Равноускоренная система отсчёта

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
Нелокальность законов сохранения << Оглавление (Последняя версия в: Глава 4) >> Преобразования координат

Рассмотрим систему , точка которой движется с постоянным собственным ускорением относительно инерциальной (лабораторной) системы . Будем считать, что оси и параллельны и направлены в одну сторону. Во второй главе (стр.\,\pageref{df_eq_for_u_with_a}) был найден закон движения релятивистски равноускоренной частицы, координата которой изменяется со временем следующим образом:

(EQN)

где в начальный момент времени частица покоится, а далее движется с увеличивающейся скоростью и уменьшающимся ускорением:

(EQN)

Будем считать, что начало системы (и наблюдатель находящийся в этой точке) движется в соответствии с уравнением () относительно системы :

Nonin SSp.png

Внутри неинерциальной системы пространство неизотропно. Точнее, оно изотропно в плоскости , перпендикулярной к ускорению, но неизотропно вдоль оси . Подобное нарушение симметрии пространства приводит к тому, что свободные частицы уже не движутся равномерно и прямолинейно.

Пусть собственное ускорение невелико, хотя, возможно, велика скорость системы относительно . Тогда наблюдатель, находящийся в начале системы , по крайней мере локально может пренебречь неизотропностью пространства в отношении эталонов длины. Это означает, что игнорируется их деформация или вводятся соответствующие поправки на упругость материала из которого сделаны линейки. В результате, их можно поворачивать, считая что они не изменяются при повороте из изотропной плоскости в направлении ускорения. Аналогично мы, находясь на поверхности Земли и испытывая ускорение , пользуемся "жёсткими" линейками в своей непосредственной окрестности.

Кроме линеек наблюдателю необходимы часы. Чтобы не обсуждать влияние сил инерции на механизм часов, будем считать, что для измерения времени служат некоторые процессы, происходящие в изотропной плоскости . Например, это может быть шарик, катящийся без трения по круговому желобу, расположенному перпендикулярно движению. Понятно, что существуют разновидности часов которые откажутся работать в неинерциальной системе, как, впрочем, и наоборот. Например, маятниковые часы с подвесом на оси под воздействием постоянных сил инерции будут равномерно "тикать", а при переходе в инерциальную систему — сломаются, так как возникнет "невесомость". Тем не менее, предположим, что в равноускоренной системе отсчёта существует широкий класс синхронно идущих часов в окрестности данной точки пространства. При этом, для измерения времени выбираются процессы, относительно которых все остальные движения выглядят наиболее просто (стр.\,\pageref{princip_simplisity}). Будем считать, что темп хода подобных часов совпадает с темпом хода часов в сопутствующей к наблюдателю инерциальной системе отсчета , движущейся в данный момент времени относительно с той же скоростью, что и . Говоря о системах и мы пока представляем только двух наблюдателей (неинерциального и инерциального), относительно неподвижных и совпадающих в пространстве в точке Они имеют одинаковые часы и линейки. Таким образом, предполагаем, что:
темп времени движущихся часов относительно неподвижных часов зависит только от их скорости и не зависит от ускорения.
Если в момент времени начала систем и совпадали и скорость относительно была нулевой, то спустя некоторое время, связь показаний движущихся часов (находящихся в начале координат ) и синхронизированных неподвижных часов , расставленных вдоль траектории движения в будет иметь вид (стр.\,\pageref{time_del_acsel}):
(EQN)

Соотношение () имеет надежное экспериментальное подтверждение. Например, время жизни мюонов в кольцевом ускорителе \cite{Bailey1977} в пределах относительной ошибки увеличивается в соответствии со стандартной релятивистской формулой. При этом скорость мюонов составляет и время замедляется в раз. При радиусе кольца метров, ускорение очень велико (, где ), но время жизни мюонов зависит только от скорости, но не зависит от их ускорения.

Рассмотрим теперь в системе двух наблюдателей, которых для наглядности будем представлять в виде космических кораблей. Пусть расстояние между кораблями до начала ускорения равнялось . Пока корабли стояли в космопортах, их экипажи синхронизовали свои часы друг с другом и остальными наблюдателями в системе . Время на часах первого корабля, стартовавшего из , обозначим через , а второго, стартовавшего из , через . В инерциальной системе отсчёта для всех наблюдателей существует единое время, равное . При корабли начинают равноускоренное движение, постоянно увеличивая свою скорость:

Nonin 2space.png

Координата первого (левого) корабля, находящегося в начале системы изменяется со временем в соответствии с ():

(EQN)

где во втором равенстве подставлено собственное время корабля ().

Жёсткая система отсчёта — это множество неподвижных относительно друг друга наблюдателей. Мы задали траекторию начала системы отсчёта . Как должен двигаться второй космический корабль, чтобы расстояние между кораблями эскадры оставалось неизменным с их точки зрения? Ответ "так же" не является верным. События, одновременные в одной системе отсчёта, будут неодновременными в другой. Если корабли синхронно ускоряются с точки зрения системы , то это ускорение не будет синхронным в , и наоборот. Это приводит к тому, что неизменность расстояния между точками системы отсчёта, вообще говоря, относительное понятие. Если наблюдатели в "выдерживают" свою систему жёсткой, то наблюдатели в инерциальной системе будут регистрировать, её сжатие в направлении движения.

Как эскадра кораблей должна выдерживать неизменным расстояние? Будем считать, что для этого используется радиолокационный метод. Один корабль посылает световой сигнал в сторону второго корабля. Этот сигнал отражаясь, возвращается обратно. Время движения туда-обратно по локальным часам корабля не должно изменяться. Выясним, по какой траектории должен двигаться второй корабль относительно системы , чтобы система отсчёта для её наблюдателей была жесткой. Расчёты проведём в неподвижной системе .

Пусть первый корабль в момент времени отправляет вперёд световой сигнал, который в момент времени отражается от второго корабля и возвращается обратно на первый корабль в момент времени . Расстояние, проходимое сигналом равно длительности его движения ():

Noninerframe1.png
(EQN)

Все времена измеряются по часам инерциальной системы отсчёта . Координата первого корабля равна , см. (), второго — . Если от времени лабораторной системы перейти к собственному времени первого корабля , то несложно получить (\,H):

Поэтому, из системы уравнений () имеем следующие соотношения:

(EQN)

где времена ухода и возвращения сигнала уже измеряются часами первого корабля. Если расстояние между кораблями неизменно, то время движения сигнала "туда и обратно" постоянно и не зависит от момента его получения . Вычитая уравнения (), находим:

В качестве решения квадратного уравнения относительно выбран положительный корень, подставляя который во второе уравнение (), получаем искомую траекторию :

(EQN)

где в последнем равенстве учтено начальное условие или . Назовём радиолокационным расстоянием половину времени движения сигнала в обе стороны:

(EQN)

Скорость второго корабля относительно неподвижной системы отсчёта равна , поэтому:

(EQN)

Таким образом, второй корабль также движется равноускоренно, но с меньшим собственное ускорением, равным .

Скорости обоих кораблей известны, поэтому можно записать показания часов каждого из них в момент времени :

(EQN)

Время , прошедшее на первом корабле с момента старта и на втором корабле сравниваются с различными часами , синхронизированными в системе . Запишем координату второго корабля через его время:

(EQN)

При помощи (), () и радиолокационного расстояния () можно (\,H) выразить времена посылки и получения обратно сигнала на первом корабле:

Обратим внимание, что и начальная синхронизация часов на кораблях разрушилась. Разберемся, почему это произошло.

Пусть второй корабль посылает "сигнал точного времени" в направлении первого корабля. Он уходит в момент времени и приходит к первому кораблю в момент , проходя с единичной скоростью () в системе расстояние , или . Запишем это уравнение во временах каждого корабля:

Подставляя определения гиперболических функций, имеем:

Niso send sig.png
(EQN)

Сигналы, отправленные через равные промежутки времени, по часам второго корабля будут также приходить через равные промежутки, однако с другим интервалом:

где приближенное равенство записано для Частота принятого сигнала от удалённого наблюдателя тем больше, чем дальше по ходу движения находится источник сигнала. Таким образом, если расстояние между наблюдателями в неинерциальной системе отсчета остаётся неизменным, то время у них течёт различным образом. Чем дальше по направлению ускорения находятся часы, тем быстрее на них идёт время с точки зрения наблюдателя в . В результате, первоначально синхронизированные часы, со временем рассинхронизируются.

Наблюдатели в ускоренной системе отсчёта чувствуют себя подобно нам, находящимся на Земле в однородном поле силы тяжести. В частности все объекты, "выпущенные из рук", независимо от их массы приобретают ускорение .

Equvalentnost.png

Если, следуя Эйнштейну, считать, что физика в равноускоренной системе аналогична физике в однородном гравитационном поле, то полученная формула для частот должна выполняться и в земных условиях. В частности, приёмник, расположенный ниже источника эталонного излучения , должен получать сигнал с большей частотой , где , а — высота источника над приёмником, и восстановлена () константа "". Это соотношение с хорошей точностью подтвердилось в эксперименте Паунда и Ребки (1960 г.). Их установка имела высоту , что соответствовало относительному изменению частоты , которое удалось измерить при помощи эффекта Мёссбауэра.

Эталоны длины и времени неинерциального наблюдателя совпадают с аналогичными эталонами в сопутствующей к нему инерциальной системе отсчёта. В частности, скорость света для него изотропна и одинакова при движении вдоль и против оси . Поэтому половину времени радиолокационного эксперимента он может считать расстоянием ко второму кораблю . С учётом времени на прохождение этого расстояния в (), наблюдатели могут сравнить показания своих часов:

(EQN)

Событие, произошедшее на втором корабле в момент , наблюдатель на первом корабле может считать одновременным моменту его часов , так как информация о нём достигнет первого корабля через время, равное расстоянию .

Напомним, что расстояние между кораблями до старта равнялось . Как только появилось ускорение, пространство стало неизотропным и расстояние до второго корабля уменьшилось (), и в дальнейшем уже не менялось. На самом деле, скачок расстояния наблюдатели обнаружат после старта спустя некоторое время, необходимое для проведения его радиолокационного измерения. В момент отключения двигателей неинерциальная система отсчёта превращается в инерциальную, и пространство снова становится изотропным.

Использовать радиолокационный метод для измерения расстояний может любой наблюдатель в неинерциальной системе. Рассмотрим такой эксперимент, проводимый наблюдателем на втором корабле в направлении третьего, движущегося впереди него. Если в начальный момент времени в системе координаты этих кораблей были и , то в дальнейшем их траектории и имеют вид:

Сигнал в лабораторной системе излучается в момент , отражается от третьего корабля в момент и возвращается на второй в момент :

Nonin radlocback.png

Из этих двух уравнений следует:

Подставим явный вид траекторий и в левой части перейдём ко времени второго корабля . В результате:

(EQN)

где в последнем равенстве записаны радиолокационные расстояния ко второму и третьему кораблям с точки зрения наблюдателя на первом корабле, находящемся в начале неинерциальной системы отсчета.

Если повторить расчёт по посылке периодических сигналов (стр.\,\pageref{acsel_ref_sys_times}), но теперь от третьего корабля ко второму, то получится соотношение:

(EQN)

где — расстояние () между кораблями и .

В неинерциальной системе мы не только не можем говорить о едином времени, но и расстояния между точками системы измеряются конкретными наблюдателями. Результаты этих измерений различны, так как в радиолокационном методе используются часы. Если время для различных наблюдателей течёт по-разному, то и результаты радиолокации будут различными. Так, расстояние () между вторым и третьим кораблем, измеренное со второго корабля, в раз больше, чем аналогичное расстояние , измеренное с первого корабля.

При движении расстояние между кораблями в равноускоренной системе отчёта выдерживается неизменным. Для неподвижных наблюдателей в системе , расстояние между кораблями уменьшается. С точки зрения стандартного сокращения Лоренца в этом нет ни чего удивительного, так как скорость кораблей всё время растёт. Представим "линейку", соединяющую первый и второй корабли. Её длина в системе равна разности координат кораблей:

Наблюдатель системы , находящийся на первом корабле, считает, что длина линейки (расстояние между кораблями) равна . Если ввести скорость первого корабля относительно неподвижной инерциальной системы и соответствующий этой скорости фактор Лоренца:

то выражение для длины можно переписать следующим образом:

(EQN)

где приближенное равенство записано как ряд по (что проверяется возведением в квадрат после перенесения вправо). Это приближение справедливо при или, восстанавливая фундаментальную скорость . Для метрового стержня имеем , где , что является очень большим значением. Если же расстояние между кораблями равно одному световому году (стр.\,\pageref{light_year}), то и отклонение от лоренцевской формулы становится заметным.

Таким образом, если произведение собственного ускорения на длину линейки мало, то отношение длин линейки, в системах и соответствует лоренцевскому сокращению: . В общем же случае, сокращение "линейки" отличается от лоренцевского. Однако, когда корабли перестанут ускоряться, то сокращение окажется в точности лоренцевским (см. "парадокс остановки", стр.\,\pageref{stop_paradox}).

Подчеркнём, что большие значения неинерциальные наблюдатели получают в результате радиолокационного измерения, а не реальным прикладыванием линейки, при помощи которой они измеряют скорости в своей непосредственной окрестности. В соответствии с () оно отличается от начального расстояния между кораблями и различно для наблюдателя на первом и втором кораблях. Выше, в качестве собственной длины линейки, было выбрано радиолокационное расстояние, измеренное наблюдателем на первом корабле.


Нелокальность законов сохранения << Оглавление (Последняя версия в: Глава 4) >> Преобразования координат

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии