Просмотр исходного текста страницы Уравнение стохастического осциллятора

{| width="100%"  
 | width="40%"|[[Системы стохастических уравнений]] << 
 ! width="20%"|[[Стохастический мир|Оглавление]] 
 | width="40%" align="right"| >> [[Линейные многомерные модели]]
|}
----

<math>\textstyle \bullet</math> В качестве примера решения стохастической задачи в двух измерениях <math>\textstyle n=m=2</math> рассмотрим движение по окружности с частотой <math>\textstyle \omega</math> и постепенным уменьшением радиуса. Детерминированная версия подобной спирали может иметь следующую зависимость координат от времени:  

<center>[[File:spiral.png]]</center>

Примеры систем с таким поведением мы рассмотрим в следующей главе. Сейчас наша цель &mdash; математическое описание стохастической динамики. Для этого найдём решение системы уравнений следующего вида:

:<center><math>\left\{ \begin{array}{l} dx = (-\lambda \,x - \omega\, y)\,dt \;+\; \sigma \,\delta W_x\\ dy = (+ \omega\, x -\lambda \,y )\,dt \;+\; \sigma \,\delta W_y.\\ \end{array} \right.</math></center>

Предполагается, что шум <math>\textstyle \delta W_x=\varepsilon_x\sqrt{t}</math>, <math>\textstyle \delta W_y=\varepsilon_y\sqrt{t}</math> по каждой координате нескоррелирован. В качестве упражнения (<math>\textstyle \lessdot</math> H) стоит записать эту же систему для скоррелированного шума.

<math>\textstyle \bullet</math> Зависимость среднего значения от времени находим из (6.16):

:<center><math>\left\{ \begin{array}{l} \dot{\overline{x}} = -\lambda \,\overline{x} - \omega\, \overline{y}\\ \dot{\overline{y}} = + \omega\, \overline{x} - \lambda \,\overline{y}.\\ \end{array} \right.</math></center>

Умножим второе из уравнений на мнимую единицу <math>\textstyle \imath</math> (<math>\textstyle \imath^2=-1</math>) и сложим их. В результате для комплексной величины <math>\textstyle z=x+\imath y</math> и параметра <math>\textstyle \Lambda=\lambda - \imath\omega</math> получим "одномерное" уравнение <math>\textstyle \dot{\overline{z}} = -\Lambda\, \overline{z}.</math> Оно легко интегрируется:

:<center><math>\overline{z}(t) = e^{-\Lambda t}\,z_0 = e^{-\lambda\,t + \imath\omega\, t}\,z_0 = e^{-\lambda t } (\cos\omega t + \imath\sin\omega t) z_0,</math></center>

где <math>\textstyle z_0=z(0)=x_0+\imath y_0</math> &mdash; начальное условие. Приравняв действительную и мнимую части:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \left\{ \begin{array}{l} \overline{x}(t) = e^{-\lambda t}\cdot (x_0 \cos \omega t - y_0 \sin \omega t )\\ \overline{y}(t) = e^{-\lambda t}\cdot (x_0 \sin \omega t + y_0 \cos \omega t ),\\ \end{array} \right. </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(6.18)'''</div>
 |}

получаем решение для эволюции средних значений координат в виде спирали. По каждой координате происходят затухающие периодические колебания. Параметр <math>\textstyle \omega</math> является их частотой, <math>\textstyle \lambda</math> &mdash; скоростью затухания.

<math>\textstyle \bullet</math> Найдём теперь, как ведёт себя среднее значение квадрата расстояния от начала координат. Воспользуемся матричной записью уравнения (6.17) для среднего 
<math>\textstyle \dot{\left\langle \mathbf{x}^2\right\rangle }=2\left\langle \mathbf{x} \cdot\mathbf{a} \right\rangle + \mathrm{Tr}\,\left\langle \mathbf{b} \cdot\mathbf{b}^{T} \right\rangle </math>. 
В нашем случае:

:<center><math>\mathbf{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}, \;\;\;\;\;\;\;\;\; \mathbf{a} = \begin{pmatrix} -\lambda x- \omega y \\ + \omega x -\lambda y \\ \end{pmatrix}, \;\;\;\;\;\;\;\;\; \mathbf{b} =\sigma \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix}.</math></center>

Поэтому получаем:

:<center><math>\dot{\overline{\mathbf{x}^2}} = -2\lambda \, \overline{\mathbf{x}^2} + 2\sigma^2\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\; \overline{\mathbf{x}^2}(t) = \frac{\sigma^2}{\lambda}+\left(x_0^2+y_0^2-\frac{\sigma^2}{\lambda}\right)\,e^{-2\lambda t}.</math></center>

Таким образом, когда колебания "затухнут" (<math>\textstyle t\to\infty</math>), останется ненулевая дисперсия квадрата, тем большая, чем медленнее происходило затухание! Этот результат свидетельствует о стабилизирующей роли сильного трения (большие <math>\textstyle \lambda</math>) при внешних стохастических толчках. Несмотря на то, что <math>\textstyle \lambda</math> находится в знаменателе, особенности при <math>\textstyle \lambda=0</math> нет. Раскладывая экспоненту, несложно убедиться, что при <math>\textstyle \lambda=0</math> среднее равно <math>\textstyle \overline{\mathbf{x}^2}=x_0^2+y_0^2+2\sigma^2 t</math>. Это означает, что, как и в винеровском блуждании, внешние толчки со временем размывают круговую траекторию. Найти асимптотическое решение <math>\textstyle \overline{x^2}(t)</math>, <math>\textstyle \overline{y^2}(t)</math>, <math>\textstyle \overline{xy}(t)</math> в ситуации скоррелированного шума предлагается в качестве упражнения (<math>\textstyle \lessdot</math> H).

<math>\textstyle \bullet</math> Выразим решение задачи через гауссовы переменные. В комплексных обозначениях стохастическое уравнение имеет компактный вид:

:<center><math>dz= -\Lambda \,z\, dt + \sigma\,\delta W,</math></center>

где <math>\textstyle \delta W = \varepsilon \,\sqrt{dt}</math>, <math>\textstyle \varepsilon = \varepsilon_x + \imath\varepsilon_y</math> &mdash; комплексное гауссово число, а <math>\textstyle z</math> и <math>\textstyle \Lambda</math> определены выше. Перейдём, при помощи формулы Ито, к переменной <math>\textstyle F=ze^{\Lambda t}</math>. Её динамическое уравнение не будет содержать сноса:

:<center><math>dF = \sigma e^{\Lambda t} \delta W = S(t) \,\delta W,</math></center>

где <math>\textstyle S(t)=\sigma\,e^{\Lambda t}</math>. Решим уравнение <math>\textstyle dF = S(t) \,\delta W</math> итерациями (<math>\textstyle k=1...n</math>):

:<center><math>F=F_0 +\sum S(t_{k-1})\varepsilon(t_k) \sqrt{\Delta t}.</math></center>

Как функция <math>\textstyle S(t)</math>, так и <math>\textstyle \varepsilon_k</math> являются комплексными величинами, поэтому необходима определённая осторожность по сворачиванию этой суммы в одно гауссово число. Распишем действительные и мнимые части:

:<center><math>\sum [S_x+\imath S_y][\varepsilon_x+\imath\varepsilon_y] \sqrt{\Delta t} = \sum [(\underbrace{S_x\varepsilon_x-S_y\varepsilon_y}_{|S|\, \varepsilon'_x}) +\imath(\underbrace{S_x\varepsilon_y+S_y\varepsilon_x}_{|S|\, \varepsilon'_y})] \sqrt{\Delta t},</math></center>

где <math>\textstyle |S|=\sqrt{S_x^2+S^2_y}</math> &mdash; модуль комплексного числа, а <math>\textstyle \varepsilon'_x</math>, <math>\textstyle \varepsilon'_x</math> &mdash; новые ''нескоррелированные'' <math>\textstyle \left\langle \varepsilon'_x\varepsilon'_y\right\rangle =0</math> гауссовы числа.

Опуская штрихи и повторяя рассуждения одномерного случая (стр. \pageref{ito_only_t_solution}), мы можем окончательно записать:

:<center><math>F(t) = F(t_0) + \left[\int\limits^t_{t_0} |S(\tau)|^2 d\tau \right]^{1/2}\cdot\varepsilon,</math></center>

где <math>\textstyle \varepsilon = \varepsilon_x + \imath \varepsilon_y</math> &mdash; по-прежнему комплексная гауссова случайная величина.

Заметим, что действительная и мнимая части выражения <math>\textstyle \varepsilon'=e^{\imath\alpha} \varepsilon</math> являются независимыми гауссовыми числами. Действительно, распишем их в явном виде:

:<center><math>\begin{array}{l} \varepsilon'_x = \varepsilon_x \cos \alpha - \varepsilon_y \sin \alpha\\ \varepsilon'_y = \varepsilon_x \sin \alpha + \varepsilon_y \cos \alpha \end{array}</math></center>

Прямым вычислением проверяем [[File:ito_eq10.png]] и 
<math>\textstyle \left\langle \varepsilon'_x\varepsilon'_y \right\rangle =0</math>. Поэтому множители типа 
<math>\textstyle e^{\imath\omega t}</math> 
перед комплексным гауссовым числом можно опускать, так как <math>\textstyle e^{\imath\alpha}\varepsilon</math> статистически эквивалентно просто 
<math>\textstyle \varepsilon</math>

Проводя интегрирование для <math>\textstyle |S(\tau)|^2=\sigma^2\,e^{2\lambda \tau}</math> и учитывая, что <math>\textstyle z=F\cdot e^{-\Lambda t}</math>, <math>\textstyle z_0=F_0</math>, для <math>\textstyle t_0=0</math> получаем:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> z = z_0 \, e^{-\lambda t + \imath\omega t} + \frac{\sigma}{\sqrt{2\lambda}} \cdot \sqrt{1-e^{-2\lambda t}}\cdot \varepsilon </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(6.19)'''</div>
 |}

или в явном виде для действительной и мнимой частей: 
<center>
<math>
\begin{array}{lcl} x(t) &=& \overline{x}(t) + \frac{\sigma}{\sqrt{2\lambda}} \, \sqrt{1-e^{-2\lambda t}} \cdot \varepsilon_x\\ y(t) &=& \overline{y}(t) + \frac{\sigma}{\sqrt{2\lambda}} \, \sqrt{1-e^{-2\lambda t}} \cdot \varepsilon_y, 
\end{array} 
</math>
</center>
где <math>\textstyle \overline{x}(t)</math> и <math>\textstyle \overline{y}(t)</math> &mdash; средние, определяемые выражениями (6.18). В качестве упражнения стоит найти <math>\textstyle \overline{x^2}(t)</math>, <math>\textstyle \overline{y^2}(t)</math>, <math>\textstyle \overline{xy}(t)</math> и проверить справедливость уравнений для средних (<math>\textstyle \lessdot</math> H).

Квадрат величины <math>\textstyle |z|^2=x^2+y^2</math> является квадратом радиус-вектора, для которого уже известно среднее значение. Сделаем это ещё раз при помощи (6.19):

:<center><math>\left\langle |z_t|^2\right\rangle = |z_0|^2\, e^{-2\lambda t} + \frac{\sigma^2}{\lambda}\cdot \left(1-e^{-2\lambda t}\right).</math></center>

Обращаем внимание на то, что <math>\textstyle \left\langle |\varepsilon|^2\right\rangle =\left\langle \varepsilon \varepsilon^*\right\rangle = \left\langle \varepsilon^2_x + \varepsilon^2_y\right\rangle = 2</math>, где звёздочка обозначает ''комплексное сопряжение''.

В решении, аналогично одномерному случаю, можно выразить <math>\textstyle z</math> в момент времени <math>\textstyle t+\tau</math> через <math>\textstyle z</math> в момент <math>\textstyle t</math>:

:<center><math>z_{t+\tau} = z_t e^{-\lambda \tau + \imath\omega \tau} + \frac{\sigma}{\sqrt{2\lambda}} \, \sqrt{1-e^{-2\lambda \tau}}\cdot \varepsilon,</math></center>

что легко позволяет вычислить, например, среднее <math>\textstyle \left\langle z_t\,z^*_{t+\tau}\right\rangle </math> (<math>\textstyle \lessdot</math> H).

<math>\textstyle \bullet</math> При больших временах <math>\textstyle t\to\infty</math> решение забывает начальные условия, и средние стремятся к нулю. Распределение становится стационарным по каждой из координат. Однако это не означает, что периодические свойства системы исчезают. Чтобы в этом убедиться, найдём ковариационную функцию, например, по координате <math>\textstyle x</math>. Выражая решение относительно начального момента времени <math>\textstyle t</math>, имеем:

:<center><math>x_{t+\tau} = e^{-\lambda \tau}\cdot (x_t \cos \omega \tau - y_t \sin \omega \tau ) + \frac{\sigma}{\sqrt{2\lambda}}\cdot \varepsilon_x \, \sqrt{1-e^{-2\lambda \tau}}</math></center>

Найдем <math>\textstyle \mathrm{cov}\,{xx}(t,t+\tau)=\left\langle x_{t}x_{t+\tau}\right\rangle -\left\langle x_{t}\right\rangle \left\langle x_{t+\tau}\right\rangle </math> в пределе <math>\textstyle t\to\infty</math>. Так как в этом случае <math>\textstyle \left\langle x_t\right\rangle =\left\langle y_t\right\rangle =\left\langle x_ty_t\right\rangle =0</math>, а <math>\textstyle \left\langle x^2_t\right\rangle =\sigma^2/2\lambda</math>, получаем, как и следовало ожидать, стационарную ковариационную функцию, зависящую только от <math>\textstyle \tau>0</math>:

:<center><math>\mathrm{cov}\,{xx}(t,t+\tau)\to \mathrm{cov}\,\tau) = \frac{\sigma^2}{2\lambda} \, e^{-\lambda \tau} \cos\omega \tau.</math></center>

Она оказывается периодической функцией сдвига <math>\textstyle \tau</math>. Фурье-образ ковариационной функции характеризует спектральные свойства процесса (стр. \pageref{sect_autocor_fun}):

:<center><math>\mathcal S(\Omega) = \frac{2}{\pi} \int\limits^\infty_{0} \mathrm{cov}\,\tau) \, \cos(\Omega \tau) \,d\tau = \frac{\sigma^2}{2\pi}\,\left[ \frac{1}{\lambda^2+(\Omega+\omega)^2}+\frac{1}{\lambda^2+(\Omega-\omega)^2} \right].</math></center>

Таким образом, спектр имеет максимум в окрестности <math>\textstyle \Omega=\omega</math>. Он тем уже, чем меньше параметр затухания <math>\textstyle \lambda</math>. Тем не менее, это не строго периодическое движение, так как "типичная" частота "размазана" и сдвинута первым слагаемым в квадратных скобках.

На левом рисунке ниже представлена траектория стохастического осциллятора при достаточно больших временах, когда начальные условия уже "забыты". Справа &mdash; колебания по каждой координате: 

<center>[[File:chandler.png]]</center>

Системы, обладающие подобным поведением, мы рассмотрим в следующей главе, а сейчас решим многомерное линейное уравнение.


----
{| width="100%"  
 | width="40%"|[[Системы стохастических уравнений]] << 
 ! width="20%"|[[Стохастический мир|Оглавление]] 
 | width="40%" align="right"| >> [[Линейные многомерные модели]]
|}
----
[[Стохастический мир]] - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения