Примеры и определения

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
Что такое симметрия? << Оглавление (Последняя версия в: Глава 6) >> Группа перестановок

Самой простой является группа циклических перестановок элементов . Пронумеруем углы правильного -угольника. Пусть его вращают в плоскости на углы , где без переворотов. Ниже представлены такие преобразования треугольника () и квадрата ():

Group Cn.png

Понятно, что это абелева группа. Поворот раз на угол порождает любой элемент группы. Для именования элементов группы удобно использовать следующие обозначения:

Sym tbl03.png

Имеется одна группа 2-го () и одна 3-го порядка (). Для 4-х элементов возможны две группы и (см.выше). Для 5-ти — одна ().

Если правильному -угольнику разрешено вращаться в плоскости вокруг центра симметрии, и переворачиваться вокруг осей симметрии, то получается группа диэдра порядка . К относят и группу преобразований прямоугольника (\,H). Для треугольника () имеем (для квадрата см.стр.\,\pageref{sym_D3_pic}):

Group D3.png

Кроме наименьшей неабелевой группы для 6 элементов существует ещё абелева группа . Группа 7-го порядка одна (); 8-й порядок допускает уже 5 групп, две из которых неабелевы. Это и группа кватернионов (см.стр.\,\pageref{quat_basis_def1}).

В левом верхнем углу таблиц находится блок, совпадающий с циклической группой. Говорят, что является {подгруппой} группы .

Подгруппа , это подмножество , элементов группы для которых выполняются все групповые свойства (есть единичный, у каждого элемента — обратный, и при умножении возникают только элементы из подгруппы : ). Так, .

Единичный элемент и сама группа являются подгруппами . Их называют собственными. Выявление остальных (несобственных) подгрупп данной группы позволяет лучше понять её свойства.

Если , а то (отношение транзитивности). Для обозначения "вложенности" подгрупп иногда переворачивают значок подгруппы: . Пересечение подгрупп также является подгруппой (иногда это только ). Стоит найти (\,H) подгруппы группы и построить (\,H) иерархию подгрупп группы .

Если у группы известна некоторая подгруппа , то можно попытаться найти другие подгруппы. Для этого, выбирается фиксированный элемент группы (), не принадлежащий () и строится сопряжённая подгруппа , элементы которой получаются умножением всех элементов слева на , а справа на . То, что такое множество элементов образует группу, легко проверяется (\,H). Так, результат умножения остаётся внутри :

Например, для имеем .

Подгруппа называется инвариантной, если её сопряжение с любым элементом снова дает (новая подгруппа не возникает). В этом случае для любого имеем: или иначе . Заметим, что при сопряжении элемента получается вообще говоря другой элемент инвариантной подгруппы. Несложно видеть, что все подгруппы абелевой группы являются инвариантными.

Группа, не имеющая инвариантных подгрупп (кроме себя самой и единичного элемента) называется простой. Группа не простая, так как инвариантна (\,H). Полупростой называется группа у которой все инвариантные подгруппы неабелевы.

Если инвариантная подгруппа группы , а инвариантная подгруппа группы , то в общем случае не является инвариантной подгруппой группы (хотя конечно является подгруппой ). Т.е. инвариантность подгрупп не обладает транзитивностью.

Циклическая группа </math>C_nD_nn>3C_{n,m}$, задав её при помощи определяющих соотношений:

Эта группа имеет порядок и является абелевой, с двумя порождающими элементами. Например:

Sym tbl04.png

Для наглядности, мы не стали вводить имена для двух новых элементов и , оставив в таблице только производящие элементы. Хорошо видно, что эта группа симметрична относительно главной диагонали (из левого верхнего угла в правый нижний).

Аналогично можно определить абелеву группу с тремя, и т.д. порождающими элементами. Они имеют наглядное представление в виде дисков открывающих замок в сейфе или камере хранения. Так, элементы группы могут быть представлены при помощи следующих картинок (два диска замка нарисованы один в другом):


C23.png

Вращение дисков независимы друг от друга, и это собственно и приводит к абелевости группы. Если мы имеем дисков, с количеством цифр ,...,, то порядок такой группы будет равен . Любой элемент группы раскладывается на коммутирующие множители порождающих элементов: , где .

Эти группы покрывают все возможные абелевы группы. Простые циклические группы являются их вырожденным случаем, когда порождающий элемент единственен или взаимопростые.

Две группы называются изоморфными, если с точностью до переобозначения элементов их таблицы умножения совпадают. Сравним таблицы группы и циклической группы (см. ниже). Так как порядки порождающих элементов взаимопростые, можно сделать такие соответствия от группы к группе : и (их 2-я и 3-я степени дают единичный элемент). Аналогично , и т.д. В результате между элементами групп и устанавливается взаимооднозначное соответствие, сохраняющее групповое умножение, что обозначается следующим образом: . Это соответствие записано ниже справа в виде функции:

Sym tbl05.png

Две группы и является гомоморфными если существует соответствие между их элементами, т.е. всюду определённая функция из в : сохраняющая умножения: Множество называется образом отображения: . Иногда пишут . Если функция имеет обратную, т.е. соответствие взаимно-однозначно, то это изоморфизм. Поэтому изоморфизм является частным случаем гомоморфизма, когда отображение групп существует в обе стороны. Наглядно это можно представить в следующем виде:

Isom gom.png

В качестве примера рассмотрим множество несингулярных (с ненулевыми определителями) матриц x. Они имеют обратные, а, следовательно, их умножение удовлетворяет групповым аксиомам. Определитель произведения устанавливает гомоморфное отображение из группы матриц в группу ненулевых вещественных чисел.

Множество элементов переходящих при гомоморфизме в единичный элемент называется ядром гомоморфизма и обозначается . В примере с матрицами ядром является множество всех матриц с единичным определителем. Они образуют группу .


Что такое симметрия? << Оглавление (Последняя версия в: Глава 6) >> Группа перестановок

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии