Просмотр исходного текста страницы Произвольно движущийся заряд

{| width="100%"  
 | width="40%"|[[Немного комплексных чисел]] << 
 ! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] ([http://synset.com/pdf/relworld_05.pdf Глава 5]) 
 | width="40%" align="right"| >> [[Что такое симметрия?]]
|}
----


Пусть заряд движется с переменной скоростью <math>\textstyle \mathbf{v}=\mathbf{v}(t)</math>. Найдём электромагнитное поле, создаваемое зарядом в момент времени <math>\textstyle t</math> в точке пространства <math>\textstyle \mathbf{x}=\{x,y,z\}</math>. Рассмотрим момент времени <math>\textstyle T=t-R</math> в прошлом, когда заряд находился на расстоянии <math>\textstyle R</math> от точки наблюдения и имел скорость <math>\textstyle \mathbf{V}=\mathbf{v}(T)</math>. Выделенность этого момента состоит в том, что информация об изменении скорости заряда, распространяясь с фундаментальной единичной скоростью, к текущему моменту времени как раз проходит расстояние <math>\textstyle R=t-T</math>. Все величины, относящиеся к прошлому, будем обозначать заглавными буквами. Так, <math>\textstyle \mathbf{N}=\mathbf{R}/R</math> &mdash; единичный вектор от заряда в точку наблюдения в момент времени <math>\textstyle T</math>.

Из решения уравнений для потенциалов (), () следует, что их значения в момент времени <math>\textstyle t</math> определяются положением заряда и его скоростью в момент времени <math>\textstyle T</math> и ''не зависят от ускорения'' заряда. Поэтому заряд, движущийся с переменной скоростью <math>\textstyle \mathbf{v}(t)</math> в момент времени <math>\textstyle t</math>, неотличим от совпадающего с ним в прошлом (время <math>\textstyle T</math>) заряда, движущегося далее равномерно и прямолинейно со скоростью <math>\textstyle \mathbf{V}=\mathbf{v}(T)</math>. Такое движение будем называть "фантомным". Ниже на рисунке оно представлено в виде пунктирной прямой линии. Сам заряд движется по, вообще говоря, искривлённой траектории с переменной скоростью. Однако, так как от ускорения заряда в момент времени <math>\textstyle T</math> потенциалы не зависят, удобно считать, что в этот момент от заряда "отрывается" его двойник-фантом, который движется равномерно и прямолинейно, проходя за время <math>\textstyle R=t-T</math> расстояние <math>\textstyle \mathbf{V}R</math>. Основные соотношения, следующие из геометрии введенных величин, приведены справа от рисунка:
<center>[[File:move_Q_va.png]]</center>
где <math>\textstyle \mathbf{n}=\mathbf{r}/r</math>. Последняя формула проверяется возведением в квадрат и подстановкой <math>\textstyle \mathbf{R}-\mathbf{V} R</math> вместо <math>\textstyle \mathbf{r}</math>.

Заметим, что <math>\textstyle T=T(\mathbf{x},t)</math> является функцией текущего времени и точки наблюдения. Её вид определяется траекторией <math>\textstyle \mathbf{x}_0(t)</math> заряда и получается из решения уравнения (). При этом <math>\textstyle R=R(\mathbf{x},t)=t-T(\mathbf{x},t)</math>.

Свяжем с фантомным зарядом в момент времени <math>\textstyle t</math> инерциальную систему отсчёта <math>\textstyle S'</math>. Так как в ней он покоится, для потенциалов поля справедливы кулоновские выражения:

:<center><math>\varphi' = \frac{Q}{r'},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf{A}'=0.</math></center>

Подставим их в обратные преобразования Лоренца для потенциалов [(), стр.\pageref{transf_poten}] переставим местами штрихованные и нештрихованные величины и сделаем замену <math>\textstyle \mathbf{v}\mapsto-\mathbf{v}</math>]:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \varphi = \gamma\,\frac{Q}{r'} = \frac{Q\,\gamma}{\sqrt{r^2+\gamma^2(\mathbf{V}\mathbf{r})^2}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf{A} = \gamma \mathbf{V}\varphi' = \mathbf{V}\varphi, </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 |}

где для расстояния от фантомного заряда в момент времени <math>\textstyle t=0</math> до точки наблюдения использовано преобразование для модуля радиус-вектора (см. стр. \pageref{force_transf_electro}). При помощи () потенциалы можно также переписать следующим образом:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \varphi(\mathbf{r},t) = \frac{Q}{R-\mathbf{V}\mathbf{R}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf{A}(\mathbf{r},t) = \frac{Q\, \mathbf{V}}{R-\mathbf{V}\mathbf{R}}. </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 |}

Эти потенциалы для произвольно движущегося заряда называют ''потенциалами Лиенара-Вихерта''. В качестве полезного упражнения по работе с дельта-функцией стоит вывести эти же соотношения непосредственно из общего решения (), (). Например, для плотности заряда необходимо записать выражение <math>\textstyle \rho(\mathbf{x},t)=Q\,\delta(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0(t))</math>.

Отметим один любопытный момент. Уравнения Максвелла были получены для системы равномерно движущихся зарядов. Затем постулировалось, что они справедливы и для ускоренного движения зарядов. Хотя уравнения Максвелла явно не зависят от ускорений, это не означает, что от ускорений не зависят напряжённости поля. Дело в том, что уравнения Максвелла в исходной записи являются системой дифференциальных уравнений первого порядка. Из этой системы можно исключить, например, магнитное поле, получив для электрического поля уравнение второго порядка:

:<center><math>\frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2} - \Delta \mathbf{E} = -4\pi\,\frac{\partial \mathbf{j}}{\partial t} - 4\pi\,\nabla\rho.</math></center>

Оно имеет форму уравнения Д'Аламбера, однако источники, стоящие в правой части, содержат производную по времени от тока. Именно это и приводит к тому, что напряжённости окажутся зависящими от ускорения заряда (в то время как потенциалы - нет).

<math>\textstyle \bullet</math> Найдём напряженности электрического и магнитного полей

:<center><math>\mathbf{E}=-\nabla \varphi - \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A}.</math></center>

Производные потенциалов берутся по координатам фиксированной точки пространства <math>\textstyle \mathbf{x}=\{x,y,z\}</math> и по текущему моменту времени <math>\textstyle t</math>, а выражения для потенциалов () зависят (в правых частях) от величин в момент времени <math>\textstyle T</math>. Поэтому потребуются определённые математические хитрости. Возьмём дифференциал от условия запаздывания: <math>\textstyle t = T+R = T + \sqrt{(\mathbf{x}-\mathbf{x}_0(T))^2}. </math>

:<center><math>dt = dT + \frac{\mathbf{R}\,d\mathbf{x}-\mathbf{V}\mathbf{R}\,dT}{R}\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\; dT = \frac{R dt}{R-\mathbf{V}\mathbf{R}} - \frac{\mathbf{R} d\mathbf{x}}{R-\mathbf{V}\mathbf{R}},</math></center>

где <math>\textstyle \mathbf{V}=d\mathbf{x}_0(T)/dT</math> &mdash; скорость в момент времени <math>\textstyle T</math>, а <math>\textstyle \mathbf{R}=\mathbf{x}-\mathbf{x}_0(T)</math>. По определению дифференциала функции <math>\textstyle T=T(t, \mathbf{x})</math> имеем:

:<center><math>\frac{\partial T}{\partial t} = \frac{R}{R-\mathbf{V}\mathbf{R}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{\partial T}{\partial \mathbf{x}} = - \frac{\mathbf{R}}{R-\mathbf{V}\mathbf{R}}.</math></center>

Потенциалы зависят от <math>\textstyle \mathbf{x}</math> явно и неявно через <math>\textstyle T=T(t, \mathbf{x})</math>. Например, скалярный потенциал () имеет вид:

:<center><math>\varphi = \frac{Q}{ \sqrt{\{\mathbf{x}-\mathbf{x}_0(T)\}^2}-\mathbf{V}\,\{\mathbf{x}-\mathbf{x}_0(T)\}}.</math></center>

Поэтому градиент и производная по <math>\textstyle t</math> равны:

:<center><math>\nabla\varphi = \frac{\partial\varphi}{\partial \mathbf{x}} + \frac{\partial\varphi}{\partial T}\,\frac{\partial T}{\partial \mathbf{x}}, \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial t} = \frac{\partial \mathbf{A}}{\partial T}\,\frac{\partial T}{\partial t}.</math></center>

Для получения ротора векторного потенциала

:<center><math>\nabla\times\mathbf{A} =\nabla\times(\mathbf{V}\varphi) = \varphi \,\nabla\times \mathbf{V}-\mathbf{V}\times\nabla \phi</math></center>

необходимо найти также ротор от скорости

:<center><math>\nabla\times \mathbf{V} =\frac{\partial T}{\partial \mathbf{x}}\frac{\partial }{\partial T}\times \mathbf{V} =-\frac{\mathbf{R}\times\mathbf{W}}{R-\mathbf{V}\mathbf{R}},</math></center>

где <math>\textstyle \mathbf{W}=d\mathbf{V}/dT</math> &mdash; ускорение частицы в момент времени <math>\textstyle T</math>. Вычисляя все производные и проводя несложные алгебраические преобразования (<math>\textstyle \lessdot</math> H), получим:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{E} = \frac{Q}{R^2}\,\frac{(1-V^2)(\mathbf{N}-\mathbf{V})}{ (1 - \mathbf{V}\mathbf{N})^{3}} + \frac{Q}{R}\,\frac{\mathbf{N}\times[(\mathbf{N}-\mathbf{V})\times \mathbf{W}]} { (1 - \mathbf{V}\mathbf{N})^{3}}, </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 |}

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{B} = \mathbf{N}\times\mathbf{E}, </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 |}

где <math>\textstyle \mathbf{N}=\mathbf{R}/R</math>. Магнитное поле оказывается перпендикулярным электрическому и радиус-вектору <math>\textstyle \mathbf{R}</math> от заряда в момент времени <math>\textstyle T=T(\mathbf{x},t)</math>.

При помощи радиус-вектора <math>\textstyle \mathbf{r}</math> от фантомного заряда к точке наблюдения электрическое поле можно записать в следующем виде:

:<center><math>\mathbf{E} = Q\,\frac{\gamma\mathbf{r}}{(r^2+\gamma^2(\mathbf{V}\mathbf{r})^2)^{3/2}} + Q\,\frac{\gamma^3[\mathbf{R}\times[\mathbf{r}\times \mathbf{W}]]}{(r^2+\gamma^2(\mathbf{V}\mathbf{r})^2)^{3/2}}.</math></center>

Первое слагаемое является напряжённостью электрического поля равномерно движущегося со скоростью <math>\textstyle \mathbf{V}</math> фантомного заряда. Если бы заряд не менял свою скорость, он совпадал бы с этим фантомом.

Напряжённость электрического поля можно также переписать в следующем изящном виде, найденном Ричардом Фейнманом (<math>\textstyle \lessdot</math> H):

:<center><math>\mathbf{E} = Q\,\frac{\mathbf{N}}{R^2}+ QR\frac{d}{dt}\left(\frac{\mathbf{N}}{R^2}\right) + Q \frac{d^2 \mathbf{N}}{dt^2}.</math></center>

Обратим внимание, что все производные вычисляются по текущему времени <math>\textstyle t=T+R(T)</math>, а не по <math>\textstyle T</math>, к которому относятся величины <math>\textstyle R</math> и <math>\textstyle \mathbf{N}</math>.

Если скорость заряда мала, то напряжённость электрического поля можно приближённо записать следующим образом:

:<center><math>\mathbf{E} \approx \frac{Q}{ R^{2}}\,\mathbf{N} \;+\; \frac{Q}{R}\;[\mathbf{N}\times[\mathbf{N}\times \mathbf{W}]].</math></center>

Второе слагаемое убывает, как <math>\textstyle 1/R</math>. Первый же ("кулоновский") член убывает, как <math>\textstyle 1/R^2</math>, т.е. существенно быстрее. Пренебрегая на больших расстояниях первым слагаемым, найдём импульс электромагнитной волны. Так как второе слагаемое перпендикулярно <math>\textstyle \mathbf{R}</math>, т.е. <math>\textstyle \mathbf{E}\mathbf{R}=0</math>, имеем:

:<center><math>\mathbf{P} = \frac{\mathbf{E}\times\mathbf{B}}{4\pi}= \frac{\mathbf{E}\times[\mathbf{R}\times{\mathbf{E}}]}{4\pi R} = \frac{\mathbf{E}^2}{4\pi}\,\mathbf{N} \approx \frac{Q}{4\pi}\,\frac{\mathbf{W}^2-(\mathbf{W}\mathbf{N})^2}{R^2}\, \mathbf{N}.</math></center>

''Интенсивность излучения'' <math>\textstyle dI</math> в направлении телесного угла <math>\textstyle d\Omega</math> определяется, как поток энергии, проходящий в единицу времени через элемент поверхности <math>\textstyle dS=R^2 d\Omega</math> сферы радиуса <math>\textstyle R</math> (см. стр.\pageref{intens_dipol_rad}).

:<center><math>\frac{dI}{d\Omega} = R^2 \,(\mathbf{N}\mathbf{P}) \approx \frac{Q^2}{4\pi}\, W^2 \, \sin^2\theta,</math></center>

где <math>\textstyle \theta</math> &mdash; угол между ускорением и направлением в точку наблюдения из запаздывающего положения заряда <math>\textstyle \mathbf{N}</math>. Интеграл по всему телесному углу <math>\textstyle d\Omega = d\phi \,\sin\theta d\theta</math> даёт полное излучение заряда (''формула Лармора''):

:<center><math>I\approx \frac{2}{3}\,Q^2 \,\mathbf{W}^2.</math></center>

Его можно сравнить с излучением в дипольном приближении (стр.\pageref{intens_dipol_rad}). Для одиночного заряда <math>\textstyle \mathbf{d}(T)=Q\mathbf{x}_0(T)</math> и, соответственно, <math>\textstyle \ddot{\mathbf{d}}=Q\mathbf{W}</math>.

<math>\textstyle \bullet</math> Изучим теперь излучение заряда, не считая его скорость маленькой. На больших расстояниях от заряда напряжённости поля равны:

:<center><math>\mathbf{E} = \frac{Q}{R}\,\frac{\mathbf{N}\times[(\mathbf{N}-\mathbf{V})\times \mathbf{W}]} { (1 - \mathbf{V}\mathbf{N})^{3}}, \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \mathbf{B} = \mathbf{N}\times\mathbf{E}.</math></center>

Пусть скорость <math>\textstyle \mathbf{V}</math> и ускорение <math>\textstyle \mathbf{W}</math> параллельны, так что <math>\textstyle \mathbf{V}\times\mathbf{W}=0</math>. В этом случае интенсивность излучения равна:

:<center><math>\frac{dI}{d\Omega} = R^2\frac{\mathbf{E}^2}{4\pi} = \frac{Q^2 W^2}{4\pi}\,\frac{\sin^2\theta}{(1-V\cos\theta)^6}.</math></center>

Для медленного заряда излучение максимально в направлении, перпендикулярном ускорению. Чем ближе скорость заряда к скорости света, тем сильнее максимум излучения смещается в направлении движения (см. ниже первые два рисунка). Похожим свойством обладает движущийся изотропный (в собственной системе отсчёта) источник света в результате аберрации (стр.\pageref{aberr_isotr_source}). 

<center>[[File:mov_E_chage.png]]</center>

Найдём суммарную интенсивность излучения. Интеграл по <math>\textstyle \phi</math> даст <math>\textstyle 2\pi</math>, а для интегрирования по <math>\textstyle \theta</math> сделаем замену <math>\textstyle z=\cos\theta</math>:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> I = \frac{Q^2 W^2}{2}\int\limits^1_{-1}\frac{1-z^2}{(1-V z)^6}\,dz = \frac{2Q^2 W^2}{15}\,\frac{5+V^2}{(1-V^2)^4}. </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 |}

Интеграл по <math>\textstyle z</math> находится при помощи дифференцирования определённого интеграла по параметру. Эти вычисления несложны, но сравнительно громоздки (<math>\textstyle \lessdot</math> H).

Найдём энергию, теряемую зарядом при излучении за единицу времени. Её величина для движущегося заряда отличается от <math>\textstyle I</math>. Действительно, проследим за излучённой в прошлом энергией между моментами времени <math>\textstyle T</math> и <math>\textstyle T+dT</math>. Если бы заряд был неподвижен, к текущему моменту эта энергия была бы сконцентрирована между двумя сферами с радиусами <math>\textstyle R</math> и <math>\textstyle R-dT</math> и совпадающими центрами. При движении заряда за время <math>\textstyle dT</math> центр внутренней сферы смещается на <math>\textstyle \mathbf{V}dT</math>, а её поверхность прижимается к внешней сфере в направлении движения (3-й рисунок).

В результате толщина зазора между сферами в направлении <math>\textstyle \mathbf{N}</math> уменьшается на <math>\textstyle \mathbf{N}\mathbf{V}dT</math>. Если <math>\textstyle \mathbf{V}=0</math>, то толщина зазора равна <math>\textstyle dT</math>. При <math>\textstyle \mathbf{V}\neq 0</math> она равна <math>\textstyle dT\,(1-\mathbf{V}\mathbf{N})</math>. Соответственно, в <math>\textstyle (1-\mathbf{V}\mathbf{N})</math> раз изменяется элемент объёма сферического слоя в направлении <math>\textstyle \mathbf{N}</math> (хотя суммарный объём между сферами, конечно, не меняется). Энергия, расположенная между слоями в телесном углу <math>\textstyle d\Omega</math>, равна:

:<center><math>d\mathcal{E} = \frac{\mathbf{E}^2+\mathbf{B}^2}{8\pi}\,R^2d\Omega dT\,(1-\mathbf{V}\mathbf{N}) \;\;\;\;=>\;\;\;\; \frac{d\tilde{I}}{d\Omega} = \frac{d\mathcal{E}}{dTd\Omega} = R^2\,\frac{\mathbf{E}^2}{4\pi}\,(1-\mathbf{V}\mathbf{N}).</math></center>

Поэтому интенсивность теряемой энергии <math>\textstyle \tilde{I}</math> отличается от <math>\textstyle I</math> множителем <math>\textstyle 1-\mathbf{V}\mathbf{N}</math>. Интегрирование по всем телесным углам даёт (<math>\textstyle \lessdot</math> H):

:<center><math>\tilde{I} = \frac{Q^2 W^2}{2}\int\limits^1_{-1}\frac{1-z^2}{(1-V z)^5}\,dz = \frac{2}{3}\,\frac{Q^2W^2}{(1-V^2)^3}.</math></center>

Кроме линейного торможения (например, рентгеновское излучение при ударе электрона об электрод) существует ещё одна важная разновидность излучения. В магнитном поле заряд движется по окружности (или спирали). В этом случае скорость и ускорение перпендикулярны. При малой скорости заряда излучение направлено перпендикулярно плоскости орбиты и называется ''циклотронным''. Если же скорость заряда ультрарелятивистская, то максимум излучения сконцентрирован в направлении текущего (с учётом запаздывания) мгновенного вектора скорости. Подобное излучение (касательное к окружности или спирали) называют ''синхротронным''. Оно возникает в круговых ускорителях частиц (отсюда и происходит название). Его же регулярно наблюдают астрономы в окрестности самых разнообразных космических объектов.

Для произвольной ориентации скорости и ускорения теряемая в единицу времени энергия даётся ''формулой Льенара'' (1898 г.):

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \tilde{I} = \frac{2}{3}\,Q^2 \, \frac{\mathbf{W}^2 - [\mathbf{V}\times\mathbf{W}]^2}{(1-V^2)^3}. </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 |}

Вывести её предлагается самостоятельно (<math>\textstyle \lessdot</math> H). Стоит также проверить, что формула Льенара может быть записана в следующем инвариантном виде:

:<center><math>\tilde{I}=\frac{2}{3}\,\frac{e^2}{m^2}\, \left(\frac{d\mathrm{p}}{d\tau}\right)^2,</math></center>

где <math>\textstyle \mathrm{p}</math> &mdash; 4-импульс частицы с компонентами <math>\textstyle p^\nu=\{\mathbb{E},\mathbf{p}\}</math>, а <math>\textstyle d\tau =dT\sqrt{1-\mathbf{V}^2}</math> &mdash; её собственное время с учётом эффекта запаздывания.

----
{| width="100%"  
 | width="40%"|[[Немного комплексных чисел]] << 
 ! width="20%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] ([http://synset.com/pdf/relworld_05.pdf Глава 5])
 | width="40%" align="right"| >> [[Что такое симметрия?]]
|}
----
[[Релятивистский мир]] - лекции по теории относительности, гравитации и космологии