Равноускоренная система отсчета

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
Мир элементарных частиц << Оглавление >> Время и расстояние в равноускоренной системе

Рассмотрим систему , точка которой движется равноускоренно относительно инерциальной системы . Будем считать, что оси и параллельны и направлены в одну сторону. Во второй главе был найден закон движении релятивистски равноускоренной частицы, координата которой изменяется со временем следующим образом:

(4.1)

Будем считать, что начало системы (и наблюдатель находящийся в этой точке) движутся в соответствии с уравнением (4.1)

Nonin SSp.png

Основная особенность неинерциальной системы — это неизотропность пространства внутри неё. Точнее, пространство изотропно в плоскости , перпендикулярной к ускорению, но неизотропно вдоль оси .

Пусть ускорение невелико (хотя, возможно, велика скорость системы относительно ). Тогда наблюдатель, находящийся в начале системы , по крайней мере локально, воспринимает окружающие физические явления подобно "наблюдателю классической механики". В частности, он может пренебречь неизотропностью пространства в отношении эталонов длины. Это означает, что игнорируется возможность их деформации или вводятся соответствующие поправки на упругость материала, из которого сделаны линейки. В результате линейки можно поворачивать, считая что они не изменяются при повороте из изотропной плоскости в направлении ускорения. Аналогично мы, находясь на поверхности Земли и испытывая ускорение , пользуемся "жёсткими" линейками в своей непосредственной окрестности.

Неизотропность приводит к тому, что свободные частицы уже не движутся по прямолинейным траекториям. Эти траектории изгибаются в направлении, противоположном вектору ускорения. Естественно относительно инерциальной системы отсчёта они по-прежнему движутся равномерно и прямолинейно. Так как физика в инерциальной системе нам известна, можно описать и многие из явления, с точки зрения неинерциальных наблюдателей.

Кроме линеек наблюдателю необходимы часы. Чтобы не обсуждать влияние сил инерции на механизм часов, будем считать, что для измерения времени служат некоторые процессы, происходящие в изотропной плоскости . Например, это может быть шарик, катящийся без трения по круговому желобу, расположенному перпендикулярно движению. Понятно, что существуют разновидности часов, которые откажутся работать в неинерциальной системе, как, впрочем, и наоборот. Например, маятниковые часы с подвесом на оси под воздействием постоянных сил инерции будут равномерно "тикать", а при переходе в инерциальную систему — сломаются, так как возникнет "невесомость".

Тем не менее, предположим, что в равноускоренной системе отсчёта существует достаточно широкий класс синхронно идущих часов в данной точке пространства. Синхронность подразумевает, что законы движения частиц получаются одинаковыми при использовании различных часов. При этом, как и раньше, для измерения времени выбираются процессы, относительно которых все остальные движения выглядят наиболее просто (см. Глава 1.). Например, координата свободно движущейся частицы, в силу изотропности пространства в плоскости , за равные промежутки времени должна изменяться на равные величины. Далее нам потребуется важное допущение о том, что
темп времени движущихся часов относительно неподвижных часов зависит только от их скорости и не зависит от ускорения.
Если в момент времени начала систем совпадали и скорость относительно была нулевой, то спустя некоторое время, связь показаний движущихся часов (находящихся в начале координат) и синхронизированых неподвижных, расставленых вдоль траектории движения будет иметь вид:
(4.2)

Каким бы ни было значение , всегда можно выбрать малый интервал времени, при котором скорость ускоряющихся часов меняется незначительно, и их можно рассматривать как локально инерциальную систему отсчета. Это общее соображение имеет и экспериментальные подтверждения. Так, время жизни мюонов в кольцевом ускорителе [1] в пределах относительной ошибки увеличивается в соответствии с релятивистской формулой. При этом скорость мюонов составляет и время замедляется в раз. При 7 метровом радиусе кольца, ускорение достигает значений , где .



Представим теперь эскадру из двух космических кораблей, разделённых расстоянием , которая начинает ускоренное движение относительно инерциальной системы отсчёта . Пока корабли стояли в космопортах, их экипажи синхронизовали свои часы друг с другом и остальными наблюдателями в системе . Время на часах первого корабля, стартовавшего из , обозначим через , а второго, стартовавшего из , через . В инерциальной системе отсчёта время единое и равно . При корабли начинают равноускоренное движение, постоянно увеличивая свою скорость.

Nonin 2space.png

Координата первого (левого) корабля, находящегося в начале системы изменяется со временем в соответствии с (4.1)

(4.3)

где во втором равенстве подставлено собственное время корабля (4.2).

Жёсткая система отсчёта — это множество неподвижных относительно друг друга наблюдателей. Мы задали траекторию начала системы отсчёта . Как должен двигаться второй космический корабль, чтобы расстояние между кораблями эскадры оставалось неизменным с их точки зрения? Ответ "так же" не является верным. События, одновременные в одной системе отсчёта, будут неодновременными в другой. Если корабли синхронно ускоряются с точки зрения системы , то это ускорение не будет синхронным в , и наоборот. Это приводит к тому, что неизменность расстояния между точками неинерциальной системы отсчёта понятие относительное. Если наблюдатели в "выдерживают" свою систему жёсткой, то наблюдатели в инерциальной системе будут регистрировать, её сжатие в направлении движения. События (ускорительные импульсы корабля) по ходу движения в системе происходят позже по сравнению с событиями расположенными против хода (см. Время), и второй корабль в системе разгоняется медленнее.

Как эскадра кораблей должна выдерживать неизменным расстояние? Будем считать, что для этого используется "радиолокационный метод". Один корабль посылает световой сигнал в сторону второго корабля. Этот сигнал отражаясь, возвращается обратно. Время движения туда-обратно по локальным часам корабля не должно изменяться. Выясним, по какой траектории должен двигаться второй корабль относительно системы , чтобы система отсчёта для её экипажей была жесткой.

Расчёты проведём в неподвижной системе . Пусть первый корабль в момент времени отправляет вперёд световой сигнал, который достигает второго корабля в момент времени , отражается и возвращается обратно в момент времени :

Noninerframe1.png

Все времена измеряются по часам инерциальной системы отсчёта . Координата первого корабля равна , см. (4.3), второго — . Запишем время ухода и возвращения сигнала по часам первого корабля ( и ):

Если расстояние между кораблями неизменно, то время движения сигнала "туда и обратно" не зависит от момента его посылки . Вычитая уравнения системы, находим:

В качестве решения квадратного уравнения относительно выбран положительный корень, подставляя который во второе уравнение системы, получаем искомую траекторию :

(4.4)

где в последнем равенстве учтено начальное условие . Назовём радиолокационным расстоянием половину времени от движения сигнала в обе стороны:

(4.5)

Скорость второго корабля относительно неподвижной системы отсчёта равна , поэтому:

(4.6)

Сравнивая это выражение с формулой равноускоренного движения (2.19), приходим к выводу, что второй корабль также движется равноускоренно, но с собственным ускорением .

Литература

  1. Bailey J. et al. — "Measurements of relativistic time dilatation for positive and negative muons in circular orbit", Nature, v.268, p.301-305 (1977)

Мир элементарных частиц << Оглавление >> Время и расстояние в равноускоренной системе

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии