Распады и столкновения

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
Кинетическая энергия << Оглавление (Глава 3) >> Космические полёты

Предположим, что в результате некоторых внутренних причин неподвижная частица массой распадается на две частицы с массами и , имеющие скорости и :

React1.png

Найдём энергии продуктов распада. Для этого запишем законы сохранения:

Стандартный приём решения подобных задач состоит в использовании соотношения , при помощи которого избавляются от одной из неизвестных скоростей (энергии и импульса). Перенесём и в законах сохранения влево, возведём их в квадрат и вычтем:

Раскрывая скобки и снова учитывая выражение для квадрата массы, имеем:

Так как начальная частица покоится, для неё и . Поэтому несложно получить выражение для энергии первого продукта распада . Для достаточно переставить местами индексы. В результате:

Таким образом, энергии полностью определяются массой начальной частицы и массами продуктов её распада. При желании, при помощи формулы можно найти и их скорости.

Когда такой распад возможен? Масса начальной частицы превращается в энергию разлетающихся после распада частиц:

Если , то такой самопроизвольный распад невозможен по энергетическим соображениям и требуется некоторое внешнее воздействие, чтобы разрушить энергию связи, равную .

Требование запрещает испускание частицей некоторой другой частицы при сохранении своей исходной массы. Например, равномерно движущийся электрон не может излучить фотон, оставшись электроном. На самом деле он не может и превратиться в другую частицу в процессе такого распада, но это уже другая история.

Почему вообще частицы распадаются? Обычно к этому приводят некоторые эволюционные процессы, происходящие внутри исходной частицы. Простейшим примером может служить взрыв в результате химических реакций. В квантовом мире распады обычно связаны с туннелированием квантовой частицы через потенциальный барьер, непреодолимый для классической частицы. В квантово-релятивистском мире элементарных частиц ситуация ещё менее наглядна. Например, свободный нейтрон в среднем за 15 минут распадается на протон, электрон и нейтрино, которые "в нём не находились". Этот же нейтрон внутри ядер, в окружении других нейтронов и протонов, вполне стабилен и не подвержен распаду.

Распад обратен ситуации "слипания", когда в результате столкновения двух частиц возникает третья. Рассмотрим такую реакцию в лабораторной системе отсчёта, где первая частица с массой имеет скорость и энергию , а вторая с массой покоится. Результат их столкновения имеет массу и движется со скоростью :

React1a.png

Запишем законы сохранения энергии и импульса:

Возводя в квадрат и вычитая, находим квадрат массы результирующей частицы, которая, естественно, больше, чем сумма исходных:

Её скорость можно найти из сохранения импульса , однако более быстрый путь — воспользоваться связью импульса, энергии и скорости:

Если , то к скорости света стремится и скорость результирующей частицы.

Рассмотрим теперь ситуацию, когда частица, имеющая энергию и массу , налетает на неподвижную частицу с массой и массы частиц после этого взаимодействия не изменяются (упругое столкновение):

React2.png

Если столкновение было "не лобовое", то частицы разлетятся под некоторыми углами к скорости налетающей частицы. Обозначим все величины после столкновения штрихами и запишем законы сохранения:

где , . Избавимся от энергии и импульса одной из частиц:

Возводя в квадрат, получаем:

Скалярное произведение импульсов выражается через их модули и угол: . Поэтому угол вылета частиц равен:

Второй угол получается совершенно аналогично. При этом необходимо избавиться от энергии и импульса первой частицы после столкновения.

Сам по себе угол рассеивания зависит от прицельного расстояния и характера взаимодействия между частицами. Однако независимо от последнего энергия рассеявшейся частицы, благодаря законам сохранения, связана с этим углом. Чем сильнее теряет энергию первая частица, тем на больший угол она рассеивается. Заметим, что так как , , то из закона сохранения энергии следует, что , т.е. энергия уменьшается, переходя к покоящейся частице.

Подставив в выражение для зависимость импульса от энергии и взяв производную по , можно ( H) найти максимальное значение угла рассеяния:

Естественно, максимум, отличный от , существует, если масса налетающей частицы больше, чем масса частицы .

Особенно просто выражение для результирующей энергии выглядит, если налетающая частица является безмассовой . Например, в эффекте Комптона (1923 г.) фотон рассеивается на электроне. В этом случае , , и энергия фотона после столкновения равна: \parbox{8cm}{

} \parbox{6cm}{

React3.png

} C фотоном по формуле Планка связаны частота и длина волны . Относительное изменение последней имеет вид:

Таким образом, чем больше угол рассеивания, тем сильнее увеличивается длина волны (уменьшается энергия). Чтобы относительное изменение длины волны было заметным, необходимы энергии фотона , сравнимые с массой электрона . Постоянная Планка в электрон-вольтах равна:

Поэтому частоты фотона, соответствующие массе электрона МэВ, равны герц. Длина волны при этом составляет м. Это фотоны жесткого рентгеновского излучения, которые могут быть получены при помощи рентгеновской трубки, в которой ускоренные электрическим полем электроны при резком ударе об анод испускают рентгеновские лучи (тормозное излучение). Дополнительно они выбивают электроны из внутренних электронных оболочек атомов. Замещающие их электроны с верхних энергетических уровней также испускают фотоны рентгеновского спектра. Величина м называется комптоновской длиной волны электрона. Изменение длины волны (частоты) фотона при рассеивании на электроне — это чисто квантовый эффект. В классической электродинамике при рассеивании электромагнитной волны на заряженной частице частота волны не изменится.

Выше рассмотрено столкновение в лабораторной системе отсчёта, когда одна частица покоится, а другая налетает на неё с импульсом . Термин "лабораторная система отсчёта" мы уже несколько раз использовали. Он происходит от экспериментов, в которых один вид частиц разгоняют при помощи ускорителя и направляют на неподвижную мишень, состоящую из частиц другого вида. Естественно, это достаточно условный термин, потому что в тех же лабораториях проводят и эксперименты со встречными пучками, разгоняя каждый из них в ускорителе.

Рассмотрим теперь упругое столкновение двух частиц в системе отсчёта центра масс, в которой их суммарный импульс равен нулю.

React2a.png

На первом рисунке изображено это столкновение в динамике и нарисованы траектории частиц. Когда они сближаются, начинает сказываться сила взаимодействия между ними и траектории искривляются. Когда частицы достаточно удалились друг от друга, они снова становятся свободными и движутся с постоянной скоростью.

По определению системы центра масс модули импульсов частиц равны друг другу до и после соударения. В силу закона сохранения импульса угол рассеивания обеих частиц один и тот же, равный . Энергии частиц при столкновении не изменяются, так как из закона сохранения при одинаковых начальных импульсах имеем:

откуда , и, следовательно, . Энергия и импульс в системе центра масс помечены тильдой, чтобы отличать их от лабораторной системы. Скорости при одинаковых импульсах подчиняются соотношению:

и при различных массах также различны.

Выразим энергии в лабораторной системе отсчёта через угол в системе центра масс. Для этого перейдём в инерциальную систему отсчёта, движущуюся влево со скоростью . В этой системе вторая частица до столкновения покоится. Воспользуемся формулой преобразования энергии (), стр. \pageref{Ep_transform}. Энергия первой частицы и модуль импульса до и после столкновения в системе центра масс не меняются: , . В лабораторной системе энергии равны:

(EQN)

где учтено, что после столкновения энергия не изменяется и скалярное произведение равно произведению модулей на косинус угла .

Поэтому переданная энергия в лабораторной системе равна:

где выражена через , равный (в системе центра масс). Чтобы его найти, воспользуемся первым соотношением (), в которое подставим связь энергии и импульса , а также импульса и скорости :

Решая это уравнение относительно , получаем:

Что даёт , а при помощи закона сохранения и :

Таким образом, энергии рассеянных частиц в лабораторной системе достаточно просто связаны с углом поворота импульсов в системе центра масс. Величина является энергией, переданной первой частицей, и она тем больше, чем больше . При "лобовом" столкновении, когда , эта энергия максимальна и равна .

В заключение рассмотрим один важный аспект, связанный с законами сохранения \cite{Fock}. Если частицы взаимодействуют, то скорость конкретной частицы изменяется. Поэтому её энергия и импульс должны вычисляться в конкретный момент времени. При записи закона сохранения, например, импульса мы суммируем импульсы частиц, вычисленные в данный момент времени в конкретной системе отсчёта. Однако, так как частицы находятся в различных точках пространства, в другой системе такая сумма будет соответствовать не одновременным моментам времени!

В результате, вообще говоря, закон сохранения имеет однозначный смысл, только когда частицы ещё не взаимодействовали или после этого взаимодействия. В этом случае они движутся с постоянными скоростями (импульсами), и даже не одновременные значения импульсов, дадут одинаковую сумму. Мы подробнее рассмотрим этот вопрос в последнем разделе главы.


Кинетическая энергия << Оглавление (Глава 3) >> Космические полёты

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии