Решения динамических уравнений

Сила <<	Оглавление (Глава 3)	>> Ковариантная динамика

---

$\textstyle \bullet$ Рассмотрим динамическое уравнение для релятивистской частицы, движущейся в поле постоянной силы:

${\frac {d}{dt}}{\frac {m\mathbf {u} }{\sqrt {1-\mathbf {u} ^{2}}}}=\mathbf {F} =const.$

Несмотря на простоту уравнения, релятивистская динамика приводит к довольно громоздким решениям. Во второй главе, при рассмотрении равноускоренного движения, мы изучили частный случай движения вдоль прямой. Найдём теперь решение для произвольного направления начальной скорости $\textstyle \mathbf {u} _{0}$ частицы и вектора силы $\textstyle \mathbf {F}$.

Интегрируя динамическое уравнение первый раз, получаем:

${\frac {\mathbf {u} }{\sqrt {1-\mathbf {u} ^{2}}}}=\mathbf {w} _{0}+\mathbf {a} \,t,$

где введен постоянный вектор $\textstyle \mathbf {a} =\mathbf {F} /m$, а $\textstyle \mathbf {w} _{0}$ - константа интегрирования. Она может быть выражена через начальную скорость объекта $\textstyle \mathbf {u} _{0}$ в момент времени $\textstyle t=0$:

$\mathbf {w} _{0}={\frac {\mathbf {u} _{0}}{\sqrt {1-\mathbf {u} _{0}^{2}}}}.$

Если возвести выражение для скорости в квадрат, можно выразить $\textstyle \mathbf {u} ^{2}$ через время и переписать зависимость вектора скорости от времени в явном виде:

$\mathbf {u} (t)={\frac {\mathbf {w} _{0}+\mathbf {a} \,t}{\sqrt {1+(\mathbf {w} _{0}+\mathbf {a} \,t)^{2}}}}.$

Так как по определению $\textstyle \mathbf {u} (t)=d\mathbf {r} /dt$, то, чтобы получить закон движения частицы, необходимо проинтегрировать функцию $\textstyle \mathbf {u} (t)$:

$\mathbf {r} =\int \mathbf {u} (t)\,dt={\frac {\alpha }{a}}\int {\frac {\mathbf {w} _{0}+\mathbf {a} \,t}{\sqrt {1+\alpha ^{2}\left(t+{\frac {\displaystyle \mathbf {w} _{0}\mathbf {a} }{\displaystyle a^{2}}}\right)^{2}}}}\,dt,$

где в знаменателе выделен полный квадрат по $\textstyle t$, $\textstyle a=|\mathbf {a} |$ и

$\alpha ={\frac {a}{\sqrt {1+{\frac {\displaystyle [\mathbf {w} _{0}\times \mathbf {a} ]^{2}}{\displaystyle a^{2}}}}}}.$

Сделаем замену $\textstyle \tau =t+(\mathbf {w} _{0}\mathbf {a} )/a^{2}$:

$\mathbf {r} ={\frac {\alpha }{a}}\int {\frac {\mathbf {a} \,\tau +[\mathbf {a} \times [\mathbf {w} _{0}\times \mathbf {a} ]]/a^{2}}{\sqrt {1+\alpha ^{2}\tau ^{2}}}}\,d\tau ,$

где применена формула двойного векторного произведения.

Этот интеграл легко вычисляется при помощи следующих табличных интегралов:

$\int {\frac {\tau \,d\tau }{\sqrt {1+\alpha ^{2}\tau ^{2}}}}={\frac {1}{\alpha ^{2}}}{\sqrt {1+\alpha ^{2}\tau ^{2}}},\;\;\;\;\;\;\int {\frac {d\tau }{\sqrt {1+\alpha ^{2}\tau ^{2}}}}={\frac {1}{\alpha }}\ln \left(\alpha \tau +{\sqrt {1+\alpha ^{2}\tau ^{2}}}\right),$

проверяемых прямым дифференцированием. В результате:

$\mathbf {r} (t)=\mathbf {r} _{0}+{\frac {\displaystyle \mathbf {a} }{\displaystyle a^{2}}}\,\left({\sqrt {1+(\mathbf {w} _{0}+\mathbf {a} \,t)^{2}}}-{\sqrt {1+\mathbf {w} _{0}^{2}}}\right)+{\frac {[\mathbf {a} \times [\mathbf {w} _{0}\times \mathbf {a} ]]}{a^{2}}}\,\tau _{0}(t),$

где $\textstyle \textstyle \mathbf {r} _{0}$ — положение тела в момент времени $\textstyle t=0$. Константы интегрирования выбраны таким образом, чтобы $\textstyle \mathbf {r} (0)=\mathbf {r} _{0}$. Величина

$\tau _{0}(t)={\frac {1}{a}}\,\ln {\frac {\displaystyle {\sqrt {1+(\mathbf {w} _{0}+\mathbf {a} t)^{2}}}+at+(\mathbf {w} _{0}\mathbf {a} )/a}{\displaystyle {\sqrt {1+\mathbf {w} _{0}^{2}}}+(\mathbf {w} _{0}\mathbf {a} )/a}}$

имеет смысл собственного времени объекта. Оно по определению равно:

$\tau _{0}(t)=\int \limits _{0}^{t}{\sqrt {1-\mathbf {u} ^{2}(t)}}\,dt=\int \limits _{0}^{t}{\frac {dt}{\sqrt {1+(\mathbf {w} _{0}+\mathbf {a} \,t)^{2}}}}.$

Если с движущейся под воздействием постоянной силы частицей связать часы, то за время движения $\textstyle t$ они покажут интервал времени $\textstyle \tau _{0}(t)$. Выражение для $\textstyle \tau _{0}(t)$, при известных начальной скорости частицы и её "ускорении" позволяет вычислить показания движущихся часов. В частном случае начально неподвижной частицы её собственное время равно:

$\tau _{0}(t)={\frac {1}{a}}\,\ln \left(\displaystyle {\sqrt {1+(at)^{2}}}+at\right).$

Если собственное ускорение $\textstyle \mathbf {a}$ и начальная скорость $\textstyle \mathbf {u} _{0}$ параллельны друг другу, то векторное произведение $\textstyle [\mathbf {a} \times [\mathbf {w} _{0}\times \mathbf {a} ]]$ равно нулю и выражение для траектории заметно упрощается. Тело движется по прямой линии. Если вдоль неё направить ось $\textstyle x$, то получится уже известное нам выражение (), стр.\pageref{accel_length}:

$x(t)=x_{0}+{\frac {1}{a}}\left({\sqrt {1+(w_{0}+a\,t)^{2}}}-{\sqrt {1+w_{0}^{2}}}\right).$

Если построить эту траекторию на плоскости $\textstyle (x,t)$, то получится гипербола. Поэтому такое движение часто называют гиперболическим. Хотя мы видим, что в общее решение зависимость от времени входит более сложным образом, поэтому термин "гиперболическое движение" применим только для движения по прямой. В общем случае лучше просто говорить о релятивистском равноускоренном движении.

$\textstyle \bullet$ Рассмотрим ещё один пример решения релятивистских динамических уравнений. Пусть сила зависит от скорости следующим образом:

${\frac {d\mathbf {p} }{dt}}=\mathbf {u} \times \mathbf {B} ,$

где $\textstyle \mathbf {u}$ — скорость частицы, а $\textstyle \mathbf {B}$ — некоторый постоянный вектор. Как мы увидим в следующей главе, подобное уравнение возникает при движении единичного заряда в постоянном однородном магнитном поле.

Производная энергии по времени равна произведению скорости на силу: $\textstyle dE/dt=\mathbf {u} \mathbf {F}$, а скалярное произведение $\textstyle \mathbf {u} [\mathbf {u} \times \mathbf {B} ]=[\mathbf {u} \times \mathbf {u} ]\mathbf {B} =0$. Поэтому энергия движения $\textstyle E$ в таком поле сил не изменяется, а следовательно, не изменяется модуль скорости. Этим можно воспользоваться, записав связь импульса, энергии и скорости: $\textstyle \mathbf {p} =E\mathbf {u}$. Постоянная энергия выносится из-под производной по времени, и уравнение движения принимает следующий вид:

${\frac {d\mathbf {u} }{dt}}=\mathbf {u} \times \mathbf {\Omega } ,$

(EQN)

где введен постоянный вектор $\textstyle \mathbf {\Omega } =\mathbf {B} /E$, пропорциональный силовому полю $\textstyle \mathbf {B}$ и постоянной энергии частицы, зависящей от начальной скорости частицы. Умножая это уравнение на $\textstyle \mathbf {\Omega }$, приходим к выводу, что составляющая скорости в направлении вектора $\textstyle \mathbf {\Omega }$ не изменяется:

${\frac {d(\mathbf {u} \mathbf {\Omega } )}{dt}}=0.$

Вдоль вектора $\textstyle \mathbf {\Omega }$ частица продолжает двигаться равномерно. Изменение направления скорости происходит в плоскости, перпендикулярной $\textstyle \mathbf {\Omega }$.

Уравнение () достаточно просто решается при подходящем выборе системы координат. Для этого ось $\textstyle z$ направляется вдоль вектора $\textstyle \mathbf {\Omega }$ и получается система из двух дифференциальных уравнений. Мы тем не менее решим () в векторных обозначениях. Разложим вектор скорости на продольную $\textstyle \mathbf {u} _{\shortparallel }$ и поперечную составляющие $\textstyle \mathbf {u} _{\perp }=\mathbf {u} -\mathbf {u} _{\shortparallel }$:

где введен модуль вектора $\textstyle \omega =|\mathbf {\Omega } |=|\mathbf {B} |/E$.

Так как $\textstyle \mathbf {\Omega } \times \mathbf {\Omega } =0$ и $\textstyle \mathbf {\Omega } \mathbf {u}$ постоянна, то поперечная составляющая удовлетворяет уравнению ():

${\frac {d\mathbf {u} _{\perp }}{dt}}=\mathbf {u} _{\perp }\times \mathbf {\Omega } .$

Возьмём от этого уравнения производную по времени и раскроем двойное векторное произведение, учитывая, что $\textstyle \mathbf {u} _{\perp }\mathbf {\Omega } =0$:

${\frac {d^{2}\mathbf {u} _{\perp }}{dt^{2}}}={\frac {d\mathbf {u} _{\perp }}{dt}}\times \mathbf {\Omega } =[\mathbf {u} _{\perp }\times \mathbf {\Omega } ]\times \mathbf {\Omega } =-\mathbf {\Omega } ^{2}\,\mathbf {u_{\perp }} .$

В результате получается уравнение для осциллятора:

${\frac {d^{2}\mathbf {u} _{\perp }}{dt^{2}}}+\omega ^{2}\mathbf {u} _{\perp }=0.$

Решая его для каждой компоненты скорости, получаем:

$\mathbf {u} _{\perp }(t)=\mathbf {a} \,\cos(\omega t)+\mathbf {b} \,\sin(\omega t),$

где $\textstyle \mathbf {a}$ и $\textstyle \mathbf {b}$ — два постоянных вектора, перпендикулярных $\textstyle \mathbf {\Omega }$. Они находятся из начальных условий:

$\mathbf {u} _{\perp }(0)=\mathbf {u} _{0}-{\frac {\mathbf {\Omega } (\mathbf {\Omega } \mathbf {u} _{0})}{\omega ^{2}}}={\frac {\mathbf {\Omega } \times [\mathbf {u} _{0}\times \mathbf {\Omega } ]}{\omega ^{2}}}=\mathbf {a} ,\;\;\;\;\;\;{\frac {d\mathbf {u} _{\perp }(0)}{dt}}=[\mathbf {u} _{0}\times \mathbf {\Omega } ]=\omega \mathbf {b} ,$

где $\textstyle \mathbf {u} (0)=\mathbf {u} _{0}$ — начальное значение скорости. В результате:

$\mathbf {u} ={\frac {\mathbf {\Omega } \,(\mathbf {\Omega } \mathbf {u} _{0})}{\omega ^{2}}}\;+\;{\frac {\mathbf {\Omega } \times [\mathbf {u} _{0}\times \mathbf {\Omega } ]}{\omega ^{2}}}\,\cos(\omega t)\;+\;{\frac {[\mathbf {u} _{0}\times \mathbf {\Omega } ]}{\omega }}\,\sin(\omega t).$

При записи этого решения мы выразили поперечную скорость $\textstyle \mathbf {u} _{\perp }$ через полную скорость $\textstyle \mathbf {u}$ и учли, что $\textstyle \mathbf {u} \mathbf {\Omega } =\mathbf {u} _{0}\mathbf {\Omega } =const$.

Интегрируя скорость по времени, получаем уравнение для траектории:

$\mathbf {r} =\mathbf {r} _{0}+{\frac {[\mathbf {u} _{0}\times \mathbf {\Omega } ]}{\omega ^{2}}}\;+\;{\frac {\mathbf {\Omega } \,(\mathbf {\Omega } \mathbf {u} _{0})}{\omega ^{2}}}\,t\;+\;{\frac {\mathbf {\Omega } \times [\mathbf {u} _{0}\times \mathbf {\Omega } ]}{\omega ^{3}}}\,\sin(\omega t)\;-\;{\frac {[\mathbf {u} _{0}\times \mathbf {\Omega } ]}{\omega ^{2}}}\,\cos(\omega t),$

где $\textstyle \mathbf {r} _{0}=\mathbf {r} (0)$ — положение частицы в момент времени $\textstyle t=0$. Это уравнение спирали. Частица с угловой скоростью $\textstyle \omega$ поворачивается в плоскости, перпендикулярной $\textstyle \Omega$. Векторы при синусе и косинусе лежат в этой плоскости. Они перпендикулярны друг другу и имеют одинаковую длину. Эта длина определяет радиус спирали $\textstyle R$, "разматывающейся" вдоль $\textstyle \mathbf {\Omega }$:

$R={\frac {\left|\mathbf {u} _{0}\times \mathbf {\Omega } \right|}{\omega ^{2}}}={\frac {|\mathbf {u} _{0}|}{\omega }}\,\sin \alpha ,$

где $\textstyle \alpha$ — угол между векторами $\textstyle \mathbf {u} _{0}$ и $\textstyle \mathbf {\Omega }$. Если $\textstyle \alpha =\pi /2$ (начальная скорость перпендикулярна $\textstyle \mathbf {\Omega }$), радиус максимален и пропорционален начальному импульсу частицы: $\textstyle R=|\mathbf {u} _{0}|E/|\mathbf {B} |=|\mathbf {p} _{0}|/|\mathbf {B} |$.

---

Сила <<	Оглавление (Глава 3)	>> Ковариантная динамика

---

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии