Франк Роте 1911 VII

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск

О преобразовании пространственно-временных координат из неподвижных систем в движущиеся

Филипп Франк и Герман Роте

Ann. der Physik, Ser. 4, Vol. 34, No. 5, 1911, pp. 825—855


Части: Введение - I - II - III - IV - V - VI - VII -


VII

21. Приступим теперь к тому, чтобы применить постулат из введения и проверить, какие из групп преобразований, полученных с помощью уравнений (93) и (117), приводят к сокращению , являющемуся четной функцией скорости , т.е. не выделяют ни одно из направлений оси .

Для этого безусловно необходимо и достаточно, чтобы производные нечетного порядка функции исчезли в точке . В частности, имеем:

(118)

Таким образом, вычислим величины , , , .

Первые две получаем, используя уравнения (112) и (113); остальные проще всего получить путем повторного дифференцирования уравнения (114). Если наряду с этим мы положим , то получим:

(119)
(120)

Отсюда следует, что:

(121)
(122)

Из первого уравнения в (118) в сочетании с уравнением (113) следует:

(123)

и в сочетании с (123):

(124)

Итак, уравнения (123) и (124) обязательно должны выполняться, для того, чтобы уравнения преобразования приводили к сокращению, удовлетворяющему постулату . Мы вскоре увидим, что существования уравнений (123) и (124) также и достаточно для этого.

22. А именно, в соответствии с уравнением (124) получаем три случая:

(125a)
(125b)
(125c)

Каждой из этих возможностей соответствует определенный вид уравнений преобразования, удовлетворяющий нашим постулатам и .

Как можно увидеть из уравнения (93) в учетом с (117) и (117a), первый случай приводит к группе преобразований Галилея; второй случай, как видно из уравнений (93) в сочетании с (117) и (117b), ведет к преобразованиям Лоренца.

23. Третий подслучай, однако, ведет к пока ещё не рассмотренной группе. Из уравнения (117) в сочетании с (123) и (125c) следует:

(126)

а из уравнения (93):

(127)

Выделенные скорости имеют значения:

(128)

так как это корни квадратного уравнения (54) в случае, если его коэффициенты удовлетворяют условиям (76), (123) и (125c). Уравнения преобразования можно в таком случае записать следующим образом:

(129)

Представленную с помощью этого преобразования синхронизацию часов можно интерпретировать физически аналогично тому, как это делал Эйнштейн [1] в случае преобразований Лоренца.

Предположим, что в момент времени из начала координат выходит луч света в положительном направлении и распространяется со скоростью . Если тело двигается со скоростью , то скорость света по отношению к этому телу будет (в покоящейся система). Если мы хотим, чтобы скорость луча света по отношению к двигающемуся телу была равна , этого можно достигнуть путем изменения скорости хода часов в отношении к . Таким образом, мы вводим для двигающегося тела время , такое что:

то есть получаемое из первого уравнения (129). Такое регулирование времени соответствует принципу Доплера, и поэтому мы будем называть уравнения (129) преобразованиями Доплера.

Преобразование Доплера весьма существенно отличается от преобразования Лоренца тем, что в двигающейся со скоростью системе время во всех пространственных точках одно и то же. Не существует местного времени, и что ещё важнее, если мы произведем регулирование распространяющихся в положительном направлении оси лучей света так, чтобы они имели одну и ту же скорость для всех двигающихся систем (мы предполагаем здесь ), то скорость распространения лучей света, которые распространяются в отрицательном направлении со скоростью по отношению к системе в состоянии покоя, будет разной по отношению к различным двигающимся телам.

Из того, что — выделенная скорость, не следует, что тоже является таковой. Согласно уравнению (128), это следовало бы только для , т.е. . Однако в таком случае мы имеем дело с преобразованием Галилея.

С другой стороны, для преобразования Лоренца, как следует из уравнения (56) вместе с (76), (123) и (125b), мы имеем:

ср. также уравнение (89).

Таким образом, мы можем подытожить наше исследованияе следующим образом:

Среди всех уравнений преобразования, соответствующих однопараметрическим линейным однородным группам, существует три типа, в которых величина сокращения не зависит от направления движения в абсолютном пространстве. Среди них только один тип имеет своим следствием фактическое сжатие длин, а именно — преобразование Лоренца [уравнение (1)]. Оба других типа (преобразования Галилея и Доплера) [уравнения (2) и (129) соответственно] оставляют длины неизменными. При преобразовании Лоренца скорость света во всех двигающихся системах при любом направлении распространения имеет одно и то же конечное значение . В преобразовании Доплера, однако, это верно только при распространении в одном направлении; для преобразования Галилея — только если скорость света является бесконечной.

13 января 1911г., Вена

поступила 15 января 1911г.

Примечания

  1. А. Эйнштейн, [6] Анналы физики, 17, с. 891, 1905.

Части: Введение - I - II - III - IV - V - VI - VII -


Перевод

(c) Synset.com - Артамонова Алла


Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии