Франк Роте 1911 II

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск

О преобразовании пространственно-временных координат из неподвижных систем в движущиеся

Филипп Франк и Герман Роте

Ann. der Physik, Ser. 4, Vol. 34, No. 5, 1911, pp. 825—855


Части: Введение - I - II - III - IV - V - VI - VII -


II

7. Теперь выберем систему координат , состоящую из одной неподвижной прямой — оси и неподвижной точки — начала координат. На оси представим неподвижную шкалу с началом отсчета в точке и часы, размещенные в каждой точке шкалы. Затем рассмотрим движение материальной точки вдоль оси так, что каждому ее положению соответствует определённая пара значений , то есть определённое положение стрелок тех часов, которые находятся в точке оси, с которой совпадает точка , и определённое деление шкалы. Любое такое движение представляется в виде уравнения (25), и скорость тогда задается с помощью первого из уравнений (27).

Если мы рассмотрим величины как координаты точки в плоскости , то каждому положению соответствует определенная точка , которая называется относящейся к этому положению пространственно-временной точкой; назовем пространственно-временными координатами, измеренными в системе . Всё движение точки представляется непрерывной последовательностью пространственно-временных координат, т.е. кривой , уравнение которой — уравнение (25), и которая называется мировой линией этого движения. Скорость в момент времени равна коэффициенту наклона касательной мировой линии в пространственно-временной точке . Мировая линия, соответствующая равномерному движению точки , является прямой.

8. Наряду с системой , мы рассмотрим на той же прямой ещё одно бесконечное множество других систем (т.е. других измерений длины и времени), каждое из которых связано с определённым значением параметра таким образом, что разным значениям соответствуют разные системы .

Любая пространственно-временная точка с пространственно-временными координатами в системе , должна также иметь определенные пространственно-временные координаты в каждой из систем , которые зависят только от и ; т. е. пространственно-временные координаты и точки в системах и должны быть связанными посредством уравнений вида (6). Величины называются shape измеренными в системе пространственно-временными координатами точки . Таким образом, соответственно бесконечному количеству пространственно-временных точек, существует бесконечное количество пар значений , которые соответствуют бесконечному числу значений параметра . Эти пары могут быть получены из через однопараметрическое множество преобразований (6) [1].

Если мы выполним одно за другим два преобразования множества так, что с помощью уравнений преобразования (6) от одной системы перейдем ко второй системе , а от нее — снова с помощью уравнений (7) — к третьей системе , то произведение обоих преобразований, т.е. преобразование (8), которое непосредственно дает переход от к , должно тоже принадлежать множеству . Это значит, что множество должно обладать групповым свойством.

Далее допустим, что среди систем встречается сама изначальная система . Тогда, если с ней связано значение параметра , то уравнения (6) при должны превращаться в уравнения (15), т.е. множество должно содержать тождественное преобразование.

Наконец, предположим, что во множестве для каждого преобразования имеется обратное, то есть для каждого значения параметра существует другое, , такое, что и удовлетворяют уравнению (18). Тогда преобразования множества образуют однопараметрическую группу , и мы можем три вышеуказанных допущения свести в одно, предположив, что:

shape Преобразования (6), которые описывают переход от пространственно-временных координат , измеренных в изначальной системе , к пространственно-временным координатам , измеренным в системе , образуют однопараметрическую группу с параметром .

9. Для дальнейшего уточнения определения группы , сделаем теперь следующие дополнительные допущения:

А. Всякое движение материальной точки , которое в отношении неподвижной системы является равномерным, должно также быть равномерным в отношении каждой из двигающихся систем . Следовательно, если мировая линия движения точки является прямой в , то мировая линия этого движения в системе должна также быть прямой; т.е. преобразования группы должны иметь такие свойства, чтобы преобразовывать прямую снова в прямую.

Однако, единственные преобразования этого вида являются проективными [2], т.е. такими, уравнения которых (6) имеют следующий специальный вид:

(38)

Итак, группа определяется как однопараметрическая проективная группа.

В. Всякая пространственно-временная точка, имеющая конечные координаты в отношении системы , должна также иметь конечные координаты в отношении любой системы . Отсюда следует [5] [3], что в уравнениях (38) должно быть:

(39)

Если мы обозначим

(40)

через , то (38) принимают вид:

(41)

Преобразования (41) оставляют бесконечно удаленную прямую из плоскости инвариантной и являются аффинными. Группа , таким образом, называется аффинной или общей линейной.

С. Наконец, точка начала отсчета пространственно-временных измерений должна оставаться той же самой во всех системах, т. е. из

всегда должно следовать

Тогда должно выполняться:

(42)

так что уравнения (41) переходят в следующие:

(43)

Таким образом, являются линейными однородными функциями с коэффициентами, которые являются функциями только параметра . Группа определяется теперь как однопараметрическая, линейная однородная, и ее преобразования оставляют бесконечно удаленную прямую из плоскости и саму точку начала отсчета инвариантными [4]. Очевидно, что коэффициенты здесь не могут быть выбраны произвольно, а должны удовлетворять определенным условиям, чтобы преобразования составляли группу. В последующих разделах мы займемся определением вида этих коэффициентов.

Примечания

  1. Окончание раздела II с этого момента не является необходимым для понимания хода мыслей работы и служит только для разъяснения нашего постулата А.
  2. С. Ли, Г. Шефферс, [5] стр.32. Теорема 2.
  3. С. Ли, Г. Шефферс, [5], стр. 57-58. Положение 11.
  4. С. Ли, Г. Шефферс, [5], с. 134.

Части: Введение - I - II - III - IV - V - VI - VII -


Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии