Просмотр исходного текста страницы Прецессия Томаса/Уравнение для стержня

Версия для печати: [http://synset.com/pdf/thomas/thomas_ru.pdf pdf]
----
{| width="100%"  
 | width="40%"|[[Прецессия Томаса/Лоренцевское сокращение|Лоренцевское сокращение]] << 
 ! width="20%"|[[Прецессия Томаса|Оглавление]] 
 | width="40%" align="right"| >> [[Прецессия Томаса/Неинерциальные системы отсчёта|Неинерциальные системы отсчёта]]
|}
----

Пусть в НИСО находится стержень, один из концов которого (точка <math>\textstyle A</math>) расположен в начале системы отсчёта. Это начало НИСО движется с переменной скоростью <math>\textstyle \mathbf{v}(t)</math> и ускорением <math>\textstyle \mathbf{a}(t)</math> относительно неподвижной (лабораторной) системы <math>\textstyle K</math>. Стержень перемещается параллельно с точки зрения наблюдателей в мгновенно сопутствующей к стержню ИСО. Нас интересует: как такое движение выглядит для наблюдателей в системе <math>\textstyle K</math>? Для них положение второго конца стержня (точка <math>\textstyle B</math>) ''относительно точки'' <math>\textstyle A</math> будет изменяться. Что бы описать это изменение можно рассмотреть две ИСО <math>\textstyle K'</math> и <math>\textstyle K''</math>, сопутствующих к НИСО, учесть вигнеровское вращение и результаты предыдущего раздела (см. приложение B). Однако в этом разделе мы будем использовать более простые рассуждения.

Рассмотрим неподвижный относительно ИСО <math>\textstyle K'</math> стержень, один конец которого находится в начале системы (точка <math>\textstyle A</math> на рисунке 6). Пусть другой "точно такой же" стержень движется относительно первого с ''небольшой'' постоянной скоростью <math>\textstyle d\mathbf{v}'</math> (относительно <math>\textstyle K'</math>) так, что в момент времени <math>\textstyle t'=0</math> все точки обоих стержней совпадают. Можно считать, что второй стержень эквивалентен первому стержню, который в момент времени <math>\textstyle t'=0</math> (в системе <math>\textstyle K'</math>) приобрел небольшую поступательную скорость <math>\textstyle d\mathbf{v}'</math> в произвольном направлении. Разница ориентации этих двух стержней для наблюдателей в лабораторной системе <math>\textstyle K</math> даст требуемый поворот ускоренно движущегося стержня.

Пусть система отсчёта <math>\textstyle K'</math> движется относительно "неподвижной" системы отсчёта <math>\textstyle K</math> со скоростью <math>\textstyle \mathbf{v}</math>. В момент времени <math>\textstyle t=0</math> концы стержней в точке <math>\textstyle A</math> и начала систем отсчёта <math>\textstyle K</math> и <math>\textstyle K'</math> совпадают. Однако, в силу относительности одновременности, вторые концы стержней (точки <math>\textstyle B</math>) совпадать не будут (хотя это так в системе <math>\textstyle K'</math>). Для неподвижных наблюдателей в <math>\textstyle K</math> стержни оказываются повёрнутыми вокруг точки <math>\textstyle A</math>.



<center>[[File:main0.png]]</center>

<blockquote> '''Рисунок 6'''. Левый рисунок выполнен с точки зрения наблюдателя в системе <math>\textstyle K'</math>, в которой находятся два совпадающих при <math>\textstyle t'=0</math> стержня, один из которых неподвижен, а второй движется со скоростью <math>\textstyle d\mathbf{v}'</math>. На правом рисунке для наблюдателей в <math>\textstyle K</math> стержни не совпадают.
</blockquote>

Уравнения движения некоторой точки, имеющей постоянную скорость в системах <math>\textstyle K'</math> и <math>\textstyle K</math>, имеют вид:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{r}'=\mathbf{r}_0' + \mathbf{u}' t', \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \mathbf{r}=\mathbf{r}_0 + \mathbf{u} t. </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(16)'''</div>
 |}

Найдём связь скоростей <math>\textstyle \mathbf{u}</math>, <math>\textstyle \mathbf{u}'</math> и начальных положений <math>\textstyle \mathbf{r}_0</math>, <math>\textstyle \mathbf{r}_0'</math> точки в момент времени <math>\textstyle t=0</math> и <math>\textstyle t'=0</math> соответственно. Подставим уравнения движения в обратные преобразования Лоренца (9):

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> t = \gamma\,(t' + \mathbf{v}\mathbf{r}'_0 + (\mathbf{v}\mathbf{u}') t' ) </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(17)'''</div>
 |}

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{r}_0+\mathbf{u}t=\mathbf{r}_0' + \mathbf{u}' t' + \mathbf{v}\gamma t' + \Gamma\mathbf{v}(\mathbf{v}\mathbf{r}_0')+\Gamma\mathbf{v}(\mathbf{v}\mathbf{u}')t'. </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(18)'''</div>
 |}

В левую часть уравнения (18) подставим время <math>\textstyle t</math> из (17) и сгруппируем слагаемые при <math>\textstyle t'</math>:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{r}_0 - \mathbf{r}_0' + \gamma\mathbf{u}\,(\mathbf{v}\mathbf{r}'_0) - \Gamma\mathbf{v}(\mathbf{v}\mathbf{r}_0') = \bigl[\mathbf{u}' + \gamma\mathbf{v} +\Gamma\mathbf{v}(\mathbf{v}\mathbf{u}') - \gamma\mathbf{u}\,(1 + \mathbf{v}\mathbf{u}') \bigr]t'. </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(19)'''</div>
 |}

Это соотношение выполняется при любом <math>\textstyle t'</math>, если его левая и правая части равны нулю. В результате приходим к известной формуле сложения скоростей:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{u} = \frac{ \mathbf{u}'+ \mathbf{v}\gamma+\Gamma \mathbf{v}( \mathbf{v} \mathbf{u}')}{\gamma\,(1+ \mathbf{v} \mathbf{u}')} </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(20)'''</div>
 |}

и получаем связь начальных положений точки в двух системах отсчёта:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{r}_0= \mathbf{r}'_0 - \gamma \mathbf{u}( \mathbf{v} \mathbf{r}_0') + \Gamma \mathbf{v}( \mathbf{v} \mathbf{r}'_0). </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(21)'''</div>
 |}

В момент времени <math>\textstyle t=t'=0</math> точки <math>\textstyle A</math> первого и второго стержня совпадают и находятся в началах систем отсчёта (<math>\textstyle \mathbf{r}_0=\mathbf{r}'_0=0</math>). Точка <math>\textstyle B</math> первого стержня имеет скорость <math>\textstyle \mathbf{u}=\mathbf{v}</math> и <math>\textstyle \mathbf{u}'=0</math>. Поэтому из (21) следует, что в момент времени <math>\textstyle t=0</math> в системе <math>\textstyle K</math> она имеет координаты:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{r}_{0_1}= \mathbf{r}'_0 - \frac{\gamma}{\gamma+1}\, \mathbf{v}\,( \mathbf{v} \mathbf{r}_0'), </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(22)'''</div>
 |}

где учтено (8). Как и следовало ожидать, это соотношение совпадает с (10) при <math>\textstyle t=0</math>.

Точка <math>\textstyle B</math> второго стержня имеет скорости <math>\textstyle \mathbf{u}=\mathbf{v}+d\mathbf{v}</math> и <math>\textstyle \mathbf{u}'=d\mathbf{v}'</math>. Из (21) получаем её положение в момент <math>\textstyle t=0</math> в системе <math>\textstyle K</math>:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{r}_{0_2}= \mathbf{r}'_0 - \frac{\gamma}{\gamma+1}\, \mathbf{v}\,( \mathbf{v} \mathbf{r}_0') - \gamma ( \mathbf{v} \mathbf{r}_0')d\mathbf{v}. </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(23)'''</div>
 |}

Вычитая из (23) уравнение (22), мы получим изменение положения точки <math>\textstyle B</math> относительно точки <math>\textstyle A</math> (смещение конца <math>\textstyle B</math> второго стержня относительно первого) для наблюдателей в системе <math>\textstyle K</math>. Значение <math>\textstyle \mathbf{r}'_0</math> точек <math>\textstyle B</math> для обоих стержней в системе <math>\textstyle K'</math> одинаковы (стержни при <math>\textstyle t'=0</math> совпадают).

Введём вектор <math>\textstyle \mathbf{s}</math>, соединяющий концы стержня <math>\textstyle A</math> и <math>\textstyle B</math>. Так как радиус-вектор точки <math>\textstyle A</math> нулевой, имеем <math>\textstyle \mathbf{s}=\mathbf{r}_{0_1}</math>. После изменения стержнем скорости в (23) <math>\textstyle \mathbf{r}_{0_2}=\mathbf{s}+d\mathbf{s}</math>. Поэтому:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> d\mathbf{s} = - \gamma ( \mathbf{v} \mathbf{s}')d\mathbf{v} = - \gamma^2\,(\mathbf{v}\mathbf{s})\,d\mathbf{v}, </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(24)'''</div>
 |}

где <math>\textstyle \mathbf{s}'=\mathbf{r}'_{0_1}=\mathbf{r}'_{0_2}</math> &mdash; положение точки <math>\textstyle B</math> стержней в системе <math>\textstyle K'</math>. Во втором равенстве, c учётом (11), подставлено <math>\textstyle \mathbf{v}\mathbf{s}'=\gamma(\mathbf{v}\mathbf{s})</math>. Вводя вектор 3-мерного ускорения <math>\textstyle \mathbf{a}=d\mathbf{v}/dt</math>, окончательно приходим к уравнению: 

<center>
{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|[[File:v_a_s_r.png]]
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(25)'''</div>
 |}
</center> 

Так как точки <math>\textstyle A</math> обоих стержней совпадали, в уравнении (25) производная по времени от <math>\textstyle \mathbf{s}</math> имеет смысл скорости изменения ориентации и длины стержня (изменение положения точки <math>\textstyle B</math> относительно <math>\textstyle A</math>). Сама же точка <math>\textstyle A</math> независимо движется с переменной скоростью <math>\textstyle \mathbf{v}(t)</math>.

В результате изменения скорости происходит как изменение длины стержня, так и его ориентации. Можно разделить эти два эффекта. Вводя длину стержня <math>\textstyle l=\sqrt{\mathbf{s}^2}</math> и единичный вектор в его направлении <math>\textstyle \mathbf{n}=\mathbf{s}/l</math>, из (25) несложно получить:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \frac{d\ln l}{dt} = -\gamma^2(\mathbf{v}\mathbf{n})(\mathbf{a}\mathbf{n}), \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \frac{d\mathbf{n}}{dt} = \gamma^2 (\mathbf{v}\mathbf{n}) [\mathbf{a}\times\mathbf{n}]\times\mathbf{n}. </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(26)'''</div>
 |}

Из последнего уравнения следует, что угловая скорость поворота зависит от ориентации стержня <math>\textstyle \mathbf{n}</math>. Это существенно отличает полученные уравнения от формулы Томаса (3).

При помощи уравнения (25) несложно проанализировать рассмотренное во введении изменение вертикальной скорости стержня, который движется в горизонтальном направлении. Если стержень перед началом ускорения был ориентирован горизонтально вдоль его скорости, то <math>\textstyle \mathbf{v}\mathbf{n}=v</math> и угловая скорость поворота будет перпендикулярна рисунку. Угол поворота равен <math>\textstyle d\phi = \gamma^2 v dv</math>, где <math>\textstyle dv</math> &mdash; приращение вертикальной составляющей скорости. Угол же поворота в соответствии с формулой Томаса составит <math>\textstyle \gamma^2\, v dv/(\gamma+1)</math> и при малых скоростях оказывается в два раза меньше.

Если стержень ориентирован перпендикулярно к движению, то <math>\textstyle \mathbf{v}\mathbf{n}=0</math>, и никакого поворота не будет. Этот же результат следует из соображений, основанных на относительности одновременности. Как отмечалось во введении, формула Томаса в этом случае, тем не менее, предсказывает вращение стержня.
----
{| width="100%"  
 | width="40%"|[[Прецессия Томаса/Лоренцевское сокращение|Лоренцевское сокращение]] << 
 ! width="20%"|[[Прецессия Томаса|Оглавление]] 
 | width="40%" align="right"| >> [[Прецессия Томаса/Неинерциальные системы отсчёта|Неинерциальные системы отсчёта]]
|}