Несмотря на простой вид, стохастические уравнения (2.4) аналитически интегрировать не так и просто из-за винеровского члена . Это явно видно в случае конечной численной реализации (2.5). Каждое последовательное в итерационной процедуре нелинейным образом зависит от всех предыдущих случайных чисел ( C). Тем не менее, рассмотрим ситуации, в которых можно получить точные решения.
Пусть в процессе Ито функции сноса и волатильности зависят только от времени. Обозначим их через и :
|
(2.17)
|
Это уравнение легко интегрируется при помощи "дискретной" интерпретации стохастического члена . Рассмотрим итерации, выполняемые по разностной схеме (2.5):
где и . После итераций итоговое значение будет равно:
Скобки в последнем слагаемом содержат сумму независимых гауссовых чисел, каждое из которых имеет волатильность . В результате получается гауссово число с волатильностью . Поэтому, переходя к непрерывному пределу, получаем ( H):
|
(2.18)
|
Решение (2.18) уравнения (2.17) говорит нам, что является нормально распределённым случайным числом со средним и дисперсией, зависящими от времени. Если — не константа, то будущая неопределённость в значении может увеличиваться уже не как , а по другому закону.
Соотношение (2.18) позволяет легко вычислить статистические свойства процесса, в частности, его среднее и волатильность .
Одномерное уравнение Ито для процесса, имеющего произвольный снос и волатильность
|
(2.19)
|
заменой иногда можно свести к частному случаю (2.17), для которого решение уже известно. Воспользуемся леммой Ито:
|
(2.20)
|
Подберем таким образом, чтобы множители при и в (2.20) оказались функциями и , зависящими только от времени:
|
(2.21)
|
где вместо в множитель при подставлено первое уравнение (2.21) и его производная по ( H). Возьмём частные производные первого уравнения (2.21) по и второго по . Вычитая их, мы придём к условию совместности:
|
(2.22)
|
Если при данных и можно подобрать такую функцию , при которой уравнение (2.22) обратится в тождество, то мы получим решение стохастического уравнения (2.19) в следующей неявной форме:
|
(2.23)
|
где функция определяется вторым соотношением (2.21), а находится из первого уравнения (2.21) ( C).
Решение (2.23) — это нестационарный гауссовый процесс для деформации при помощи нелинейной функции . Естественно, что разрешимость (2.22) позволяет интегрировать уравнение Ито только в ряде частных случаев. Однако, как мы увидим ниже, эти случаи охватывают достаточно широкий класс важных для практических приложений процессов.
Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения