Прецессия ускоренного стрежня

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
Ускоренное движение << Оглавление (Глава 2) >> Четырёхмерное пространство-время

В 1926 г. Люэлин Хиллет Томас \cite{Thomas1926} для объяснения расщепления линий в спектрах атомов рассмотрел движение по криволинейной траектории вращающегося шарика. Такой шарик представлял собой классическую модель электрона. Томас учёл релятивистский кинематический эффект поворота системы координат, возникающий при композиции лоренцевских преобразований, и получил правильные коэффициенты в гамильтониане взаимодействия электрона с электромагнитным полем. Математику такого поворота мы рассмотрим в 5-й главе.

В настоящее время классическая модель электрона имеет только историческое значение, а правильный гамильтониан получается в квантовой теории из уравнения Дирака. Тем не менее, релятивистский эффект поворота ускоренного движущегося стержня или собственного момента вращения гироскопа представляет определённый интерес. В этом разделе мы рассмотрим движение по произвольной траектории стержня, а вопросы, связанные с гироскопом, отложим до следующей главы. Стоит отметить, что уравнения, которые мы выведем, отличаются от томасовских, так как в последних было учтено вращение системы отсчёта, но проигнорировано лоренцевское сокращение длины \cite{Stepsnov_Thomas}.

Пусть стержень движется с небольшим ускорением (но, возможно, с большой скоростью) так, что его условно можно считать жёстким. Если на такой стержень действует сила (но не момент силы), то с точки зрения классической механики он должен перемещаться в пространстве, не меняя своей ориентации. В теории относительности это не так.

Рассмотрим неподвижный относительно системы отсчёта стержень, один конец которого находится в начале системы (точка далее на рисунке). Пусть другой, "точно такой же" стержень движется относительно него с небольшой постоянной скоростью так, что в момент времени оба стержня совпадают. Можно считать, что существует один стержень, все точки которого в момент времени одновременно приобретают одинаковую скорость . Такой стержень ускоряется, перемещаясь параллельно относительно своего предыдущего положения.

Относительно системы в момент времени концы стержней в точке и начала систем отсчёта совпадают. Однако, в силу относительности одновременности, вторые концы стержней совпадать не будут. Для неподвижных наблюдателей они оказываются повёрнутыми вокруг точки . Точно так же будет выглядеть изменение стержня, который приобретает дополнительную скорость , сдвигаясь параллельно себе (с собственной точки зрения).

Найдём величину изменения радиус-вектора, связанного со стержнем.


Main0.png

Траектории точки, движущейся с постоянной скоростью в системах и , имеют вид:

Подставим их в обратные преобразования Лоренца (), стр.\pageref{lorenz_vec0}:

(EQN)
(EQN)

В левую часть уравнения () подставим время из () и сгруппируем слагаемые при :

Это соотношение выполняется при любом , если его левая и правая части равны нулю. В результате получается связь скоростей (), стр.\pageref{transf_u_vec0}, и начальных положений:

(EQN)

В момент времени точки первого и второго стержня совпадают и находятся в началах систем отсчёта (). Точка первого стержня имеет скорость и . Поэтому из () следует, что в момент времени в системе она имеет координаты:

(EQN)

Это соотношение совпадает с (), стр.\pageref{shape_coord_sys}, при .

Точка второго стержня имеет скорости и . Из () получаем её положение в момент в системе :

(EQN)

Вычитая из () уравнение (), мы получим изменение положения точки относительно точки (смещение конца второго стержня относительно первого) для наблюдателей в системе .

Введём вектор , соединяющий концы стержня и . Так как радиус-вектор точки нулевой, имеем . После изменения стержнем скорости в () . Поэтому:

(EQN)
где — положение точки стержней в системе . Во втором равенстве, c учётом (), стр. \pageref{shape_coord_sys1}, подставлено . Вводя вектор 3-мерного ускорения , окончательно приходим к уравнению: \parbox{7.5cm}{
<center>V a s r.png

} \parbox{8cm}{

(EQN)

} </center> Так как точки обоих стержней совпадали, в уравнении () производная по времени от имеет смысл скорости изменения ориентации и длины стержня (изменение положения точки относительно ). Сама же точка независимо движется с переменной скоростью . Предлагается самостоятельно ( H) восстановить в () константу "".

Рассмотрим несколько частных случаев ускоренного движения. Ниже на рисунке представлены различные ориентации стержня, скорости и ускорения. В первых двух случаях поворота стержня не происходит.

Variants.png

Например, если стержень перпендикулярен скорости (), то при изменении её величины (но не направления) стержень не изменит ни ориентации, ни длины. Так и должно быть. В этом случае все точки стержня одновременно изменяют свою скорость как в системе , так и в системе , а поперечные к скорости расстояния неизменны. Поэтому, если в начинают сдвигать (ускорять) вертикальный стержень в горизонтальном направлении, то он поворачиваться не будет. Аналогично, если в движущейся в горизонтальном направлении системе отсчёта вверх поднимают вертикальный стержень, то он также не должен повернуться (оба его конца имеют совпадающие координаты ). Однако, если в системе оба конца горизонтального стержня поднимают вверх, то в системе концы поднимутся неодновременно и возникнет поворот (). Его угол можно ( H) также получить из соображений относительности одновременности.

Полученное уравнение () справедливо только при небольшом ускорении стержня, когда его можно считать жёстким. В этом случае в каждый момент времени со стержнем связывается "мгновенно инерциальная" (сопутствующая) система отсчёта. В рамках такого предположения и получено уравнение (). Рассмотрим равноускоренное движение стержня, когда скорость и ускорение направлены вдоль стержня. Пусть один из концов стержня движется со следующими скоростью и ускорением:

где — некоторая константа (собственное ускорение). Длина стержня удовлетворяет уравнению:

Интегрируя его с начальным условием , получаем:

(EQN)

Это выражение совпадает с мгновенным лоренцевским сокращением движущегося со скоростью стержня.

Как мы увидим в шестой главе, посвящённой неинерциальным системам отсчёта, физика в ускоренной системе выглядит "хитрее", чем физика в последовательности сопутствующих к ней инерциальных систем. В частности, если ускоренно движущиеся наблюдатели "выдерживают" одинаковое расстояние друг между другом, время у них будет идти по-разному. Стержень, связанный с такой системой, относительно неподвижных наблюдателей изменяет свою длину следующим образом:

где приближенное равенство записано для малых . Видно, что это соотношение стремится к мгновенному лоренцевскому сжатию () только при . Это приближение будет справедливым при относительно небольшом ускорении (точнее, при , где восстановлена скорость света ). Именно эта комбинация длины стержня, скорости и ускорения должна быть мала, чтобы можно было не учитывать "эффекты неинерциальности" и пользоваться уравнением (). Впрочем, для метрового стержня, движущегося со скоростью , имеем достаточно большое значение .

Рассмотрим теперь движение начала системы отсчёта по окружности радиуса с постоянной по модулю скоростью . При периоде обращения скорость равна , где — круговая частота. Модуль ускорения равен .

Thomas.png

Вектор ускорения всегда перпендикулярен вектору скорости . Если — постоянный единичный вектор, нормальный к плоскости орбиты, то справедливы следующие соотношения:

(EQN)

Запишем уравнение () и умножим его на :

(EQN)

Дифференцируя это уравнение по времени:

и подставляя , получаем осцилляторное уравнение:

со следующим решением:

(EQN)

где нулевой индекс помечает начальное значение скалярного произведения в момент времени , а значение при записано при помощи уравнения ().

Умножая теперь () на ускорение и учитывая (), получаем:

Правая часть известна (), поэтому уравнение легко интегрируется:

(EQN)

Таким образом, относительно подвижного базиса, построенного на векторах , , конец стержня вращается с угловой скоростью .

Найдём зависимость координат конца стержня относительно его начала в неподвижной системе отсчёта. Пусть стержень движется по окружности против часовой стрелки . Тогда компоненты скорости и ускорения равны:

В момент времени имеем , , поэтому , и решения (), () приводят к системе:

Из этого решения следует, что длина стержня восстанавливается в моменты времени , где ( H). Если — рациональное число, то конец стержня будет описывать правильный -угольник. При этом равно несократимой дроби . При малых скоростях после каждого оборота по окружности стержень поворачивается на малый угол \cite{Stepsnov_Thomas}.

Ниже изображены траектории конца стержня относительно его начала при различной скорости движения по окружности и начальной ориентации. В собственной системе отсчёта стержень имеет единичную длину. Левая картинка соответствует одному обороту по окружности, и 24 точки идут с равным шагом по времени. Правая картинка — это результат 10 оборотов по окружности. Движение начала стержня начинается из положения часовой стрелки на 3 часа. Вращение стержня всегда происходит в противоположную сторону от направления вращения по окружности. \includegraphics{pic/thomas_cicle.eps}


Ускоренное движение << Оглавление (Глава 2) >> Четырёхмерное пространство-время

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии