Просмотр исходного текста страницы Группы O(3) и SO(3)

{| width="100%"  
 | width="30%"|[[Линейные преобразования]] << 
 ! width="40%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_06.pdf Глава 6]) 
 | width="30%" align="right"| >> [[Группа SU(2)]]
|}
----

<math>\textstyle \bullet</math> Рассмотрим 3-мерное пространство с координатами <math>\textstyle {\mathbf x}=\{x,y,z\}</math>. Группой вращения <math>\textstyle \mathbf{O}(3)</math> называется линейное преобразование <math>\textstyle {\mathbf x}'={\mathbf R}\,{\mathbf x}</math>, которое не изменяет длины радиус-вектора: <math>\textstyle {\mathbf x}^2={\mathbf x}^T\cdot{\mathbf x}=x^2+y^2+z^2</math> (значок <math>\textstyle ^T</math> &mdash; транспонирование):

:<center><math>{\mathbf x}'^2 = {\mathbf x}'^T{\mathbf x}'=({\mathbf R}\,{\mathbf x})^T\; {\mathbf R}\,\mathbf{x} = \mathbf{x}^T \, {\mathbf R}^T {\mathbf R} \,{\mathbf x} = {\mathbf x}^2,</math></center>

где учтено, что при транспонировании произведения матриц их порядок меняется <math>\textstyle ({\mathbf A}{\mathbf B})^T={\mathbf B}^T{\mathbf A}^T</math>. Чтобы квадрат вектора не изменился <math>\textstyle {\mathbf x}'^2 = {\mathbf x}^2</math>, должно выполняться ''условие ортогональности'':

:<center><math>{\mathbf R}^T {\mathbf R} = {\mathbf 1}.</math></center>

Другими словами, обратная матрица к матрице поворота, является просто её транспонированием. Напомним, что буква "<math>\textstyle \mathbf {O}</math>" в названии группы означает ортогональная, а тройка &mdash; размерность пространства.

Так как определитель при транспонировании матрицы не изменяется, а определитель произведения матриц равен произведению их определителей, из условия ортогональности следует, что

:<center><math>(\det\mathbf{R})^2 = 1.</math></center>

Матрица вращения вокруг оси <math>\textstyle z</math> (стр.\,\pageref{rotate_XY}) на угол <math>\textstyle \phi</math> имеет единичный определитель:

:<center><math>\det\mathbf{R}_z = \det\begin{pmatrix} \cos\phi & \sin\phi & 0\\ -\sin\phi & \cos\phi & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix} =\cos^2\phi+\sin^2\phi=1.</math></center>

Все матрицы вращения, имеющие единичный определитель образуют ''специальную ортогональную группу'' <math>\textstyle \mathbf{SO}(3)</math>.(3)$} Её также называют собственными преобразованиями или просто вращениями.

Кроме вращений, длину радиус-вектора оставляют неизменными преобразования инверсии (или отражения осей): <math>\textstyle \{x,y,z\}\mapsto\{-x,-y,-z\}</math>. Матрица этого преобразования имеет вид:

:<center><math>\mathbf{I}_{xyz}= \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & -1\\ \end{pmatrix}.</math></center>

Это тоже ортогональная матрица, но имеющая определитель равный минус единице: <math>\textstyle \det\mathbf{I}_{xyz}=-1</math>, поэтому она принадлежит к группе <math>\textstyle \mathbf{O}(3)</math>, но не принадлежит к группе <math>\textstyle \mathbf{SO}(3)</math>.

Матрица <math>\textstyle \mathbf{I}_{xyz}</math> вместе с единичной матрицей <math>\textstyle \mathbf{1}</math> образует ''дискретную абелеву'' группу из двух элементов <math>\textstyle \mathbf{I}=\{\mathbf{1},\mathbf{I}_{xyz}\}</math>, изоморфную циклической группе <math>\textstyle \mathbf{C}_2</math>. При этом элемент группы <math>\textstyle \mathbf{I}_{xyz}</math> является обратным самому себе: <math>\textstyle \mathbf{I}^2_{xyz}=\mathbf{1}</math>. Так как эта группа является "частным случаем" группы <math>\textstyle \mathbf{O}(3)</math>, то она является её ''подгруппой'', т.е. <math>\textstyle \mathbf{I}\subset \mathbf{O}(3)</math>.

Можно рассмотреть дискретную абелеву группу ранга 4, в которой кроме единичной матрицы есть ещё три элемента:

:<center><math>\mathbf{I}_{xy}= \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix}, \;\;\;\;\; \mathbf{I}_{yz}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & -1\\ \end{pmatrix}, \;\;\;\;\; \mathbf{I}_{xz}= \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & -1\\ \end{pmatrix}.</math></center>

Они осуществляют инверсии пар осей и имеют единичный детерминант. Эта группа является подгруппой не только <math>\textstyle \mathbf{O}(3)</math>, но <math>\textstyle \mathbf{SO}(3)</math>, так как инверсия двух осей в 3-мерном пространстве всегда может быть реализована поворотом системы координат.

Подгруппой группы <math>\textstyle \mathbf{O}(3)</math> является также более широкая группа инверсий, когда отражается одна, две или три оси. Инверсии осей <math>\textstyle x</math>, <math>\textstyle y</math> и <math>\textstyle z</math> имеют следующее матричное представление:

:<center><math>\mathbf{I}_x= \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix}, \;\;\;\;\; \mathbf{I}_y= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix}, \;\;\;\;\; \mathbf{I}_{z}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & -1\\ \end{pmatrix}.</math></center>

Стоит проверить что для <math>\textstyle \mathbf{P}=\{\mathbf{1},\; \mathbf{I}_{x},\; \mathbf{I}_{y},\; \mathbf{I}_{z},\; \mathbf{I}_{xy}, \;\mathbf{I}_{xz},\; \mathbf{I}_{yz},\; \mathbf{I}_{xyz}\} </math> выполняется аксиома замкнутости, а каждый элемент является обратным самому себе. Эта группа включает в качестве подгруппы группу отражения всех трёх осей, что записывается в виде такой цепочки: <math>\textstyle \mathbf{I}\subset \mathbf{P}\subset \mathbf{O}(3)</math>. Группа <math>\textstyle \mathbf{P}</math> 8-го порядка изоморфна абелевой группе <math>\textstyle \mathbf{C_{2,2,2}}</math> (стр.\,\pageref{sym_C_n_k_def}) с тремя порождающими элементами <math>\textstyle \mathbf{I}_x</math>, <math>\textstyle \mathbf{I}_y</math> и <math>\textstyle \mathbf{I}_z</math> второго порядка.

Инвертирование сразу трёх осей (или одной) переводит правую систему координат в левую и наоборот. После такого инвертирования ни каким поворотом нельзя вернуться в исходное состояние. Таким образом, все преобразования группы <math>\textstyle \mathbf{O}(3)</math> можно разбить на два класса &mdash; обычные вращения правой и левой системы координат. Это записывается в виде ''прямого произведения'' групп вращений и инверсий всех осей:

:<center><math>\mathbf{O}(3) = \mathbf{SO}(3) \times \mathbf{I}.</math></center>

В данном случае прямое произведение означает, что рассматриваются последовательные преобразования <math>\textstyle \mathbf{R}\mathbf{I}_{xyz}</math> или <math>\textstyle \mathbf{R}\mathbf{1}</math>, т.е. пары матриц из групп <math>\textstyle \mathbf{SO}(3)=\{\mathbf{R}\}</math> и <math>\textstyle \mathbf{I}=\{\mathbf{1},\;\mathbf{I}_{xyz}\}</math> матрично перемножаются. Так как матрицы <math>\textstyle \mathbf{I}</math> пропорциональны единичной, то <math>\textstyle (\mathbf{R}_2\mathbf{I}_2)(\mathbf{R}_1\mathbf{I}_1)=(\mathbf{R}_2\mathbf{R}_1)(\mathbf{I}_2\mathbf{I}_1)</math>.

<math>\textstyle \bullet</math> Рассмотрим подробнее группу вращений <math>\textstyle \mathbf{SO}(3)</math>. Введём матрицу <math>\textstyle {\mathbf A}</math> небольшого отклонения от единичного преобразования (поворот на малые углы): <math>\textstyle {\mathbf R}={\mathbf 1}+{\mathbf A}+... </math>. Пренебрегая вторым порядком малости, запишем условие ортогональности:

:<center><math>{\mathbf R}^T {\mathbf R}\approx(\mathbf{1}+{\mathbf A}^T)(\mathbf{1}+{\mathbf A}) \approx \mathbf{1}+{\mathbf A}^T+{\mathbf A} = {\mathbf 1}\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;{\mathbf A}^T=-{\mathbf A}.</math></center>

Операция транспонирования переставляет местами индексы, следовательно матрица <math>\textstyle \mathbf{A}</math> является антисимметричной. Она имеет три независимых элемента:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> {\mathbf A}= \begin{pmatrix} 0 & a_3 & -a_2\\ -a_3 & 0 & a_1\\ a_2 & -a_1 & 0\\ \end{pmatrix}. </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 |}

Величины <math>\textstyle {\mathbf a}=(a_1,a_2,a_3)</math> можно рассматривать как малые параметры преобразования. Генераторы группы <math>\textstyle {\mathbf R}=\mathbf{1}+{\mathbf A}+...={\mathbf 1}+a^i{\mathbf X}_i+...</math> имеют вид:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> {\mathbf X}_1 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & -1 & 0\\ \end{pmatrix},\;\;\;\;\; {\mathbf X}_2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ \end{pmatrix},\;\;\;\;\; {\mathbf X}_3 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ \end{pmatrix}. </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 |}

Прямым перемножением матриц несложно проверить, что они удовлетворяют следующей алгебре Ли:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> [{\mathbf X}_1, \;{\mathbf X}_2] = -{\mathbf X}_3,\;\;\;\;\;\;[{\mathbf X}_3, \;{\mathbf X}_1] = -{\mathbf X}_2,\;\;\;\;\;\;\;\;[{\mathbf X}_2, \;{\mathbf X}_3] = -{\mathbf X}_1. </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 |}

Поэтому структурные константы равны <math>\textstyle c^3_{12}=c^2_{31}=c^1_{23}=-1</math>. Второй и третий коммутаторы получаются из первого, в результате ''циклической перестановки'' индексов: <math>\textstyle \{1,2,3\}\mapsto \{3,1,2\}\mapsto \{2,3,1\}</math>. Стоит вычислить (<math>\textstyle \lessdot</math>\,H) эти коммутаторы операторным методом (стр.\,\pageref{sym_oper_method}).

Коммутаторы () можно записать используя символ Леви-Чевиты:

:<center><math>[{\mathbf X}_i, \;{\mathbf X}_j] = -\varepsilon_{ijk}\,{\mathbf X}_k</math></center>

(<math>\textstyle \varepsilon_{123}=1</math>, по <math>\textstyle k</math> сумма). Матрица инверсии трёх осей пропорциональна единичной, поэтому коммутирует с каждым генератором: <math>\textstyle [\mathbf{X}_i,\;\mathbf{I}_{xyz}] = 0. </math> Кроме этого диагональными являются квадраты матриц генераторов:

:<center><math>\mathbf{X}^2_1= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 &-1\\ \end{pmatrix},\;\;\;\;\;\; \mathbf{X}^2_2= \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 &-1\\ \end{pmatrix},\;\;\;\;\;\; \mathbf{X}^2_3= \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ \end{pmatrix},</math></center>

откуда следует, что <math>\textstyle \mathbf{X}^3_1=-\mathbf{X}_1</math>, и т.д. Сумма квадратов генераторов <math>\textstyle {\mathbf C}={\mathbf X}^2_1+{\mathbf X}^2_2+{\mathbf X}^3_3=-2\cdot{\mathbf 1} </math> пропорциональна единичной матрице, а следовательно коммутирует со всеми генераторами: <math>\textstyle [{\mathbf C}, {\mathbf X}_i]=0. </math> Подобная величина в теории групп называется ''оператором Казимира''.

Генераторы <math>\textstyle {\mathbf X}_1</math>, <math>\textstyle {\mathbf X}_2</math> и <math>\textstyle {\mathbf X}_3</math> связаны с бесконечно малыми поворотами вокруг осей <math>\textstyle x, y</math> и <math>\textstyle z</math>. Если обозначить <math>\textstyle s_1=\sin a_1</math>, <math>\textstyle c_1=\cos a_1</math> и т.д., то повороты вокруг трёх осей будут иметь вид:

:<center><math>{\mathbf R}_x = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & c_1 & s_1\\ 0 & -s_1 & c_1\\ \end{pmatrix},\;\;\;\;\; {\mathbf R}_y = \begin{pmatrix} c_2 & 0 & -s_2\\ 0 & 1 & 0\\ s_2 & 0 & c_2\\ \end{pmatrix},\;\;\;\;\; {\mathbf R}_z = \begin{pmatrix} c_3 & s_3 & 0\\ -s_3 & c_3 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix}.</math></center>

Определители этих матриц равны 1, поэтому мы имеем дело с группой <math>\textstyle \mathbf{SO}(3)</math>. Разложение их по параметрам <math>\textstyle a_i</math> приводит к генераторам <math>\textstyle \mathbf{X}_i</math>.

Обратим внимание, что поворот в матрицах <math>\textstyle \mathbf{R}_x</math>, <math>\textstyle \mathbf{R}_y</math>, <math>\textstyle \mathbf{R}_z</math> происходит по правому винту (штопору) "вкручивающемуся" в направлении оси. Поэтому при повороте вокруг <math>\textstyle y</math> роль "первой" оси (от которой отсчитывается угол) играет <math>\textstyle z</math>, а "второй' &mdash; <math>\textstyle x</math>: 

<center>[[File:rot_xyz_mat.png]]</center>

В результате матрицы <math>\textstyle \mathbf{R}_x</math> и <math>\textstyle \mathbf{R}_z</math> "блочно" одинаковы, а в матрице <math>\textstyle \mathbf{R}_y</math> по отношению к <math>\textstyle \mathbf{R}_x</math> переставлены местами строчки и аналогично колонки.

Группа <math>\textstyle \mathbf{SO}(3)</math> является неабелевой и последовательность поворотов играет роль. Например, если сначала повернуть систему вокруг оси <math>\textstyle y</math>, а затем вокруг оси <math>\textstyle x</math>, получим одну матрицу, а при выполнении этих поворотов в обратном порядке &mdash; другую:

:<center><math>{\mathbf R}_x{\mathbf R}_y = \begin{pmatrix} c_2 & 0 & -s_2\\ s_1s_2 & c_1 & s_1c_2\\ c_1s_2 & -s_1 & c_1c_2\\ \end{pmatrix}, \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; {\mathbf R}_y{\mathbf R}_x = \begin{pmatrix} c_2 & s_1s_2 & -c_1s_2\\ 0 & c_1 & s_1\\ s_2 & -s_1c_2 & c_1c_2\\ \end{pmatrix}.</math></center>

Неабелевость группы вращений связана с ненулевыми структурными константами. Понятно, что если коммутатор бесконечно малых поворотов (генераторов) отличен от нуля, то и матрицы произвольного поворота не будут между собой коммутировать. Естественно в группе <math>\textstyle \mathbf{SO}(3)</math> можно выделить и абелевы подгруппы. Например, вращение вокруг одной оси на различные углы является абелевой группой <math>\textstyle \mathbf{SO}(2)\subset\mathbf{SO}(3)</math>.

Описание композиции вращений существенно упрощается при использовании кватернионной техники. Поэтому к группе <math>\textstyle \mathbf{SO}(3)</math> мы вернемся при рассмотрении соответствующей темы в главе . В частности, получим явное выражение для функции композиции <math>\textstyle \phi(\mathbf{b},\mathbf{a})</math>.

<math>\textstyle \bullet</math> Найдем выражение для матрицы поворота на угол <math>\textstyle \phi</math> вокруг произвольно направленного единичного вектора <math>\textstyle \mathbf{n}</math>. Пусть с твёрдым телом, вращающимся вокруг оси <math>\textstyle \mathbf{n}</math> (ниже первый рисунок) жёстко связан некоторый вектор <math>\textstyle \mathbf{r}</math>. При повороте на угол <math>\textstyle \phi</math> он переходит в вектор <math>\textstyle \mathbf{ r}'</math>, скользя по перевёрнутому конусу (второй рисунок): 

<center>[[File:rot_vec_n.png]]</center>

Обозначим проекцию <math>\textstyle \mathbf{r}</math> на основание конуса через <math>\textstyle \boldsymbol{\rho}</math>, а проекцию <math>\textstyle \mathbf{r}'</math> через <math>\textstyle \boldsymbol{\rho}'</math>. Их длины одинаковы, и вектор <math>\textstyle \boldsymbol{\rho}</math>, в результате поворота на угол <math>\textstyle \phi</math>, переходит в <math>\textstyle \boldsymbol{\rho}'</math>. Введём вектор <math>\textstyle \mathbf{ n}\times\mathbf{r}</math>, лежащий в основании конуса перпендикулярно <math>\textstyle \boldsymbol{\rho}</math> (см. "вид сверху" на третьем рисунке). Его длина равна <math>\textstyle |\mathbf{ n}\times\mathbf{r}| = r \sin \gamma = |\boldsymbol{\rho}|</math> (второй рисунок), поэтому <math>\textstyle \boldsymbol{\rho}'</math> можно разложить по двум перпендикулярным векторам, имеющим одинаковую длину:

:<center><math>\boldsymbol{\rho}' = \boldsymbol{\rho}\cos \phi + [\mathbf{ n}\times\mathbf{ r}]\sin\phi.</math></center>

С другой стороны, векторы <math>\textstyle \mathbf{ r}</math> и <math>\textstyle \mathbf{ r}'</math> можно разложить следующим образом:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{ r} = \boldsymbol{\rho}+ \mathbf{ n}\;(\mathbf{ n}\mathbf{ r}),\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf{ r}' = \boldsymbol{\rho}' + \mathbf{ n}\;(\mathbf{ n}\mathbf{ r}'), </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 |}

где <math>\textstyle \mathbf{ n}(\mathbf{ n}\mathbf{ r})</math> направлен вдоль <math>\textstyle \mathbf{ n}</math> и равен высоте конуса. В результате, учитывая, что <math>\textstyle \mathbf{ r}'\mathbf{ n} = \mathbf{ r}\mathbf{ n}</math>, получаем: <math>\textstyle \mathbf{ r}' = \boldsymbol{\rho}\cos\phi + [\mathbf{ n}\times\mathbf{ r}]\sin\phi + \mathbf{ n}\;(\mathbf{ n}\,\mathbf{ r}). </math>

Принято различать ''пассивные'' и ''активные'' повороты. В первом случае сравниваются координаты одной и той же ''фиксированной точки'' пространства в двух системах координат <math>\textstyle (x,y,z)</math> и <math>\textstyle (x',y',z')</math>, повёрнутых относительно друг друга на угол <math>\textstyle \phi</math>. При активных вращениях рассматриваются координаты некоторого вектора, после ''его'' поворота относительно одной и той же системы координат: 

<center>[[File:act_pas.png]]</center>

Преобразования Лоренца описывают одно и тоже событие из различных систем отчёта, поэтому они являются пассивными вращениями. Для пространственных вращений мы также будем использовать пассивную интерпретацию. Несложно видеть, что поворот тела на угол <math>\textstyle \phi</math> относительно неподвижной системы координат эквивалентно повороту системы координат при неподвижном теле на угол "<math>\textstyle -\phi</math>".

Поэтому, делая замену <math>\textstyle \phi\mapsto-\phi</math> и меняя порядок векторов в векторном произведении, а также выражая <math>\textstyle \boldsymbol{\rho}</math> через <math>\textstyle \mathbf{r}</math> при помощи первого соотношения (), окончательно, получаем:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{r}' = \mathbf{r}\,\cos\phi + \mathbf{n}(\mathbf{n}\mathbf{r})(1-\cos\phi) - [\mathbf{n}\times\mathbf{r}] \sin\phi. </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 |}

Пусть ось вращения направлена вдоль оси <math>\textstyle z</math>. Тогда компоненты единичного вектора имеют значения <math>\textstyle \mathbf{n}=\{0,0,1\}</math>. Записывая <math>\textstyle \mathbf{r}=\{x,y,z\}</math> и аналогично со штрихами, из () получаем преобразование (), стр.\,\pageref{rotate_XY} для вращения в плоскости <math>\textstyle (x,y)</math>:

:<center><math>\left\{ \begin{array}{l} x'= x \cos\phi + y \sin\phi\\ y'= y \cos\phi - x \sin\phi\\ z' = z. \end{array} \right.</math></center>

Напомним, что при описании вращения используется правило правого винта (штопора). Этот винт вкручивается на угол <math>\textstyle \phi</math> в направлении оси <math>\textstyle \mathbf{n}</math> и его поворот показывает направление вращения системы координат. Кроме этого различают правые и левые системы координат: 

<center>[[File:left_right.png]]</center>

В книге используется правая система. В этой системе ось <math>\textstyle z</math> получается при помощи того же правого винта, если его рукоятку поворачивать от оси <math>\textstyle x</math> к оси <math>\textstyle y</math> в направлении <math>\textstyle z</math>. В 3-мерном пространстве левая система координат получается из правой в результате инверсии (обращении) одной или трёх осей. После такой операции, ни каким поворотом нельзя совместить оси левой и правой систем координат.

Векторное соотношение () можно записать в тензорном виде для преобразования <math>\textstyle r'_i=R_{ij}r_j</math>, при помощи символа Кронекера <math>\textstyle \delta_{ij}</math> и антисимметричного тензора Леви-Чевиты (<math>\textstyle [\mathbf{n}\times\mathbf{r}]_i=\varepsilon_{ikj}n_kr_j=-\varepsilon_{ijk}n_kr_j</math>):

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> R_{ij} = \delta_{ij}\,\cos\phi + n_in_j\,(1-\cos\phi) + \varepsilon_{ijk} n_k\,\sin\phi. </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 |}

Для бесконечно малого по углу <math>\textstyle \phi</math> преобразования, раскладывая в ряд синус и косинус, имеем <math>\textstyle R_{ij}\approx\delta_{ij}+\varepsilon_{ijk} n_k \phi</math>, Поэтому генераторы группы равны <math>\textstyle (\mathbf{X}_k)_{ij}=\varepsilon_{ijk}</math>, где индекс <math>\textstyle k</math> перечисляет матрицы генераторов, а <math>\textstyle i,j</math> &mdash; их элементы. Символ Леви-Чевиты равен <math>\textstyle \varepsilon_{123}=1</math>, при перестановке двух индексов появляется минус и при совпадении любых индексов он равен нулю. Поэтому несложно проверить, что значения <math>\textstyle (\mathbf{X}_k)_{ij}=\varepsilon_{ijk}</math> совпадают с элементами матриц ().

<math>\textstyle \bullet</math> Из геометрических соображений понятно, что вращения вокруг различных единичных осей на некоторые углы охватывают все возможные вращения. Два последовательных вращения вокруг осей <math>\textstyle \mathbf{n}_1</math> и <math>\textstyle \mathbf{n}_2</math> на углы <math>\textstyle \phi_1</math> и <math>\textstyle \phi_2</math> всегда можно выразить через один поворот на угол <math>\textstyle \phi</math> вокруг единичного вектора <math>\textstyle \mathbf{n}</math>. Связь между параметрами исходных поворотов и их результата будет получена в главе . Сейчас рассмотрим два последовательных поворота вокруг одной и той же оси. В этом случае происходит обычное сложение углов поворота (если последовательные вращения происходят вокруг разных осей это не так!):

:<center><math>\mathbf{R}(\mathbf{n},\,\phi_1)\,\mathbf{R}(\mathbf{n},\,\phi_2)=\mathbf{R}(\mathbf{n},\,\phi_1+\phi_2).</math></center>

Возьмем производную по <math>\textstyle \phi_2</math>, приравняв <math>\textstyle \phi_2=0</math>, а <math>\textstyle \phi_1=\phi</math>:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{R}(\mathbf{n},\,\phi)\, \mathbf{X}(\mathbf{n}) = \frac{\partial\mathbf{R}(\mathbf{n},\,\phi)}{\partial \phi}, </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 |}

где матрицу <math>\textstyle \mathbf{X}(\mathbf{n})</math>, при помощи выражения (), можно выразить через генераторы группы:

:<center><math>\mathbf{X}(\mathbf{n}) =\frac{\partial\mathbf{R}(\mathbf{n},\,\phi)}{\partial \phi}\Bigr|_{\phi=0}= n_k\mathbf{X}_k =n_1\mathbf{X}_1+n_2\mathbf{X}_2+n_3\mathbf{X}_3.</math></center>

Так как последовательность поворотов вокруг одной оси не играет роли (<math>\textstyle \mathbf{R}(\mathbf{n},\,\phi_1)\,\mathbf{R}(\mathbf{n},\,\phi_2)=\mathbf{R}(\mathbf{n},\,\phi_2)\,\mathbf{R}(\mathbf{n},\,\phi_1)</math>), матрицы <math>\textstyle \mathbf{R}(\mathbf{n},\,\phi)</math> и <math>\textstyle \mathbf{X}(\mathbf{n})</math> коммутируют (перестановочны). Следовательно, решение дифференциального матричного уравнения () можно записать следующим образом:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \mathbf{R}(\mathbf{n},\,\phi) = e^{\mathbf{X}(\mathbf{n})\,\phi} = e^{\mathbf{X}_k n_k \phi}. </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 |}

Экспонента от матрицы понимается в смысле её разложения в бесконечный степенной ряд Тейлора (возведение в произвольную степень матрицы является хорошо определенной операцией). Предполагается, что каждый элемент матрицы, получившейся в результате такого суммирования сходится к определенному значению. Стоит, разложив экспоненту, с точностью до второго порядка малости по <math>\textstyle \phi</math>, убедиться, что с той же точностью воспроизводится выражение (). Для этого сначала необходимо найти при помощи () следующие матрицы:

:<center><math>\mathbf{X}_k n_k = \begin{pmatrix} 0 & n_z & -n_y\\ -n_z & 0 & n_x\\ n_y & -n_x & 0\\ \end{pmatrix}, \;\;\;\;\;\;\;\; (\mathbf{X}_k n_k)^2 = \begin{pmatrix} n^2_x-1 & n_xn_y & n_xn_z\\ n_yn_x & n^2_y-1 & n_yn_z\\ n_zn_x & n_zn_y & n^2_z-1\\ \end{pmatrix},</math></center>

где учтено, что <math>\textstyle n^2_x+n^2_y+n^2_z=1</math>. Обратим внимание, что <math>\textstyle (\mathbf{X}_k n_k)^2</math> является симметричной матрицей (как и квадрат любой антисимметричной матрицы <math>\textstyle \mathbf{X}_k n_k</math>).

<math>\textstyle \bullet</math> Аналогичное экспоненциальное представление c генераторами группы в показателе справедливо для многих линейных групп Ли. Остановимся на этом чуть подробнее. Пусть в групповом пространстве задана некоторая кривая. Это означает, что из всех элементов группы отобраны только такие элементы <math>\textstyle \mathbf{T}(t)</math>, которые можно перечислить (пронумеровать) при помощи одного непрерывного параметра <math>\textstyle t</math>. Считается, что элементы группы на кривой близки, если близки соответствующие им параметры. В случае матричных групп, элементы двух близких матриц близки в обычном смысле математического анализа. Для многопараметрических групп подмножество элементов, заданных на кривой не охватывает всех элементов группы. Однако, для ряда интересных в приложениях линейных групп множество всевозможных кривых, проходящих через единичный элемент <math>\textstyle \mathbf{T}(0)=\mathbf{1}</math> (для которого естественно положить <math>\textstyle t=0</math>), покрывают все групповое пространство, пересекаясь только в единичном элементе. Более того, произведение двух элементов группы, лежащих на кривой, даёт элемент, который лежит на ''этой же'' кривой. Поэтому, всегда можно выбрать параметризацию, для которой:

:<center><math>\mathbf{T}(t_1)\mathbf{T}(t_2)=\mathbf{T}(t_1+t_2).</math></center>

Продифференцируем это выражение по <math>\textstyle t_2</math>, положив его равным нулю, а <math>\textstyle t_1=t</math>:

:<center><math>\mathbf{T}(t)\, \mathbf{X} = \frac{\partial \mathbf{T}(t)}{\partial t}.</math></center>

Так как в окрестности единичного преобразования матрицу <math>\textstyle \mathbf{T}</math> можно разложить по генераторам группы, то

:<center><math>\mathbf{X} = \frac{\partial\mathbf{T}(t)}{\partial t}\Bigr|_{t=0} = c_k \mathbf{X}_k,</math></center>

где <math>\textstyle c_k</math> &mdash; коэффициенты разложения и число слагаемых в сумме по <math>\textstyle k</math> равно числу параметров группы. Аналогичное уравнение, с переставленными матрицами <math>\textstyle \mathbf{T}(t)</math> и <math>\textstyle \mathbf{X}</math> мы бы получили, продифференцировав по <math>\textstyle t_1</math>. Поэтому они коммутируют и решение уравнения можно записать в виде:

:<center><math>\mathbf{T}(t)=e^{\mathbf{X}_kc_k \,t}.</math></center>

Числа <math>\textstyle c_1,...,c_n</math> имеют смысл компонент касательного к кривой вектора в групповом пространстве в окрестности единичного преобразования, который разложен по базису генераторов <math>\textstyle \mathbf{X}_1,...,\mathbf{X}_n</math>. Масштабным преобразованием параметра <math>\textstyle t</math> всегда можно сделать сумму квадратов коэффициентов <math>\textstyle c_k</math> равной единице.

----
{| width="100%"  
 | width="30%"|[[Линейные преобразования]] << 
 ! width="40%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_06.pdf Глава 6])
 | width="30%" align="right"| >> [[Группа SU(2)]]
|}
----
[[Релятивистский мир]] - лекции по теории относительности, гравитации и космологии