}+c_{2}=\frac{\alpha_{22}-\alpha_{11}}{\alpha_{12}},\;\;\;\;c_{1}c_{2}=-\frac{\alpha_{21}}{\alpha_{12}}, </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(58)'''</div>
 |}

и при помощи этих отношений можно легко привести бесконечно малое преобразование (52) к виду:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \delta w=\alpha_{21}\left(1-\frac{w}{c_{1}}\right)\left(1-\frac{w}{c_{2}}\right)\delta p, </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(59)'''</div>
 |}

в котором значение <math>\textstyle c_{1}</math> и <math>\textstyle c_{2}</math> как выделенных скоростей становится особенно очевидным.

----
<center>
Части: 
[[Франк_Роте_1911|Введение]] -
[[Франк_Роте_1911_I| I ]] -
[[Франк_Роте_1911_II| II ]] -
[[Франк_Роте_1911_III| III ]] -
[[Франк_Роте_1911_IV| IV ]] -
[[Франк_Роте_1911_V| V ]] -
[[Франк_Роте_1911_VI| VI ]] -
[[Франк_Роте_1911_VII| VII ]] -      
</center>
----

[[Релятивистский мир]] - лекции по теории относительности, гравитации и космологии