Электромагнитные волны

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
Преобразования Лоренца для полей << Оглавление (Глава 5) >> Законы сохранения


Напомним, что, записав в первом разделе дифференциальные уравнения, которым удовлетворяет закон Кулона, мы получили несколько более общие законы, чем исходная сила Кулона. Уравнению удовлетворяет сферически симметричная напряжённость поля. Однако ему также удовлетворяет напряжённость движущегося заряда, не обладающая такой симметрией!

Аналогична ситуация и с полной системой уравнений Максвелла. По сути их вывода они выполняются для напряженности электромагнитного поля, создаваемого системой равномерно движущихся зарядов. Однако уравнения Максвелла также содержат в себе принципиально новые классы решений. Так, пусть в пространстве нет зарядов и токов, тогда:

Вторая пара уравнений зависит одновременно и от электрического, и от магнитного поля. Если от этих уравнений взять ротор, то получатся волновые уравнения второго порядка, зависящие отдельно от и :

(EQN)

где - оператор Лапласа. Действительно, например, ротор от левой части уравнения равен:

где мы учли равенство нулю дивергенции электрического поля (первое уравнение Максвелла в пустоте). С другой стороны, ротор от правой части имеет вид:

Очевидным решением уравнений Максвелла в пустоте и следующих из них волновых уравнений являются поля, не зависящие от координат и времени , . Их частным случаем является пространство, в котором полей нет вообще. Однако это не единственная возможность.

Рассмотрим решение уравнений Максвелла, в которых электрическое и магнитное поля зависят от следующей комбинации координат и времени: , где - некоторый постоянный вектор:

Вычислим производные по координатам и времени от -той компоненты электрического поля:

Аналогичные соотношения справедливы и для магнитного поля. Подставим эти производные в уравнения Максвелла в пустоте для дивергенций. В этом случае , где по —сумма от 1 до 3. Поэтому выше необходимо положить и просуммировать. В результате:

Так как вектор является константой его можно внести под знак производной. Аналогично для роторов:

Интегрируя эти уравнения по и опуская константы интегрирования, которые соответствуют постоянным составляющим электрического и магнитного полей, получаем:

Эти соотношения являются связями, накладываемыми на векторы , , , которые необходимы для выполнения уравнений Максвелла. Подставляя третье соотношение в четвёртое:

приходим к выводу, что вектор должен быть единичным .

Таким образом, мы получили нетривиальное решение уравнений Максвелла в пустоте:

(EQN)

в котором функция напряжённости электрического поля может произвольным образом зависеть от и векторы , , взаимно перпендикулярны друг другу.

Разберёмся с физическим смыслом полученного решения. Направим ось вдоль вектора так, что , а ось вдоль электрического поля перпендикулярно . Магнитное поле перпендикулярно электрическому и лежит вдоль оси . Пусть функция при имеет максимум. Ниже на левом рисунке изображено значение электромагнитного поля в точках, находящихся в плоскости , в момент времени :

Wave.png

С течением времени этот максимум перемещается вдоль оси (по направлению вектора ) с единичной скоростью, которая в принятой нами системе единиц соответствует скорости света. Обратим внимание, что на левом рисунке векторы и изображены для точек, лежащих на оси . Электрическое поле не зависит от и и, вообще говоря, при обычном соглашении должно рисоваться параллельными линиями в плоскости , густота которых соответствует напряженности поля. На правом рисунке выше сделана попытка такого представления.

Таким образом, данное решение представляет собой однородное (при фиксированном ) поле с одинаковой напряженностью во всей плоскости . Поэтому подобный класс решений называется плоскими волнами. Скорость перемещения области сгущения напряженности поля называется фазовой скоростью.

Важный класс монохроматических плоских волн получается, когда поля являются периодическими функциями . Рассмотрим сначала случай линейной поляризации:

Постоянный вектор определяет амплитуду колебаний и одновременно задаёт направление, вдоль которого происходит колебание. Вторая константа — сдвиг фазы, возникающий при выборе того или иного начального значения поля при (не путать с потенциалом  !). Наконец, вектор называется волновым вектором, а круговой частотой. Чтобы получилось решение с , частота и волновой вектор должны быть связаны между собой следующим образом:

где — единичный вектор, задающий направление распространения электромагнитной волны. Выражение называется фазой.

Нарисуем плоскую волну в данный момент времени (слева, ) и в данной точке пространства (справа, ), с :

Wave E H.png

Модуль волнового вектора связан с длиной волны , а круговая частота — с частотой колебаний (или периодом ) следующим образом:

Каждый "гребень" плоской монохроматической линейно-поляризованной волны перемещается в пространстве со скоростью света.

Рассмотрим теперь несколько более общий вариант поляризации. Ось снова направим вдоль вектора . В этом случае электрическое и магнитное поля будут лежать в плоскости (). Например, . Пусть по каждой компоненте электрическое поле совершает гармонические колебания с амплитудами и следующего вида:

В фиксированной точке пространства вектор совершает движения по эллипсу с круговой частотой :

Ellipse E L.png

Такая поляризация называется эллиптической. Если , то это, соответственно, круговая поляризация. При эллиптической или круговой поляризации вектор напряжённости описывает в пространстве спираль, направление "вкручивания" которой зависит от знаков амплитуд и . Предположим, что мы смотрим навстречу распространению волны. Если электрическое поле поворачивается по часовой стрелке, то такая волна называется левополяризованной, если против, то правополяризованной.

Вообще говоря, оси координат могли быть выбраны не вдоль главных полуосей эллипса. В этом случае колебания вдоль каждой оси имели бы различные фазы, разность которых соответствовала бы углу поворота эллипса в плоскости .

Подытожим предыдущие разделы. Мы начали с закона Кулона и формально ввели электрическое поле как силу, действующую на единичный пробный заряд. Мы предположили, что заряд является собственной характеристикой частицы и имеет одинаковое значение независимо от скорости движения. Затем при помощи преобразований Лоренца было получено выражение для силы, действующей на пробный заряд со стороны движущегося со скоростью заряда . Эта сила естественным образом разбилась на два слагаемых, в которых мы, опять же формально, выделили две векторные функции - электрическое поле и магнитное поле . Мы добавили ещё одно предположение под названием "принцип суперпозиции": силы, действующие на пробный заряд со стороны системы зарядов (имеющих различные и произвольные постоянные скорости), оказывают независимое воздействие и векторно складываются.

В результате выяснилось, что функции и удовлетворяют простым дифференциальным уравнениям Максвелла, которые, аналогично закону Гаусса в электростатике, зависят только от плотности заряда и тока частиц. Решив эти уравнения и подставив их в выражение для силы Лоренца, мы можем найти траекторию движения пробного заряда в электромагнитном поле.

Хотя уравнения Максвелла были выведены для системы равномерно движущихся зарядов, оказалось, что они имеют нетривиальные решения даже в отсутствие зарядов. При этом электромагнитное поле распространяется в пространстве с фундаментальной скоростью . Мы специально не "закладывали" подобных свойств решений в уравнения. Они возникли автоматически.

Однако откуда в пустом пространстве всё же берутся электромагнитные волны? Чтобы понять это на качественном уровне, вернёмся к равномерно движущемуся заряду и попробуем разобраться, что происходит с его полем при изменении скорости заряда. Пусть до момента времени заряд в системе двигался с постоянной скоростью . Соответственно, в связанной с ним системе существовало только электрическое поле в виде симметричного ёжика силовых линий. В системе ежик электрического поля выглядит сплюснутым, а кроме этого, существует магнитное поле. Силовые линии этих полей с постоянной скоростью перемещаются мимо наблюдателей в .

В момент времени заряд, в результате внешнего воздействия, резко останавливается. Что будет происходить с его электрическим и магнитным полями?

Мы знаем, что любое движение не может происходить быстрее фундаментальной скорости. Это же относится и к темпу распространения в пространстве изменения поля, возникшего в результате торможения заряда. Так как при заряд в системе отсчёта неподвижен, вокруг него должно исчезнуть магнитное поле, а электрическое поле должно стать сферически симметричным. Однако сразу во всём пространстве это произойти не может. Вокруг заряда с фундаментальной скоростью расширяется сфера, внутри которой , . Снаружи этой сферы всё осталось без изменений. Есть и магнитное, и сплюснутое электрическое поле. Их силовые линии продолжают двигаться в пространстве, хотя заряд уже остановился.

Ниже нарисованы последовательные картинки с равным шагом по времени, изображающие этот процесс. Скорость заряда до остановки была равна . Точка изображает "фантомное" положение заряда, т.е. это центр удалённых силовых линий, которые продолжают двигаться. Так как скорость "фантома" велика, он лишь немного отстаёт от сферического фронта "распространения информации" об остановке заряда (показана только верхняя часть силовых линий):

Move stop Q.png

Сильный излом линий возникает из-за "мгновенности" остановки заряда. В реальности, естественно, излома не будет и силовые линии после начала торможения будут изгибаться плавнее. Однако в любом случае в окрестности сферического фронта происходит сгущение силовых линий. Они почти перпендикулярны направлению расширения поля, поэтому мы имеем дело со сферически распространяющимся сгущением поперечного электрического поля. Это сгущение увеличивается в направлении бывшего движения заряда. Снаружи вокруг сферы, перпендикулярно электрическим силовым линиям, в виде окружностей перемещаются в пространстве силовые линии магнитного поля.

В результате заряд при остановке как бы "сбрасывает" с себя часть электромагнитного поля, которое "по инерции" продолжает двигаться вперёд в виде электромагнитной волны, получив право на самостоятельное существование. Даже если заряд исчезает (например, в результате аннигиляции отрицательного электрона и положительного позитрона), то его поле (силовое воздействие на пробные частицы) будет продолжать перемещаться в пространстве.

Обратим внимание, что не всегда электромагнитное поле распространяется с фундаментальной скоростью (скоростью света). Это происходит, например, при расширении сферического фронта после остановки заряда. В то же время удалённые силовые линии от "фантомного" заряда движутся в пространстве со скоростью заряда в прошлом, которая, естественно, меньше фундаментальной.

Со скоростью света распространяется "информация" об изменении скорости зарядов. Она "становится известной" в удалённых точках только через время, равное расстоянию от заряда к этой точке, делённому на скорость света. Фактически это требование оказалось "заложенным" в уравнения Максвелла, о чём свидетельствует наличие решений, распространяющихся с фундаментальной скоростью. Однако этого могло и не произойти, если бы закон Кулона имел отличное от поведение. В этом случае в уравнениях электромагнетизма появились бы дополнительные слагаемые, которые изменили бы волновое уравнение. В результате скорость электромагнитных волн оказалась бы меньше фундаментальной. Таким образом, скорость электромагнитной волны тесно связана с формой статического закона взаимодействия между двумя зарядами (см. также стр.\pageref{h_bk_mass_field}).

Ещё один важный момент, на который стоит обратить внимание. Уравнения Максвелла, записанные выше, фактически были выведены для системы зарядов, движущихся с постоянными скоростями. В силу принципа суперпозиции эти скорости могут иметь различные значения в различных точках пространства. Однако они постоянны. В дальнейшем мы будем предполагать, что уравнения Максвелла справедливы и в том случае, когда заряды движутся с переменной скоростью, Например, таким был резко тормозящий заряд, рассмотренный выше. Другими словами, в правых частях уравнений Максвелла присутствуют только скорости зарядов, создающих поле (в векторе тока), но не их ускорения. Это простейшая форма уравнений, и оправдана она может быть экспериментами.

Часто, следуя историческому пути, уравнения Максвелла записывают, как обобщение множества экспериментальных законов, открытых в 18-19 веках. Затем из уравнений электромагнетизма "получают" теорию относительности. Такой путь вполне приемлем, и любая правильно построенная теория конкретного взаимодействия содержит в себе и общие свойства пространства и времени. Однако в этой книге мы используем обратный путь, так как теория относительности может быть выведена из достаточно общих и простых постулатов. После того, как она построена, можно анализировать частные теории, подобные электродинамике.

Перечислим ещё раз исходные постулаты, лежащие в основе электродинамики:

  • Справедлив закон Кулона для неподвижного заряда .
  • Заряд частицы одинаков для всех наблюдателей .
  • Выполняется принцип суперпозиции: силовые воздействия на пробный заряд со стороны различных зарядов векторно суммируются.
  • Дифференциальные уравнения первого порядка для электромагнитного поля не зависят от ускорений зарядов, создающих это поле.

Естественно, предполагается справедливой и теория относительности.

Можно задать вопрос: "Реальны ли электромагнитные поля?". В принципе, мы можем отказаться от полевого описания заряженных частиц, оперируя только их координатами. Однако уравнения движения, которым должны удовлетворять эти частицы, становятся очень сложными. В частности, чтобы предсказать поведение частиц, нам необходимо знать не только их начальные координаты и скорости, а, вообще говоря, всю предыдущую историю их движения. Действительно, с точки зрения полевого подхода ускоренно движущиеся частицы излучают электромагнитные волны, которые воздействуют на другие частицы. Те, в свою очередь, излучают волны, которые действуют на исходные частицы, и т.д. Таким образом, в данный момент времени в пространстве существует достаточно сложная конфигурация поля, зависящая от всей предыстории, которая в соответствии с силой Лоренца действует на частицы. Поэтому, отказавшись от полей, мы вынуждены будем для силы записать очень замысловатое выражение. Вместо этого считается справедливым простое уравнение движения (сила Лоренца). Для его решения необходимо знать только начальную скорость и положение частицы. Платой служит необходимость задания начальной конфигурации электромагнитного поля во всём пространстве и, для описания его динамики, решение уравнений Максвелла.

Таким образом, чтобы описание взаимодействия заряженных частиц упростилось, необходимо ввести новую сущность - электромагнитное поле. Вся физика, в конечном счёте, строится на основе введения различных модельных сущностей, математическое описание которых позволяет делать некоторые предсказания. Если введение данного объекта приводит к математическому упрощению теории, то можно считать, что эти объекты действительно существуют как самостоятельные сущности. В этом смысле электромагнитное поле так же реально, как и диван, на котором пишутся эти строки.


Преобразования Лоренца для полей << Оглавление (Глава 5) >> Законы сохранения

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии