Скорость

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
Преобразования Лоренца << Оглавление (Глава 1) >> Аксиоматика Эйнштейна

Рассмотрим две инерциальные системы отсчёта и . Пусть их оси и направлены параллельно друг к другу относительной скорости. Скорость системы относительно равна , а скорость относительно , соответственно, "":

Kinematic u.png

Ключевым понятием кинематики является событие. Предполагается, что оно имеет сколь угодно малые длительность и локализацию в пространстве. Событие характеризуется положением и моментом времени . Наблюдатели в каждой системе отсчета регистрируют подобное событие по своим приборам, получая значения для и для . Напомним, что наблюдатели способны проводить измерения только в своей непосредственной окрестности. Поэтому каждую систему отсчета мы представляем "заполненной" такими наблюдателями. Данное событие регистрируют два наблюдателя в и , которые находятся в том месте, где произошло событие. Благодаря процедурам синхронизации и согласования единиц времени полученные ими наблюдения будут непротиворечиво восприняты и другими собратьями из их систем отсчета. Стоит помнить, что эффекты теории относительности проявляются при больших скоростях, и для получения заметных отличий от классической кинематики часто потребуется изучать большие расстояния. Поэтому введение множества наблюдателей оказывается достаточно полезным.

Обычно представляет интерес сравнение наблюдений не единичного события, а некоторого процесса. Будем считать, что процесс состоит из двух последовательных событий: его начала в момент времени (в системе ) и конца в момент . Соответственно, его локализация в пространстве также характеризуется двумя точками и . Интервал времени между событиями и разности координат равны:

Для каждого из этих двух событий можно записать преобразования Лоренца и вычесть их друг из друга.

В силу линейности преобразований и постоянства скорости для приращений справедливы преобразования лоренцевского вида:

(1.13)

Часто мы будем записывать все соотношения для 2-мерного пространства , помня, что в силу симметрии связь проекций векторов на ось будет такой же, как и на ось .

Рассмотрим движущийся объект. Можно измерить его положение, т.е. координаты в момент времени , а затем положение в момент времени . По определению проекции его скорости в системе равны

и, аналогично, со штрихами в . Если скорость объекта постоянна, то величина интервала времени роли не играет. Для движения с переменной скоростью предполагается, что сколь угодно мал (производная координаты по времени).

Из преобразований для приращений (1.13) несложно найти связь между скоростями объекта для наблюдателей в системе и :

(1.14)

Обратные преобразования скорости получаются прямыми вычислениями. Впрочем, в силу эквивалентности инерциальных систем отсчета можно сразу изменить знак у скорости и переставить местами штрихованные и нештрихованные величины:

(1.15)

Если, например, мы стоим на перроне и — это скорость мухи относительно поезда, который движется со скоростью , то скорость мухи относительно нас будет складываться из движения поезда и движения мухи. В классической механике это сложение имеет вид:

В теории относительности подобные соотношения — лишь некоторое приближение, справедливое до тех пор, пока скорости поезда и мухи много меньше фундаментальной скорости . Чем быстрее движется муха или поезд, тем сильнее "сложение" их скоростей (1.15) отличается от классического.

Попрактикуемся в восстановлении фундаментальной константы . Для всех скоростей необходимо сделать замену , поэтому преобразование скоростей, например, вдоль оси принимает вид:

Рассмотрим объект, движущийся вдоль оси с фундаментальной скоростью . Тогда в другой системе его скорость будет равна:

Таким образом, объект, движущийся со скоростью, равной "", в одной системе отсчета, будет иметь ту же скорость и в любой другой системе. Поэтому "" можно также назвать инвариантной скоростью.

При помощи преобразований (1.14) несложно ( H) проверить, что квадрат длины скорости преобразуется следующим образом:

(1.16)

где — проекция скорости объекта на скорость системы . Если в одной системе отсчета объект движется в произвольном направлении с фундаментальной скоростью , то и в другой инерциальной системе , поэтому "" является инвариантной скоростью независимо от её направления.

Подобная инвариантность обычно в качестве постулата используется при выводе преобразований Лоренца (см. следующий раздел). Однако это, на самом деле, следствие теории относительности, причем одно из наиболее необычных и непривычных для нашего обыденного опыта.

Запишем при помощи векторных преобразований Лоренца (1.12), стр. \pageref{lorenz_vec0}, преобразование для скорости также в векторном виде. Разделив на , получаем:

(1.17)

При помощи двойного векторного произведения (тождество "бац минус цаб", стр.\pageref{abc_bac_cab}) это преобразование можно переписать в таком виде:

(1.18)

Если скорость системы отсчёта параллельна скорости тела, то произведение и (1.18) совпадает с одномерным преобразованием скорости вдоль оси (1.14).

Фундаментальная инвариантная скорость "" является также предельно возможной скоростью движения "материального" объекта. В самом деле, пусть наблюдатель в системе создаёт своего клона и отправляет его в полет со скоростью (система ). Первый клон создает второго и "отправляет" его с той же скоростью относительно себя (система ), и т.д. до бесконечности. В классической физике -тый клон относительно системы имел бы скорость , которая при также стремилась бы к бесконечности. В релятивистском мире скорость -того и -го клонов относительно системы отсчета связаны следующим образом:

Vel1.png

Если протабулировать это соотношение, начиная с , , то получится график, приведенный на рисунке справа. Скорость при стремится к . Хотя постоянно увеличивается, относительно наблюдателя в каждая добавка становится всё меньше. При можно положить и получить асимптотическое значение, не зависящее от : откуда

Найдём явную зависимость от . Закон сложения скоростей (1.15) можно записать следующим образом:

Вводя гиперболический арктангенс (стр. \pageref{m_hyperbol}), имеем:

Поэтому , или:

Понятно, что при , . Формула сложения скоростей, записанная при помощи гиперболического арктангенса, имеет важный геометрический смысл, который мы обсудим при рассмотрении пространства Лобачевского (стр. \pageref{sec_spher_geometr}).

Кроме рассмотренного мысленного эксперимента с клонами, существуют также веские энергетические причины предельности скорости "", которые будут рассмотрены чуть позже.

При помощи преобразований (1.13) несложно ( H) проверить, что для любых двух событий следующая комбинация приращений имеет одинаковое значение для наблюдателей из различных инерциальных систем отсчета:

Величина называется интервалом между событиями и является инвариантом преобразований Лоренца.

Если в некоторой точке произошла вспышка света, распространяющаяся в виде сферической волны (в плоскости — окружность) со скоростью , то за время её радиус станет равным :

Light sphere.png

Следовательно, , и такие интервалы называются светоподобными. Светоподобные интервалы возникают между событиями, которые можно связать распространяющимся с фундаментальной скоростью сигналом. Светоподобный интервал равен нулю для всех наблюдателей. Поэтому сферическая световая волна будет выглядеть сферической из любой инерциальной системы отсчета.

Если , то интервал называется времениподобным. В частности, если , то равен времени , прошедшему на неподвижных в данной системе часах. События, связанные времениподобными интервалами, могут быть соединены сигналом, распространяющимся со скоростью , меньшей единицы ():

где — квадрат скорости перемещения на , за время . Естественно, свойство времениподобности интервала является инвариантным свойством для всех наблюдателей.

Наконец, если , то интервал называется пространственноподобным. Два события, для которых , нельзя связать световыми сигналами или "обычными" частицами, имеющими скорость меньше фундаментальной.

Инвариантность интервала имеет глубокий геометрический смысл. Величина является расстоянием в псевдоевклидовом 4-мерном пространстве - времени. Подробнее геометрические аспекты теории относительности мы рассмотрим в следующей главе, а сейчас сделаем ещё несколько замечаний общего характера.

Объект, летящий со скоростью, сколь угодно близкой к фундаментальной скорости "", качественно отличается от объектов, имеющих в точности скорость "". Например, преобразования Лоренца при обращаются в бесконечность. Это приводит к тому, что с объектами, имеющими скорость "", нельзя связать инерциальную систему отсчета, наполненную наблюдателями, часами и линейками.

Наш мир вполне мог быть устроен так, что в нем вообще бы отсутствовали объекты, способные двигаться со скоростью "". На самом деле, это было бы более естественным. В таком мире "" являлась бы предельной, но недостижимой никаким объектом скоростью.

Однако, по-видимому, наш мир устроен иначе, и в нем существуют принципиально отличные от остальных объектов сущности, движущиеся с фундаментальной скоростью. Их самым важным представителем является свет. Он дает нам возможность изучать удалённые предметы, а благодаря свету, испускаемому Солнцем, существует жизнь на нашей планете. При высокой энергии мы воспринимаем свет, как частицы (фотоны), а при малой — как волны (электромагнитное излучение).

Кроме света, могут существовать и другие сущности, движущиеся с фундаментальной скоростью. Например, до сих пор надежно не установлено, есть ли у нейтрино масса, и вполне вероятно, что это тоже "светоподобный" объект. Со скоростью света, по всей видимости, распространяется гравитационное взаимодействие, и т.д.

Принципиальное отличие светоподобных объектов от "обычных" в том, что, один раз родившись такими, они так и проживают всю свою "жизнь". Их нельзя, не уничтожив, затормозить и остановить. Они не меняют свою скорость. Речь, конечно, идет о движении в вакууме. В веществе скорость света становится меньше. Однако фактически эта скорость является усреднением скорости различных фотонов, переизлучаемых ("с задержкой") атомами вещества. Между атомами фотон движется со скоростью . "Неквантовая" картина того же процесса строится на основе суммирования множества вторичных волн, возникающих при колебании заряженных частиц вещества электромагнитной волной.

Раз возможны светоподобные объекты, качественно отличающиеся от обычных, то можно допустить и существование тахионов. Тахион — это объект, способный двигаться быстрее фундаментальной скорости "". В принципе, как и свет, один раз таким родившись, тахион остаётся тахионом все время. Его скорость может приближаться к скорости "" сверху, никогда её не достигая. Допущение существования тахионов приводит к очень необычным следствиям, и мы их пока рассматривать не будем.


Преобразования Лоренца << Оглавление (Глава 1) >> Принцип параметрической неполноты

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии