Просмотр исходного текста страницы Группа Лоренца

{| width="100%"  
 | width="30%"|[[Группа SU(2)]] << 
 ! width="40%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_06.pdf Глава 6]) 
 | width="30%" align="right"| >> [[Группа Пуанкаре]]
|}
----

<math>\bullet</math> Группа Лоренца объединяет в себе преобразования Лоренца и повороты в обычном пространстве. Рассмотрим сначала 2-мерное пространство <math>\textstyle {x, y}</math> и время <math>\textstyle t</math>, которые будут преобразуемыми величинами <math>\textstyle \mathrm{x}=\{t, x,y\}</math>. Пространственные повороты не затрагивают время, поэтому соответствующее преобразование выглядит следующим образом:

:<center><math>\begin{pmatrix} t' \\ x' \\ y' \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\phi & \sin\phi \\ 0 & -\sin\phi & \cos\phi \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} t \\ x \\ y \\ \end{pmatrix}.</math></center>

Разложение по углу <math>\textstyle \phi</math> даёт генератор вращений плоскости, который мы обозначим как <math>\textstyle \mathbf{R}</math>:

:<center><math>\mathbf{R}= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ \end{pmatrix}.</math></center>

Преобразования Лоренца (), стр.\,\pageref{Lorenz_txy} вдоль оси <math>\textstyle x</math> со скоростью <math>\textstyle v_x</math> и вдоль оси <math>\textstyle y</math> со скоростью <math>\textstyle v_y</math> запишем в первом порядке малости по скорости <math>\textstyle \mathbf{v}</math> (<math>\textstyle \gamma\approx 1</math>), временно восстановив фундаментальную константу <math>\textstyle c</math>, обозначив <math>\textstyle \alpha=1/c^2</math> :

:<center><math>\begin{pmatrix} t' \\ x' \\ y' \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -\alpha v_x & 0 \\ -v_x & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} t \\ x \\ y \\ \end{pmatrix}, \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \begin{pmatrix} t' \\ x' \\ y' \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -\alpha v_y \\ 0 & 1 & 0 \\ -v_y & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} t \\ x \\ y \\ \end{pmatrix}.</math></center>

Соответствующие этим преобразованиям генераторы имеют вид:

:<center><math>\mathbf{L}_x= \begin{pmatrix} 0 & -\alpha & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}, \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \mathbf{L}_y= \begin{pmatrix} 0 & 0 & -\alpha \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}.</math></center>

Несложно проверить, что три матрицы <math>\textstyle \mathbf{L}_x,\mathbf{L}_y</math> и <math>\textstyle \mathbf{R}</math> удовлетворяют следующей алгебре Ли:

:<center><math>[\mathbf{L}_x, \mathbf{R}] = \mathbf{L}_y,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;[\mathbf{L}_y, \mathbf{R}] = -\mathbf{L}_x,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;[\mathbf{L}_x, \mathbf{L}_y] = \alpha \mathbf{R}.</math></center>

В классической механике фундаментальная скорость "<math>\textstyle c</math>" равна бесконечности, а <math>\textstyle \alpha=0</math>. Поэтому эта же алгебра для ''группы Галилея'' (повороты + смена системы отсчёта) имеет вид:

:<center><math>[\mathbf{L}_x, \mathbf{R}] = \mathbf{L}_y,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;[\mathbf{L}_y, \mathbf{R}] = -\mathbf{L}_x,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;[\mathbf{L}_x, \mathbf{L}_y] = 0.</math></center>

Отличие состоит в последнем коммутаторе, который равен нулю.

Мы видели, что линейная группа преобразований определяется набором структурных констант, которые задают алгебру для генераторов:

:<center><math>[\mathbf{X}_i,\;\mathbf{X}_j] = c^k_{ij}\,\mathbf{X}_k.</math></center>

Эти константы должны быть антисимметричными по нижним индексам <math>\textstyle c^k_{ij}=-c^k_{ji}</math> и удовлетворять тождеству Якоби (стр.\,\pageref{group_jacobi}):

:<center><math>c^p_{ij} c^q_{k p} + c^p_{jk} c^q_{i p}+ c^p_{ki} c^q_{j p} = 0.</math></center>

В случае 3-параметрической группы <math>\textstyle \{\mathbf{X}_1,\mathbf{X}_2,\mathbf{X}_3\}=\{\mathbf{L}_x,\mathbf{L}_y,\mathbf{R}\}</math>, рассмотренной выше, возможно 9 различных структурных констант, а тождество Якоби вырождается в одно нетривиальное ограничение, следующее из соотношения <math>\textstyle [\mathbf{X}_1,[\mathbf{X}_2,\mathbf{X}_3]]+[\mathbf{X}_2,[\mathbf{X}_3,\mathbf{X}_1]]+[\mathbf{X}_3,[\mathbf{X}_1,\mathbf{X}_2]]=0</math>. Кроме этого, выбор способа параметризации произволен. Поэтому в рамках одной и той же группы, можно перейти к новым генераторам, являющимися линейной комбинацией старых. В рамках классификации, проделанной Луиджи Бианки (стр.\,\pageref{sym_bianki_class}) показывается, что существует 4 независимых параметра, определяющих структурные константы и 9 нетривиальных групп Ли размерности 3.

Эти 4 структурные константы можно рассматривать как четвёрку потенциальных фундаментальных физических констант, определяющих ту или иную теорию преобразований между двумя системами отсчёта. При росте числа параметров группы, быстро растёт и число независимых структурных констант. Дополнительные ограничения на них накладывает ''принцип соответствия'', так как в пределе нулевых фундаментальных констант должны получаться соотношения группы Галилея. Поэтому часть из структурных констант уже фиксированы. Далее можно использовать свойства изотропности пространства, которое на языке генераторов выражаются в равноправии (симметрии) между <math>\textstyle \mathbf{L}_x</math> и <math>\textstyle \mathbf{L}_y</math>, и т.д. В результате число фундаментальных констант будет ещё сильнее уменьшаться. Однако на любом этапе можно остановиться, получив некоторое обобщение классической механики.

Таким образом, на языке теории групп мы возвращаемся к ''принципу параметрической неполноты'' (стр.\,\pageref{param_incomp}). Построение новых физических теорий может идти по пути расширения исходных групп преобразований классической механики, путём введения новых ненулевых структурных констант. Эти структурные константы являются фундаментальными константами, определяющими свойства соответствующих механик.

Впрочем, сейчас самое время перейти к детальному изучению свойств группы, которая гарантирована реализовалась в нашем Мире и явилась первым параметрическим обобщением классической механики.

<math>\textstyle \bullet</math> Рассмотрим 4-мерное пространство-время. Преобразуемыми величинами будут компоненты 4-вектора <math>\textstyle \mathrm{x}=\{t,x,y,z\}</math>. В матрицы генераторов группы пространственных вращений (), стр.\,\pageref{group_mat_gen_SO3} необходимо добавить нулевые столбик и строчку, так как при поворотах время не изменяется:

:<center><math>\mathbf{R}_1= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ \end{pmatrix}, \;\;\; \mathbf{R}_2= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}, \;\;\; \mathbf{R}_3= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}.</math></center>

Генераторы лоренцевских бустов вдоль каждой оси получаются также как и в 2-мерном случае, рассмотренном выше. Положив фундаментальную скорость единице, имеем:

:<center><math>\mathbf{L}_1= \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 & 0\\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}, \;\; \mathbf{L}_2= \begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}, \;\; \mathbf{L}_3= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & -1\\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix}.</math></center>

Прямым умножением матриц можно проверить, что эти генераторы удовлетворяют следующей алгебре Ли (по <math>\textstyle k</math> сумма):

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> [\mathbf{R}_i,\mathbf{R}_j]=-\varepsilon_{ijk}\mathbf{R}_k,\;\;\;\;\;\;\;\;[\mathbf{L}_i,\mathbf{R}_j] = -\varepsilon_{ijk}\,\mathbf{L}_k,\;\;\;\;\;\;\;\;\;[\mathbf{L}_i,\mathbf{L}_j]=\varepsilon_{ijk}\mathbf{R}_k. </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 |}

Особенно важны последние соотношения. Во-первых, именно они отличают группу Лоренца от группы Галилея, а во-вторых, в них выражен факт некоммутативности преобразований Лоренца. Как мы знаем, два последовательных лоренцевских буста, выполненные с непараллельными скоростями не являются снова бустом (стр.\,\pageref{SxxSyyS}). Итоговое преобразование является композицией буста и поворота (подробнее см.стр.\,\pageref{L1L2LR}).

Заметим также, что все коммутаторы выглядят похожим образом и записываются при помощи символов Леви-Чевиты. Это отражает тот фундаментальный факт, что группа Лоренца является группой поворотов в 4-мерном псевдоевклидовом пространстве. В таком пространстве существует 6 плоскостей: <math>\textstyle (t,x)</math>, <math>\textstyle (t,y)</math>, ... <math>\textstyle (y,z)</math> вращение которых определяется 6-ю параметрами. Соответственно это 6-параметрическая неабелева группа. Инвариантом этой группы является световой конус:

{| width="100%" 
 | width="90%" align="center"|<math> \mathrm{x}^2 = t^2 - \mathbf{r}^2 = inv, </math>
 | <div width="10%" align="right" style="color:#0000CC">'''(EQN)'''</div>
 |}

имеющий смысл расстояния от начала координат в 4-мерном псевдоевклидовом пространстве. По аналогии с группой вращения, группу Лоренца обозначают следующим образом: <math>\textstyle \mathbf{O}(1,3)</math>, где первый аргумент &mdash; размерность времени, а второй &mdash; пространства.

Формально, ''группа Лоренца'' <math>\textstyle \mathbf{O}(1,3)</math> является множеством ортогональных матриц (стр.\,\pageref{orto_lor}) 4x4 в псевдоевклидовом пространстве с метрическим тензором <math>\textstyle \mathbf{g}=\mathrm{diag}(1,-1,-1,-1)</math>, <math>\textstyle \mathbf{g}^2=\mathbf{1}</math>, <math>\textstyle \mathbf{g}^T=\mathbf{g}</math>:

:<center><math>\mathrm{x}^2 = \mathrm{x}^T \mathbf{g}\,\mathrm{x}=\mathrm{x}'^T \mathbf{g}\,\mathrm{x}', \;\;\;\;\;\;\;\mathrm{x}'=\mathbf{\Lambda}\mathrm{x}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;=>\;\;\;\;\;\;\;\;\; \mathbf{g}\mathbf{\Lambda}^T \mathbf{g} \mathbf{\Lambda} = \mathbf{1}.</math></center>

Так как <math>\textstyle \det\mathbf{\mathbf{g}}=-1</math>, то <math>\textstyle (\det\mathbf{\Lambda})^2=1</math> и определитель матрицы преобразования <math>\textstyle \mathbf{\Lambda}</math> может быть равен 1 или -1. Последний случай, аналогично обычным вращениям, реализуется в результате операций отражения нечетного числа осей в 4-мерном пространстве-времени. Например, изменение направления хода времени <math>\textstyle t\mapsto -t</math> или всех трёх пространственных осей <math>\textstyle (x,y,z)\mapsto (-x,-y,-z)</math>, осуществляется следующими матрицами:

:<center><math>\mathbf{I}_t= \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix},\;\;\;\;\;\;\;\; \mathbf{I}_{\mathbf{r}}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ \end{pmatrix}.</math></center>

Четверка матриц <math>\textstyle \{\mathbf{1},\,\mathbf{I}_t,\,\mathbf{I}_\mathbf{r},\,\mathbf{I}_{t\mathbf{r}}\}</math>, где <math>\textstyle \mathbf{I}_{t\mathbf{r}}=\mathbf{I}_{t}\mathbf{I}_{\mathbf{r}}=-\mathbf{1}</math> (инверсия всех осей) образует дискретную группу. Эта группа, дополненная непрерывными преобразованиями, определяемыми генераторами <math>\textstyle \mathbf{R}_i</math>, <math>\textstyle \mathbf{L}_i</math>, описывает все возможные симметрии не меняющие инварианта ().

Наличие дискретных симметрий приводит к тому, что все возможные преобразования разбиваются на подмножества, несводимые друг к другу при помощи непрерывных преобразований. Пусть исходной является правая система координат с "нормальным" направлением течения времени. При помощи, например, <math>\textstyle \mathbf{I}_{\mathbf{r}}</math> её можно превратить в левую систему координат, после чего, ни преобразованием Лоренца, ни поворотом нельзя вернутся к исходному состоянию. Аналогично с <math>\textstyle \mathbf{I}_{t}</math> и <math>\textstyle \mathbf{I}_{t\mathbf{r}}</math>. Эти 4 подмножества, не соединяемые непрерывным преобразованием, классифицируют по знакам определителя матрицы <math>\textstyle \mathbf{\Lambda}</math> и её нулевого элемента: <math>\textstyle \Lambda^0_{\;0}</math> (который по модулю больше единицы, что следует из условия ортогональности для нулевых индексов (<math>\textstyle \lessdot</math>\,H)):

:<center><math>\begin{array}{llll} I. \;\;\;\; &\det\mathbf{\Lambda}=+1 \;\;\;\;& \Lambda^0_{\;0}\geqslant +1\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;&\mathbf{1}\\ II. &\det\mathbf{\Lambda}=-1 & \Lambda^0_{\;0}\geqslant +1 & \mathbf{I}_{\mathbf{r}}\\ III.&\det\mathbf{\Lambda}=-1 & \Lambda^0_{\;0}\leqslant -1 & \mathbf{I}_{t}\\ IV.&\det\mathbf{\Lambda}=+1 & \Lambda^0_{\;0}\leqslant -1. & \mathbf{I}_{t\mathbf{r}} \end{array}</math></center>

Первый класс соответствует "обычным" преобразованиям Лоренца и вращениям правой системы координат. Он называется ''собственной ортохронной группой Лоренца''. В последней колонке записаны матрицы дискретных преобразований, принадлежащие каждому классу (проверьте).

<math>\textstyle \bullet</math> Алгебру Ли () группы Лоренца можно упростить, если перейти к следующим генераторам (<math>\textstyle \imath^2=-1</math>):

:<center><math>\mathbf{J}_k = \frac{1}{2}\,(\mathbf{R}_k+\imath\mathbf{L}_k),\;\;\;\;\;\;\;\;\; \mathbf{K}_k = \frac{1}{2}\,(\mathbf{R}_k-\imath\mathbf{L}_k).</math></center>

Они коммутируют друг с другом, поэтому алгебра "расщепляется":

:<center><math>[\mathbf{J}_i,\;\mathbf{J}_j] = -\varepsilon_{ijk}\,\mathbf{J}_k,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;[\mathbf{K}_i,\;\mathbf{K}_j] = -\varepsilon_{ijk}\,\mathbf{K}_k,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;[\mathbf{J}_i,\;\mathbf{K}_j] = 0.</math></center>

Для каждой тройки генераторов <math>\textstyle \mathbf{J}_i</math> и <math>\textstyle \mathbf{K}_i</math> алгебра Ли группы Лоренца совпадает с алгеброй групп <math>\textstyle \mathbf{SO}(3)</math> и <math>\textstyle \mathbf{SU}(2)</math>. Соответственно, есть два оператора Казимира, коммутирующие со всеми генераторами:

:<center><math>\mathbf{J}^2=\mathbf{J}^2_1+\mathbf{J}^2_2+\mathbf{J}^2_3,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathbf{K}^2=\mathbf{K}^2_1+\mathbf{K}^2_2+\mathbf{K}^2_3.</math></center>

Пользуясь результатами предыдущего раздела, можно описать неприводимые представления алгебры Ли. Каждое из них характеризуется парой чисел <math>\textstyle (j_1, j_2)</math>, где <math>\textstyle j_1</math> &mdash; максимальное собственное значение генератора <math>\textstyle \mathbf{J}_3</math>, а <math>\textstyle j_2</math> &mdash; генератора <math>\textstyle \mathbf{K}_3</math>. Числа <math>\textstyle (j_1, j_2)</math> могут быть целыми или полуцелыми, а размерность неприводимых представлений каждой из алгебр равна <math>\textstyle 2j_i+1</math>. Если <math>\textstyle j_1+j_2</math> равно полуцелому числу, то представление называется спинорным, а для целого числа &mdash; векторным. Векторное представление является однозначным, в спинорное &mdash; двухзначным. Если <math>\textstyle j_1\neq j_2</math>, то возможно два неэквивалентных представления одинаковой размерности: <math>\textstyle (j_1, j_2)</math> и <math>\textstyle (j_2, j_1)</math>.

Пусть <math>\textstyle S^{(j)}_{\alpha\beta}</math> &mdash; матрица <math>\textstyle (2j+1)</math>x<math>\textstyle (2j+1)</math>, соответствующая данному неприводимому представлению, а <math>\textstyle \Psi_{\alpha\beta}</math> &mdash; некоторая многокомпонентная величина, преобразующаяся по представлению <math>\textstyle (j_1,j_2)</math>:

:<center><math>\Psi'_{\alpha\beta} = S^{(j_1)}_{\alpha\mu}S^{(j_2)}_{\beta\nu} \Psi_{\mu\nu},</math></center>

где по повторяющимся индексам сумма от 1 до <math>\textstyle 2j_1+1</math> для <math>\textstyle \mu</math> и до <math>\textstyle 2j_2+1</math> для <math>\textstyle \nu</math>. В этом смысле произвольное неприводимое представление алгебры группы Лоренца является прямым произведением двух неприводимых представлений алгебры <math>\textstyle \mathbf{SO}(3)</math> или <math>\textstyle \mathbf{SU}(2)</math>, т.е. <math>\textstyle \mathbf{S}^{(j_1,j_2)}=\mathbf{S}^{(j_1)}\otimes\mathbf{S}^{(j_2)}</math> и имеет размерность <math>\textstyle (2j_1+1)(2j_2+1)</math>.

Одной из матриц может не быть, что помечается нулем: <math>\textstyle (j_1,0)</math> или <math>\textstyle (0,j_2)</math>. При помощи неприводимых представлений можно получать матрицы приводимых представлений. Однако особый интерес представляют именно неприводимые представления, так как они определяют различные типы нетривиальных математических объектов, тем или иным образом меняющихся при преобразованиях Лоренца (см. стр.\,\pageref{why_need_preds})

Перечислим некоторые из них для конкретных <math>\textstyle j_1</math> и <math>\textstyle j_2</math>: 

\item[<math>\textstyle \triangleright</math>] <math>\textstyle (0,0)</math> &mdash; ''скаляр'', не меняющийся при вращениях и преобразованиях Лоренца; это однокомпонентная величина <math>\textstyle \Psi'=\Psi</math>. 

\item[<math>\textstyle \triangleright</math>] <math>\textstyle (1/2,0)</math> или <math>\textstyle (0,1/2)</math> &mdash; описывают преобразования ''спинора''; это двухкомпонентная комплексная величина <math>\textstyle \Psi_{\alpha}= (\Psi_1\,\Psi_2)^T</math>, см. главу . 

\item[<math>\textstyle \triangleright</math>] <math>\textstyle (1,0)</math> или <math>\textstyle (0,1)</math> &mdash; преобразования трехкомпонентных величин, которыми могут быть комплексные векторы <math>\textstyle \mathbf{a}+\imath\mathbf{b}</math>, являющиеся компонентами антисимметричного 4-тензора <math>\textstyle A_{ij}=(\mathbf{a},\mathbf{b})</math>, см.стр.\,\pageref{anti_sym_ten_sec}. 

\item[<math>\textstyle \triangleright</math>] <math>\textstyle (1/2,1/2)</math> &mdash; четырехкомпонентная величина являющаяся обычным 4-вектором <math>\textstyle A^\nu=\{A^0,\mathbf{A}\}</math>. Каким образом прямое произведение двух матриц 2x2 приводит к преобразованиям Лоренца для 4-вектора станет ясно в главе .

Рассмотрим подробнее представление <math>\textstyle (1,0)</math>. В этом случае матрицы генераторов 3x3 действуют на столбик из трёх, вообще говоря, комплексных чисел. Так как генераторы совпадают с матрицами группы <math>\textstyle \mathbf{SO}(3)</math>, то при пространственных поворотах эта тройка чисел преобразуется как компоненты 3-векторов (независимо и одинаково для действительной и мнимой частей). Запишем матрицу преобразования для малых параметров:

:<center><math>\mathbf{S}\approx\mathbf{1}+\delta\phi_k \mathbf{R}_k+\delta v_k \mathbf{L}_k=\mathbf{1}+(\delta\phi_k-\imath \delta v_k)\mathbf{J}_k+(\delta\phi_k+\imath \delta v_k)\mathbf{K}_k,</math></center>

где <math>\textstyle \delta\boldsymbol{\phi}=\mathbf{n}d\phi</math> &mdash; углы поворота, <math>\textstyle \delta\mathbf{v}</math> &mdash; относительная скорость. Таким образом, в представлении <math>\textstyle (1,0)</math> параметры преобразования являются комплексными величинами: <math>\textstyle \delta\phi_k -\imath \delta v_k</math>. Рассмотрим относительное движение двух систем отсчета вдоль оси <math>\textstyle x</math>: <math>\textstyle \delta \mathbf{v}=\{\delta v,0,0\}</math>. В этом случае <math>\textstyle \mathbf{S}\approx\mathbf{1}-\imath\delta v\,\mathbf{J}_1</math>. Взяв генераторы поворота (), стр.\,\pageref{group_mat_gen_SO3} и выделив в преобразуемом векторе явным образом действительную и мнимую части, имеем:

:<center><math>\begin{pmatrix} a'_x+\imath b'_x \\ a'_y+\imath b'_y \\ a'_z+\imath b'_z \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & -\imath\delta v\\ 0 & \imath\delta v & 1\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_x+\imath b_x \\ a_y+\imath b_y \\ a_z+\imath b_z \\ \end{pmatrix}.</math></center>

Перемножая и приравнивая действительную и мнимые части, получаем:

:<center><math>\begin{array}{lll} a'_x=a_x, \;\;\;\;\;&a'_y = a_y + \delta v\, b_z, \;\;\;\;\;&a'_z = a_z - \delta v\, b_y,\\ b'_x=b_x, \;\;\;\;\;&b'_y = b_y - \delta v\, a_z, \;\;\;\;\;&b'_z = b_z + \delta v\, a_y, \end{array}</math></center>

что совпадет с преобразованием антисимметричного 4-тензора (стр.\,\pageref{anti_sym_ten_sec}) при малой относительной скороcти движения.

----
{| width="100%"  
 | width="30%"|[[Группа SU(2)]] << 
 ! width="40%"|[[Релятивистский мир|Оглавление]] (Последняя версия в: [http://synset.com/pdf/relworld_06.pdf Глава 6])
 | width="30%" align="right"| >> [[Группа Пуанкаре]]
|}
----
[[Релятивистский мир]] - лекции по теории относительности, гравитации и космологии