Что такое симметрия?

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
Произвольно движущийся заряд << Оглавление (Последняя версия в: Глава 6) >> Примеры и определения

Мы говорим, что квадрат — более симметричная фигура, чем прямоугольник, а окружность симметричнее квадрата. Откуда возникают такие ощущения? Крутя в руках осколок плоской плитки или целые плитки различной формы, мы замечаем что после некоторых манипуляций плитка снова совпадает со своей начальной ориентацией. Чтобы первая фигура на рисунке ниже совпала сама с собой её необходимо для этого повернуть на 360 градусов, и других возможностей нет:

Sym1.png

У прямоугольника есть уже больше вариантов. Например, его можно повернуть на 180 или 360 градусов. Для квадрата и круга преобразований начального состояния, приводящих к той же ориентации, ещё больше.

Представим лежащую на столе прозрачную квадратную плитку с цифрами в углах. Рассмотрим элементарные операции которые можно совершить "одним движением", чтобы изменилось положение цифр, но не ориентация плитки. Прежде всего квадрат можно повернуть на 90, 180 и 270 градусов:

Sym squar.png

Кроме этого, плитку из исходного состояния "" можно перевернуть "вверх ногами" вокруг двух осей перпендикулярных сторонам и двух осей проходящих по диагоналям квадрата:

Sym squar2.png

Других возможностей для расположения цифр, при неизменной ориентации квадрата не существует.

Обозначим проделанные манипуляции буквами , , , , , , , используя "" для обозначения операции: "ничего не делаем" (остаёмся в первоначальном состоянии). Такую операцию будем называть единичной. Символ "" — это поворот на 90 градусов, "" — на 180, и т.д.

Операции можно проделывать последовательно. Например, повернуть квадрат на 90 градусов (), а затем на 180 градусов (). Такая комбинированная операция эквивалентна одной — повороту на 270 градусов (). Будем этот факт обозначать следующим образом:

Возможно несколько сложнее проследить, что приводит к . Имеет смысл, вырезав квадрат из бумаги, проделать эти операции руками.

Записывая преобразования друг за другом мы тем самым обозначаем их последовательное выполнение — сначала , затем . В результате получается некоторая новая операция . Такую композицию операций будем называть групповым умножением или просто умножением. На самом деле, умножение операций, это функция двух аргументов (бинарная функция), которая каждому и ставит в соответствие некоторый . Тем не менее эту функцию принято записывать в виде умножения с точкой между операциями () или без неё ().

Функция группового умножения не всегда симметрична. Так, поворот плитки на 90 градусов (), и последующий переворот () эквиваленты одной операции . Проделав эти же действия в обратном порядке — переворот и поворот мы получим . В тоже время , т.е. поворот сначала на 90 градусов, а затем на 180 приводит к такому же результату, как и повороты в обратном порядке. Поэтому, не смотря на привычную алгебраическую запись умножения , необходимо помнить, что и это не числа, а некоторые, вообще говоря, не перестановочные действия.

Единичная операция ("ничего не делаем") выполненная до или после любой операции , по определению, приводит к ней же, поэтому:

Последовательное выполнение некоторых операций может снова приводить к исходному состоянию (единичной операции). Такие операции будем называть обратными друг к другу. Если для существует обратная операция обозначаемая как , то

Например, , поэтому и . Поворот на 180 обратен сам к себе , поэтому . Аналогично, сами себе обратны операции по переворачиванию плитки , , , . Обратную операцию иногда также обозначают при помощи черты сверху .

Для любых преобразований выполняется свойство ассоциативности:

В математике очень многие действия с двумя объектами (бинарные функции) обладают ассоциативностью, например, умножение или сложение чисел, умножение матриц и т.п. Хотя существуют и неассоциативные функции. Простейший пример — это возведение в степень , для которой . Тем не менее композиция преобразований ассоциативна. Действительно, означает, что сначала выполняют , затем и на результат воздействуют операцией . Вторая возможность состоит в том, что сначала выполняется , затем находят композицию преобразований и её применяют к результату преобразования . Понятно, что это просто эквивалентно последовательности действий .

Благодаря ассоциативности можно опускать скобки при записи произвольного числа "сомножителей". Часто мы будем использовать сокращение или , обращаясь со степенями "как обычно". В частности . Поэтому, если , то этот "" будет с "" перестановочен: .

Именно наличие свойства ассоциативности у функции групповой композиции привело к термину "групповое умножение" и к обозначению .

Геометрические симметрии наглядны, так как заложены в нашем восприятии пространства. Однако симметрии могут быть не только геометрическими. Определим, например, функцию от 3-х переменных:

В качестве преобразования рассмотрим операцию по перестановке аргументов функции местами. Например, по любой паре аргументов функция антисимметрична . Однако существуют перестановки (операции) которые не изменяют значение функции:

Не сложно видеть, что это циклические перестановки аргументов вправо и влево от являющегося исходным порядком. Их можно выполнять последовательно:

Видно, что операции и обратны друг другу, и их можно выполнять в любом порядка (групповое умножение симметрично).

Симметричными могут быть уравнения. Рассмотрим систему частиц расположенных на прямой и взаимодействующих друг с другом при помощи парных сил, зависящих только от расстояния между частицами:

Эти динамические уравнения Ньютона записаны в фиксированной системе отсчёта относительно которой заданы координаты. Рассмотрим другую систему отсчета, которая движется относительно первой с постоянной скоростью . Если при начала систем совпадали, то связь координат в них имеет вид: (стр.\,\pageref{Group_Gal_simple}). Несложно проверить (\,H), что в движущейся системе отсчёта уравнения движения будут выглядеть точно также. Это преобразование симметрии уравнений является преобразованием Галилея.

Последовательность преобразований Галилея (переход сначала к системе движущейся со скоростью , а затем к со скоростью ) эквивалентно движению со скоростью :

Преобразование можно записать в операторном виде, действуя оператором на справа:

тогда композиция выражается в виде группового умножения, с "правильной" последовательностью операторов:

Обратное преобразование получается обращением скорости:

Ассоциативность группового умножения очевидна в силу операторного характера действия . Заметим, что в отличие от предыдущих двух симметрий — это симметрия непрерывная, так как преобразования различаются при помощи "непрерывного индекса" — скорости .

Подведём итоги.
Симметрия — это набор операций по преобразованию системы, которые эту систему или часть её свойств оставляют неизменной.
Математический аппарат, описывающий подобные операции называется теорией групп. Рассмотрим её чуть более формально.

Группа — это множество элементов на котором задана всюду определённая бинарная функция обладающая ассоциативностью; существует единичный элемент , и каждый элемент имеет обратный:

Количество элементов множества называется порядком группы. Группы могут быть конечными или бесконечными.

Бесконечные группы, в свою очередь, бывают дискретными или непрерывными. Рассмотренная выше группа преобразований квадрата или функции — это конечные группы. На множестве целых чисел , мы имеем бесконечную дискретную группу с умножением в виде обычного арифметического сложения и нулём в качестве единичного элемента. Обратными при этом будут одинаковые по модулю и разные по знаку числа. Преобразование Галлилея является бесконечной непрерывной группой.

Для конечных групп закон группового умножения удобно представлять в виде таблицы умножения. Например, пусть множество состоит из 6 элементов , из которых считается единичным. Чтобы задать функцию умножения необходимо перечислить значений. Представим в табличном виде два варианта группового умножения:

Sym tbl01.png

В заголовках строчек (по вертикали) стоят имена первого сомножителя, в заголовках колонок (по горизонтали) — второго. На пересечении строки и колонки находится значение их произведения. В : , , и т.д. Если результатом оказывается единичный элемент, то вместо "" стоит жирная точка, позволяющая легко находить в таблице обратные элементы. В рамку мы обводим часть таблицы умножения не единичных элементов. Приведенные выше группы и имеют порядок 6.

Для элементов возможно таблиц умножения (бинарных функций). С ростом количество бинарных функций стремительно растет. Однако очень немногие из них удовлетворяют групповым аксиомам. Так при возможно таблиц, но только 2 из них будет группами!

В общем случае симметричность (коммутативность) умножения не предполагается: . Группы с коммутирующим умножением называются абелевыми. Группа — абелева. Группа — неабелева: . Полугруппой называется всюду определённое ассоциативное умножение (наличие "" и "" не предполагается).

Благодаря существованию единичного и обратных элементов, все группы являются регулярными. Это означает, что из следует, что (регулярность слева). Чтобы в этом убедиться, достаточно умножить уравнение слева на и, благодаря ассоциативности, получить . Аналогично, следует из (регулярность справа). Поэтому в групповых таблицах умножения в любой строке или колонке ни какой элемент не встречается дважды. Действительно, для строки с заголовком и различными колонками и элементы и стоящие на их пересечениях должны различаться.

Единичный элемент в группе всегда один. Докажем это. Если единичных элементов два: и , то по определению "единичности" , его умножение на даст . Это же соотношение, по определению "единичности" , должно дать . От сюда следует, что .

Каждый имеет только один обратный ему элемент. Если бы у было два обратных и , то умножая слева на , получим:

Поэтому в каждой строке, и в каждом столбце таблицы умножения должна стоять только одна точка (единичный элемент).

Если и не равны единичному, то их произведение не может быть равно или . В противном случае, умножая, например, слева на получим . Поэтому в строке или колонке соответствующих некоторому элементу , он сам стоять не может, и находится только в заголовке (см. таблицы для , ). В результате, каждая строчка и колонка таблицы, включая их заголовки, является некоторой перестановкой элементов группы.

Что бы найти элемент обратный произведению двух элементов, достаточно перемножить в обратном порядке обратные к ним элементы:

Действительно, используя ассоциативность, имеем:

Аналогичное правило справедливо и для произведения нескольких элементов: , и т.д.

Таблицы умножения — не единственный способ задания группы. Иногда оказывается, что один или несколько элементов перемножаясь, порождают все остальные элементы группы. Такие элементы называются системой порождающих элементов. Минимальное количество независимых элементов, необходимых для задания всей таблицы умножения называется рангом группы. При помощи порождающих элементов группа записывается в виде угловых скобок, внутри которых до вертикальной черты перечисляются все порождающие элементы (кроме единичного), а после — определяющие соотношения, т.е. правила которые необходимо учитывать при порождении других элементов:

Так, означает, что умножение элемента самого на себя: , , и т.д. будет приводить к новым элементам, пока мы не сделаем это шесть раз: , получив единичный элемент. Группа замыкается, состоит из 6-ти элементов, имеющих (в обозначениях таблицы на стр.\,\pageref{group_def_axioms}) вид: .

Алгебра определяющих соотношений для работает следующим образом. Единичный элемент "" и два порождающих элемента и дают 6 элементов:

Другие элементы можно было бы получать перемножением . Однако определяющие соотношения блокируют эту деятельность. Например, , . Несколько сложнее:

Порядком элемента называется такое наименьшее число , что . Из уравнения следует, что (умножаем слева на ). Поэтому, не может быть такой ситуации, при которой, порождая новые элементы , мы получим не достигнув единичного (цикличность через себя же). В результате, каждый элемент конечной группы имеет конечный порядок , меньший чем порядок самой группы . Понятно, что при этом .

Целое число всегда можно записать в виде , где и целые числа. Поэтому . Отсюда следует, что порядок элемента является делителем порядка группы.

Группа имеет порядок 6: . Порядок её двух независимых порождающих элементов равны 3 () и 2 ().

Одна и та же группа в конкретных приложениях может иметь различные реализации, которые называют представлениями группы. Рассмотрим, например, множество из четырех элементов на котором зададим групповую таблицу умножения (слева):

Sym tbl02.png

Эта таблица определяет абстрактную абелеву () группу, так как она симметрична относительно главной диагонали (из левого верхнего угла в правый нижний). Её элементам можно придать различный содержательный смысл. Пусть, например , где 1, — обычные числа, — мнимая единица, а — её комплексное сопряжение. Групповое умножение в этом случае — это умножение комплексных чисел (вторая таблица выше).

Другое представление можно построить, считая элементы группы целыми числами . Групповая операция умножения удовлетворяющая таблице имеет вид:

где плюс — обычное арифметическое сложение, а "" — операция получения остатка от деления на 4.

Группа имеет также матричное представление:

Перемножение этих матриц приводит к той же групповой таблице.

Наконец, для группы справедливо геометрическое представление, состоящее из рассмотренных ранее поворотов квадрата вокруг центра, без отражений вокруг осей:

Sym squar3.png

Композиция поворотов снова формирует групповую таблицу .

Развитие теории групп обычно идёт по двум направлениям. Во первых, ищут закономерности в структуре таблиц умножения, на основе которых проводится классификация абстрактных групп. Во вторых, изучаются различные представления групп и следствия, которые возникают из их существования для конкретных теорий.


Произвольно движущийся заряд << Оглавление (Последняя версия в: Глава 6) >> Примеры и определения

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии