Сила

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
Космические полёты << Оглавление (Глава 3) >> Решения динамических уравнений

Рассмотрим движение частицы под воздействием внешней, не зависящей от времени силы. В классической физике для предсказания траектории частицы достаточно знать её положение и скорость в начальный момент времени. Если траектория является гладкой (дифференцируемой) функцией времени, то с математической точки зрения это означает, что уравнения движения должны быть дифференциальными уравнениями второго порядка:

где точка над вектором означает производную по времени. Знание уравнений движения, начальных значений скорости и положения объекта позволяет предсказать его траекторию. Естественно, для этого необходим явный вид уравнений, которые обычно получаются на основе эмпирических наблюдений. Например, при движении небольшого ("пробного") заряда в окрестности неподвижного заряда выполняется закон Кулона:

В левой части уравнения находится производная релятивистского импульса . Векторная функция координат в правой части называется силой. Таким образом, по определению сила равна скорости изменения импульса объекта:

(EQN)
где . Можно было бы определить силу, как или . Однако в этом случае эмпирическое выражение для кулоновского уравнения движения привело бы к тому, что сила оказалась зависящей не только от положения пробного заряда, но и от его скорости и, что совсем нехорошо, — от ускорения.
Поэтому определение () выбрано таким образом, чтобы вектор силы, приводящий к эмпирическим уравнениям движения, выглядел наиболее просто.
Отдельный вопрос, почему "простота" возникает, если сила равна производной импульса? Оставляя этот вопрос пока без ответа, примем () как определение и рассмотрим некоторые общие свойства динамики, не зависящие от явного вида взаимодействия .

Скалярное произведение силы на скорость равно изменению энергии движения частицы:

(EQN)

Кроме прямой проверки, эту формулу легко получить дифференцированием связи энергии, импульса и массы с последующей подстановкой .

Найдём ускорение пробного тела:

(EQN)

Такое представление не содержит в явном виде массу частицы, поэтому применимо и для безмассовых объектов, например, фотонов. Как известно, в гравитационном поле траектория света отклоняется от прямой линии. Смещение положения звёзд, видимых в момент затмения Солнца возле края его поверхности (относительно их положения в отсутствие Солнца), стало триумфом теории гравитации Эйнштейна:

Edington.png

В последней этот эффект связан с кривизной четырёхмерного пространства и времени. Однако если сила гравитационного притяжения зависит не от массы частицы , а от её энергии , подобные искривления траектории можно достаточно просто описать в рамках плоского пространства. Подробнее мы рассмотрим эти вопросы во второй части книги.

При помощи () можно записать изменение со временем квадрата скорости:

Такое уравнение движения приводит к тому, что при приближении скорости к скорости света её модуль перестаёт изменяться, так как множитель "замораживает" динамику. В частности, "светоподобные" объекты, имеющие изначально единичный модуль скорости , не меняют этого значения. Хотя, конечно, они могут изменить направление скорости под воздействием силы (если она зависит, например, от энергии объекта ).

Найдём общее выражение для силы, согласующееся с законами сохранения энергии и момента импульса. Пусть вокруг неподвижного, "точечного" источника силы пространство изотропно. В этом случае сила, действующая на пробную частицу, может зависеть только от вектора расстояния от центра поля и скорости пробной частицы :

где — скалярные функции, которые могут зависеть от расстояния до источника силы , модуля скорости и скалярного произведения . Множитель при функции выбран для удобства.

При наличии такого силового воздействия может сохраняться (не меняться во времени) скалярная функция координат и скорости, называемая полной энергией. Простейший выбор такой функции соответствует классической сумме энергии движения и потенциальной энергии :

Учитывая (), возьмём производную полной энергии по времени:

Из этого уравнения следует, что . Видно, что на сохранение полной энергии пробной частицы не оказывает влияние компонента силы , перпендикулярная скорости. Итак, энергия сохраняется, если сила имеет следующий вид:

(EQN)

где для компактности мы воспользовались формулой "бац минус цаб": . Вторая и третья компоненты силы всегда остаются перпендикулярными скорости, поэтому, изменяя её направление, не изменяют абсолютную величину (т.е. энергию).

Заметим, что полная энергия может и не быть суммой энергии движения и потенциального воздействия . В качестве упражнения предлагается проверить, что следующая величина:

сохраняется, если сила имеет вид:

(EQN)

Отличие () от силы (), приводящей к аддитивному закону сохранения энергии, состоит в появлении энергии движения , зависящей от скорости в первом слагаемом.

Кроме полной энергии, может также сохраняться момент импульса , перпендикулярный скорости и радиус-вектору . Благодаря этому траектория частицы всегда остаётся в одной плоскости, проходящей через начальные значения векторов и . Классическая формула в релятивистском случае может быть обобщена различным образом. Наиболее простое выражение для момента

сохраняется

только, если (векторы , в общем случае имеют произвольное направление, а им перпендикулярен).

Однако это не означает, что нельзя построить соответствующий интеграл движения при . Несложно видеть, что вектор в выражениях (), () остаётся в плоскости (, ), не выводя из неё траекторию движения частицы (в отличие от третьей компоненты силы ). Поэтому при наличии сохраняется следующая величина:

где — некоторая функция энергии движения. Действительно, например, для () c уравнение:

выполняется, если

В наиболее простом случае линейной зависимости от энергии "модифицированный момент импульса" сохраняется (движение происходит в плоскости) для следующей силы:

Общий множитель возникает для мультипликативной полной энергии и отсутствует в случае аддитивной полной энергии. Для гравитационного взаимодействия при малых скоростях это выражение должно переходить в закон гравитации Ньютона, поэтому . Как мы увидим во второй части, такая сила в первом приближении по приводит к таким же выражениям для смещения перигелия Меркурия и отклонения света, как и теория гравитации Эйнштейна.

Найдём теперь, как связаны векторы силы для наблюдателей в двух инерциальных системах отсчёта. Для этого запишем преобразования Лоренца (см. стр. \pageref{lorenz_vec0}) для интервала времени между двумя последовательными положениями объекта в пространстве:

где — относительная скорость систем отсчёта, а — скорость объекта. Используя формулу для преобразования квадратов скорости (), стр. \pageref{transf_u2}:

(EQN)

это соотношение можно переписать в более симметричном виде:

(EQN)

В левой и правой части стоит одно выражение, записанное с точки зрения каждой инерциальной системы. Поэтому его называют инвариантом преобразований. В данном случае это бесконечно малое собственное время объекта , одинаковое для обеих систем отсчёта и . Действительно, если часы движутся со скоростью , то прошедшее на них время относительно системы отсчёта равно (см. стр \pageref{time_delay}). Эту же формулу можно записать и для системы , поставив в правой части штрихованную скорость и время. В левой же части в обоих случаях стоит одна и та же величина — собственное время частицы.

Возьмём дифференциалы от преобразования импульса и энергии (стр. \pageref{transform_energey_moment}), считая относительную скорость систем отсчёта постоянной:

Разделим эти соотношения на дифференциалы времени () и, учитывая, что , получаем:

Эти преобразования связывают компоненты силы, измеряемой наблюдателями в двух инерциальных системах отсчёта и . Для поперечных к направлению скорости проекций силы неизменными оказываются комбинации и . Это следует из и .

Мы уже отмечали, что четвёрка величин скалярной энергии и векторного импульса преобразуется так же, как и время с радиус-вектором . Аналогичная ситуация и с силой. В этом случае соответствующими четырьмя величинами (4-вектор силы) являются:

В первой главе преобразования для координат и времени были записаны в векторном виде (стр. \pageref{lorenz_vec0}):

(EQN)

Аналогичные векторные преобразования справедливы и для силы:

Отметим также соотношение:

которое следует из преобразования для нулевых компонент 4-силы. В нём дополнительно учтено преобразование для квадрата скорости ().

В дальнейшем нам понадобится обратное преобразование для силы. Как обычно, оно получается перестановкой штрихованных и нештрихованных величин с заменой :

(EQN)

В этом преобразовании также произведено небольшое упрощение при помощи соотношения ().

Преобразования силы между инерциальными системами отсчёта позволяют найти силу взаимодействия между двумя движущимися объектами, если известна "статическая сила", в ситуации, когда один из объектов неподвижен. Мы воспользуемся этим фактом в следующей главе, чтобы при помощи закона Кулона взаимодействия неподвижного заряда на пробный заряд

найти силу воздействия со стороны движущегося со скоростью заряда. В результате возникнет специфическая компонента силы, имеющая смысл магнитного поля. В конечном счёте это приведёт нас к уравнениям Максвелла и классической электродинамике, в основе которой на самом деле лежат "лишь" закон Кулона и преобразования Лоренца.


Космические полёты << Оглавление (Глава 3) >> Решения динамических уравнений

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии