Просмотр исходного текста страницы Прецессия Томаса/Лоренцевское сокращение

Версия для печати: [http://synset.com/pdf/thomas/thomas_ru.pdf pdf]
----
{| width="100%"  
 | width="40%"|[[Прецессия Томаса/Преобразования Лоренца|Преобразования Лоренца]] << 
 ! width="20%"|[[Прецессия Томаса|Оглавление]] 
 | width="40%" align="right"| >> [[Прецессия Томаса/Уравнение для стержня|Уравнение для стержня]]
|}
----

Из преобразований Лоренца следует, что если ''одновременно'' зафиксировать положение всех точек движущегося объекта, то он будет выглядеть сжатым в направлении движения. Например, квадрат (в собственной системе отсчета), движущийся со скоростью <math>\textstyle \mathbf{v}</math> в плоскости <math>\textstyle (x,y)</math> вдоль одной из граней, будет короче в <math>\textstyle \gamma</math> раз (рисунки 4a, 4b). Если же квадрат движется под углом 45 градусов, то его диагональ вдоль направления движения будет сокращаться, а вторая диагональ &mdash; нет. Результат изображён на рисунке 4c.

Представим, что стороны квадрата &mdash; это координатные оси <math>\textstyle (x',y')</math> движущейся системы отсчёта. Тогда, при произвольном направлении её скорости, эти оси будут не ортогональны друг другу и некоторым образом повёрнуты относительно неподвижной системы отсчёта.



<center>[[File:coord_grid_move.png]]</center>

<blockquote> '''Рисунок 4'''. Движение квадрата со скоростью <math>\textstyle v=0.8</math> в различных направлениях. Пунктир &mdash; координатная сетка неподвижной системы. 
</blockquote>

На рисунке 5a изображены координатные оси восьми систем отсчёта и стрелками указаны направления их скорости. Хотя системы расположены по окружности, это ещё не томасовская прецессия, так как каждая система отсчёта движется прямолинейно с постоянной скоростью в указанном стрелкой направлении, а не вдоль окружности.



<center>[[File:circle_sys_rot.png]]</center>

<blockquote> '''Рисунок 5'''. Координатные оси систем отсчёта, имеющих одинаковый модуль скорости <math>\textstyle v=0.8</math> и разное направление (левый рисунок). Правый рисунок определяет три угла осей движущейся системы отсчёта относительно неподвижной: <math>\textstyle \alpha=\alpha_x+\alpha_y+\pi/2</math>. 
</blockquote>

Задавая координаты <math>\textstyle \mathbf{r}'</math> точек в системе отсчёта <math>\textstyle K'</math>, связанной с телом, при помощи преобразований Лоренца можно получить координаты точек <math>\textstyle \mathbf{r}</math> в неподвижной системе <math>\textstyle K</math>. Нас интересует мгновенная форма движущегося тела в момент времени <math>\textstyle t</math> в системе <math>\textstyle K</math>. Поэтому необходимо так переписать преобразования Лоренца, чтобы радиус-вектор <math>\textstyle \mathbf{r}</math> зависел от <math>\textstyle t</math> и <math>\textstyle \mathbf{r}'</math>. Для этого запишем обратные преобразования Лоренца (<math>\textstyle \mathbf{v}\mapsto-\mathbf{v}</math>):

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> t=\gamma\, (t'+{\mathbf v}{\mathbf r}'),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; {\mathbf r} = {\mathbf r}' + \gamma{\mathbf v} t' + \Gamma\,{\mathbf v}\,({\mathbf v}{\mathbf r}') </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(9)'''</div>
 |}

и исключим из них время <math>\textstyle t'</math>:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{r}=\mathbf{v}t + \mathbf{r}' - \frac{\gamma}{\gamma+1}\, \mathbf{v}(\mathbf{v}\mathbf{r}'). </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(10)'''</div>
 |}

Это соотношение позволяет вычислять положение точек движущегося тела в данный момент времени <math>\textstyle t</math> в системе <math>\textstyle K</math>.

Первое слагаемое <math>\textstyle \mathbf{v}t</math> в (10) указывает на то, что все точки движутся параллельно с постоянной скоростью <math>\textstyle \mathbf{v}</math>. Когда <math>\textstyle t=0</math>, начала систем отсчёта совпадают и форма движущегося тела определяется вторым и третьим слагаемыми (10). При <math>\textstyle t=0</math>, из (10) следует, что:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{v}\mathbf{r}=\mathbf{v}\mathbf{r}'/\gamma,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf{r}^2 = \mathbf{r}'^2 - (\mathbf{v}\mathbf{r}')^2, </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(11)'''</div>
 |}

т.е. продольные размеры испытывают лоренцевское сокращение, а поперечные (если <math>\textstyle \mathbf{v}\mathbf{r}'=0</math>) остаются неизменными. Рассмотрим две фиксированные точки тела. Для радиус-векторов к каждой из них запишем соотношение (10). Их скалярное произведение в двух системах отсчёта связаны следующим образом:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{r}_1\mathbf{r}_2 = \mathbf{r}'_1\mathbf{r}'_2 - (\mathbf{v}\mathbf{r}'_1)(\mathbf{v}\mathbf{r}'_2). </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(12)'''</div>
 |}

Пусть движение происходит в плоскости <math>\textstyle (x,y)</math>. Выберем одну точку на оси <math>\textstyle x'</math>, а вторую &mdash; на оси <math>\textstyle y'</math> (см. рис.5b). В системе <math>\textstyle K'</math> их координаты равны: <math>\textstyle \mathbf{r}'_1=\{1,0\}</math>, <math>\textstyle \mathbf{r}'_2=\{0,1\}</math>. Координаты <math>\textstyle \mathbf{r}_i=\{x_i,\;y_i\}</math> этих же точек в неподвижной системе отсчёта получаются из уравнения (10):

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> x_1 = 1 - \frac{\gamma v^2_x}{\gamma+1},\;\;\;\;y_1 = - \frac{\gamma v_xv_y}{\gamma+1};\;\;\;\;\;\;\; x_2 = - \frac{\gamma v_xv_y}{\gamma+1},\;\;\;\;y_2 = 1 - \frac{\gamma v^2_y}{\gamma+1}, </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(13)'''</div>
 |}

где <math>\textstyle \gamma=1/\sqrt{1-\mathbf{v}^2}=1/\sqrt{1-v^2_x-v^2_y}</math>. В результате синус угла <math>\textstyle \alpha_x</math> между осями <math>\textstyle x'</math> и <math>\textstyle x</math> и аналогично для <math>\textstyle \alpha_y</math> между осями <math>\textstyle y'</math> и <math>\textstyle y</math> (см. рис.5b) равны:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \sin\alpha_x=\frac{\gamma}{\gamma+1}\,\frac{v_xv_y}{\sqrt{1-v^2_x}},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\sin\alpha_y=\frac{\gamma}{\gamma+1}\,\frac{v_xv_y}{\sqrt{1-v^2_y}}, </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(14)'''</div>
 |}

где модули <math>\textstyle \mathbf{r}_1</math> и <math>\textstyle \mathbf{r}_2</math> найдены при помощи второго соотношения (11).

Косинус угла между осями движущейся системы отсчёта находится из соотношения (12):

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \cos\alpha=-\frac{v_xv_y}{\sqrt{(1-v^2_x)(1-v^2_y)}}. </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(15)'''</div>
 |}

Таким образом, координатные оси системы <math>\textstyle K'</math> будут ортогональными для наблюдателей в <math>\textstyle K</math>, только если одна из компонент скорости равна нулю. Это происходит при движении вдоль координатной оси.
----
{| width="100%"  
 | width="40%"|[[Прецессия Томаса/Преобразования Лоренца|Преобразования Лоренца]] << 
 ! width="20%"|[[Прецессия Томаса|Оглавление]] 
 | width="40%" align="right"| >> [[Прецессия Томаса/Уравнение для стержня|Уравнение для стержня]]
|}