Просмотр исходного текста страницы Прецессия Томаса/Прецессия спина и момента импульса

Версия для печати: [http://synset.com/pdf/thomas/thomas_ru.pdf pdf]
----
{| width="100%"  
 | width="40%"|[[Прецессия Томаса/Момент импульса и спин|Момент импульса и спин]] << 
 ! width="20%"|[[Прецессия Томаса|Оглавление]] 
 | width="40%" align="right"| >> [[Прецессия Томаса/Движение гироскопа по окружности|Движение гироскопа по окружности]]
|}
----

Введём три системы отсчёта <math>\textstyle K</math>, <math>\textstyle K'</math> и <math>\textstyle K''</math>. Пусть скорость системы <math>\textstyle K'</math> относительно <math>\textstyle K</math> равна <math>\textstyle \mathbf{v}</math>, а скорость системы <math>\textstyle K''</math> относительно <math>\textstyle K'</math> равна <math>\textstyle d\mathbf{v}'</math>. Соответственно, скорость <math>\textstyle K''</math> относительно <math>\textstyle K</math> равна <math>\textstyle \mathbf{v}+d\mathbf{v}</math>.



<center>[[File:2gyro.png]]</center>

<blockquote> '''Рисунок 13'''. Два вращающихся гироскопа, неподвижные относительно систем <math>\textstyle K'</math> и <math>\textstyle K''</math> 
</blockquote>

Эти скорости связаны при помощи 
[[Прецессия_Томаса/Уравнение_для_стержня|преобразования]] (20):

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> {\mathbf v} + d\mathbf{v} = \frac{d{\mathbf v}' + \gamma{\mathbf v} + \Gamma\,{\mathbf v}\,({\mathbf v}d{\mathbf v}')} {\gamma\, (1+{\mathbf v}d{\mathbf v}')}. </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(57)'''</div>
 |}

Так как <math>\textstyle d\mathbf{v}'</math> мало, разложим в ряд знаменатель:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> d\mathbf{v} \approx \frac{d{\mathbf v}'}{\gamma} + \frac{\Gamma}{\gamma}\,{\mathbf v}\,({\mathbf v}d{\mathbf v}') - \mathbf{v}({\mathbf v}d{\mathbf v}') = \frac{d\mathbf{v}'}{\gamma}- \frac{\mathbf{v}(\mathbf{v}d\mathbf{v}')}{\gamma+1}, </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(58)'''</div>
 |}

где учтено 
[[Прецессия_Томаса/Преобразования_Лоренца|тождество]] (8). Умножая левую и правую части на <math>\textstyle \mathbf{v}</math>, имеем:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{v}d\mathbf{v}' \approx \gamma^2\,\mathbf{v}d\mathbf{v}. </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(59)'''</div>
 |}

При помощи этого соотношения можно обратить выражение (58):

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> d\mathbf{v}' \approx \gamma d\mathbf{v} + \frac{\gamma^3 \mathbf{v}(\mathbf{v}d\mathbf{v})}{\gamma+1}. </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(60)'''</div>
 |}

Рассмотрим прецессию (изменение величины и ориентации) спина системы. Последующие рассуждения справедливы для любого 4-вектора <math>\textstyle S^\alpha</math>, ортогонального в 4-пространстве к 4-скорости <math>\textstyle U^\alpha=\{\gamma_u,\,\mathbf{u}\gamma_u\}</math>:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> U\cdot S = U^0 S^0 - \mathbf{U}\mathbf{S} = 0. </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(61)'''</div>
 |}

Из этого соотношения следует, что <math>\textstyle S^0=\mathbf{u}\mathbf{S}</math>. Запишем преобразования для 3-вектора спина (заменяя в (7) <math>\textstyle t\mapsto S^0=\mathbf{u}\mathbf{S}</math> и <math>\textstyle \mathbf{r}\mapsto \mathbf{S}</math>):

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{S}' = \mathbf{S} - \gamma \mathbf{v}(\mathbf{u}\mathbf{S}) + \Gamma\mathbf{v}(\mathbf{v}\mathbf{S}). </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(62)'''</div>
 |}

Обратное преобразование получается заменой скорости <math>\textstyle \mathbf{v}\mapsto-\mathbf{v}</math>:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{S} = \mathbf{S}' + \gamma \mathbf{v}(\mathbf{u}'\mathbf{S}') + \Gamma\mathbf{v}(\mathbf{v}\mathbf{S}'), </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(63)'''</div>
 |}

так как в любой системе отсчёта <math>\textstyle S^0=\mathbf{u}\mathbf{S}</math>.

Если гироскоп неподвижен (<math>\textstyle \mathbf{u}'=0</math>) относительно системы <math>\textstyle K'</math>, то:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{S} = \mathbf{S}' + \Gamma\mathbf{v}(\mathbf{v}\mathbf{S}'). </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(64)'''</div>
 |}

Обратное преобразование получается при помощи тождества (8) из соотношения (62) после подстановки <math>\textstyle \mathbf{u}=\mathbf{v}</math>:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{S}' = \mathbf{S} - \frac{\gamma}{\gamma+1}\, \mathbf{v}(\mathbf{v}\mathbf{S}). </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(65)'''</div>
 |}

Применим преобразование (64) между ИСО <math>\textstyle K'</math> и <math>\textstyle K''</math>. Пусть в системе <math>\textstyle K''</math> находится неподвижный (но вращающийся) гироскоп со спином <math>\textstyle \mathbf{S}''</math>. В этом случае в преобразовании (64) необходимо добавить всем величинам штрих и заменить <math>\textstyle \mathbf{v}\mapsto d\mathbf{v}'</math>. В результате в первом приближении по <math>\textstyle d\mathbf{v}'</math> спин остаётся в системе <math>\textstyle K'</math> без изменений:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{S}' = \mathbf{S}''. </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(66)'''</div>
 |}

Рассмотрим теперь "точно такой же" гироскоп, неподвижный в системе <math>\textstyle K'</math> со спином <math>\textstyle \mathbf{S}'</math> (рис.13). Когда начала систем <math>\textstyle K'</math> и <math>\textstyle K''</math> совпадают, аналогично стержням из раздела , "совпадают" и гороскопы. Поэтому будем считать, что гироскоп системы <math>\textstyle K''</math> получается при изменении на <math>\textstyle d\mathbf{v}'</math> скорости гироскопа системы <math>\textstyle K'</math>. Спин гироскопа <math>\textstyle K''</math> в соответствии с (63) и (66) относительно <math>\textstyle K</math> равен:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{S} = \mathbf{S}' + \gamma \mathbf{v}(\mathbf{S}'d\mathbf{v}') + \Gamma\mathbf{v}(\mathbf{v}\mathbf{S}'). </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(67)'''</div>
 |}

Это значение спина гироскопа в момент времени <math>\textstyle t+dt</math> после изменения им скорости на <math>\textstyle d\mathbf{v}'</math> относительно системы <math>\textstyle K'</math>. Вычитая из этого выражение значение спина (64) в момент времени <math>\textstyle t</math>, получаем:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> d\mathbf{S} = \gamma \mathbf{v}(\mathbf{S}'d\mathbf{v}') = \gamma^2 \mathbf{v}(\mathbf{S}d\mathbf{v}), </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(68)'''</div>
 |}

где во втором равенстве <math>\textstyle d\mathbf{v}'</math>, при помощи (60), выражено через <math>\textstyle d\mathbf{v}</math>, а вместо <math>\textstyle \mathbf{S}'</math> подставлено выражение (65). Вводя вектор 3-мерного ускорения <math>\textstyle \mathbf{a}=d\mathbf{v}/dt</math>, окончательно получаем:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \frac{d\mathbf{S}}{dt} = \gamma^2 \mathbf{v}\,(\mathbf{a}\mathbf{S}). </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(69)'''</div>
 |}

Если ускорение <math>\textstyle \mathbf{a}</math> остаётся перпендикулярным вектору спина (<math>\textstyle \mathbf{a}\mathbf{S}=0</math>), то спин при таком движении не изменяется. В остальных случаях при ускоренном движении происходит изменение спина. Обратим внимание на то, что уравнение (69) отличается от [[Прецессия Томаса/Уравнение для стержня|уравнения]] (25), описывающего поворот "жёсткого" стержня при криволинейном движении. Поэтому повороты стержня и спина различны.

Уравнению (69) можно придать ковариантную форму:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \frac{dS^\alpha}{d\tau} = -V^\alpha A^\beta S_\beta, </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(70)'''</div>
 |}

где <math>\textstyle V^\alpha=\{\gamma, \mathbf{v}\gamma\}</math> &mdash; 4-скорость, а <math>\textstyle A^\alpha</math> &mdash; 4-ускорение:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> A^\alpha =\frac{dV^\alpha}{d\tau} = \gamma\,\frac{d}{dt} \{\gamma,\;\mathbf{v}\gamma\} = \{(\mathbf{v}\mathbf{a})\gamma^4,\;\mathbf{a}\gamma^2+ \mathbf{v}\,(\mathbf{v}\mathbf{a})\gamma^4\} </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(71)'''</div>
 |}

и <math>\textstyle d\tau=\sqrt{1-\mathbf{v}^2}\,dt</math> &mdash; собственное время системы <math>\textstyle K'</math>.

Дифференциальное уравнение (70) называется уравнением переноса Ферми. Оно может быть получено 
<ref>
Вейнберг С. &mdash; "''Гравитация и космология''", М.:Мир (1975)
</ref>
в предположении, что изменение 4-вектора спина <math>\textstyle dS^\alpha</math> при изменении скорости системы отсчёта пропорционально 4-скорости <math>\textstyle V^\alpha</math>. При таком переносе, в силу <math>\textstyle V\cdot S=0</math>, остаётся без изменений квадрат 4-вектора спина:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \frac{d(S^\alpha S_\alpha)}{d\tau} = 0, </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(72)'''</div>
 |}

хотя квадрат 3-вектора спина <math>\textstyle \mathbf{S}^2</math> изменяется:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \frac{d\mathbf{S}^2}{dt} = 2\gamma^2 (\mathbf{v}\mathbf{S})(\mathbf{a}\mathbf{S}), </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(73)'''</div>
 |}

если спин не ортогонален скорости или ускорению.
Отметим также уравнение для ''модифицированного спина'' <math>\textstyle \tilde{\mathbf{S}}=\mathbf{S} M/\mathcal{E}=\mathbf{S}/\gamma</math>, равного чистой разности полного момента импулься и момента импульса центра энергии:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \frac{d\tilde{\mathbf{S}}}{dt} = \gamma^2 \,[\mathbf{a}\times[\mathbf{v}\times\tilde{\mathbf{S}}]. </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(74)'''</div>
 |}

При равноускоренном движении (27) из состояния покоя, интегрирование уравнения прецессии (69) приводит к следующей зависимости продольной к скорости компоненты спина от времени:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> S_x(t) = \frac{S_{x0}}{\sqrt{1-v^2(t)}}, </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(75)'''</div>
 |}

где <math>\textstyle S_{x0}=S_x(0)</math> &mdash; начальное значение спина в системе, в которой его суммарный импульс был равен нулю. Это же соотношение следует также из преобразования (64). Таким образом, продольная компонента спина увеличивается при ускорении гироскопа, а поперечная компонента остаётся без изменений. На самом деле зависимость (75) получается не только при равноускоренном движении, но и при любом движении вдоль прямой.


Хотя момент импульса и спин в системе, в которой гироскоп покоится, совпадают, при движении гироскопа &mdash; это различные величины, имеющие различные уравнения, описывающие прецессию при криволинейном движении гироскопа. Пусть в системе <math>\textstyle K''</math> находится неподвижный, вращающийся гироскоп с моментом импульса <math>\textstyle \mathbf{L}''</math> и с центром энергии в начале координат: <math>\textstyle \mathbf{G}''=0</math>. 
Записав 
[[Прецессия Томаса/Момент импульса и спин|преобразования]] (49), (50) между системами <math>\textstyle K'</math> и <math>\textstyle K''</math> с <math>\textstyle \mathbf{v}=d\mathbf{v}'</math>, в первом порядке малости по <math>\textstyle d\mathbf{v}'</math>, имеем:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{L'}=\mathbf{L}'',\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf{G}'= [d\mathbf{v}'\times\mathbf{L}'']. </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(76)'''</div>
 |}

Рассмотрим теперь точно такой же гироскоп с моментом <math>\textstyle \mathbf{L}'</math>, центр энергии которого расположен в начале системы <math>\textstyle K'</math> (<math>\textstyle \mathbf{G}'=0</math>). Когда начала систем <math>\textstyle K'</math> и <math>\textstyle K''</math> совпадают, "совпадают" и гироскопы. Будем считать, что гироскоп системы <math>\textstyle K''</math> получается при изменении на <math>\textstyle d\mathbf{v}'</math> скорости гироскопа системы <math>\textstyle K'</math>. При этом момент импульса не изменяется, однако сдвигается центр энергии гироскопа.

Найдём, как изменение поступательной скорости гироскопа выглядит с точки зрения неподвижных наблюдателей в <math>\textstyle K</math>. Гироскоп <math>\textstyle K''</math> имеет момент импульса:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{L}=\gamma\mathbf{L}' -\gamma [\mathbf{v}\times[d\mathbf{v}'\times\mathbf{L}']]- \Gamma \,\mathbf{v}\,(\mathbf{v}\mathbf{L}'), </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(77)'''</div>
 |}

где учтено ([[Прецессия Томаса/Момент импульса и спин|49]]) и (76), а гироскоп <math>\textstyle K'</math>:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{L}=\gamma\mathbf{L}'- \Gamma \,\mathbf{v}\,(\mathbf{v}\mathbf{L}'). </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(78)'''</div>
 |}

Разница этих двух выражений даёт изменение момента импульса при изменении скорости гироскопа <math>\textstyle K'</math> на <math>\textstyle d\mathbf{v}'</math>.

Считая, что (78) соответствует моменту времени <math>\textstyle t</math>, а (77) &mdash; бесконечно близкому моменту <math>\textstyle t+dt</math>, имеем:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> d\mathbf{L}=-\gamma [\mathbf{v}\times[d\mathbf{v}'\times\mathbf{L}']] = -\gamma \,(\mathbf{v}\mathbf{L}')d\mathbf{v}' +\gamma \mathbf{L}' (\mathbf{v}d\mathbf{v}'). </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(79)'''</div>
 |}

Учтём инвариантность <math>\textstyle \mathbf{v}\mathbf{L}'=\mathbf{v}\mathbf{L}</math>, уравнение (59) и подставим <math>\textstyle \gamma\mathbf{L}'</math> из (78). Выражая при помощи (60) скорость <math>\textstyle d\mathbf{v}'</math> через <math>\textstyle d\mathbf{v}</math> и вводя ускорение <math>\textstyle \mathbf{a}=d\mathbf{v}/dt</math>, получаем:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \frac{d\mathbf{L}}{dt}=\gamma^2 \,(\mathbf{v}\mathbf{a})\, \mathbf{L} - \gamma^2 (\mathbf{v}\mathbf{L}) \mathbf{a}=\gamma^2 \,\mathbf{v}\times [\mathbf{L}\times \mathbf{a}]. </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(80)'''</div>
 |}

Это уравнение описывает изменение момента импульса гироскопа при изменении им скорости. Если скорость и ускорение перпендикулярны (<math>\textstyle \mathbf{v}\mathbf{a}=0</math>), например, при движении по окружности, уравнение (80) совпадает с [[Прецессия Томаса/Уравнение для стержня|уравнением]] (25) для ускоренного стержня.

=== Примчания ===
<references/>

----
{| width="100%"  
 | width="40%"|[[Прецессия Томаса/Момент импульса и спин|Момент импульса и спин]] << 
 ! width="20%"|[[Прецессия Томаса|Оглавление]] 
 | width="40%" align="right"| >> [[Прецессия Томаса/Движение гироскопа по окружности|Движение гироскопа по окружности]]
|}