Прецессия Томаса/Уравнение для стержня

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск

Версия для печати: pdf


Лоренцевское сокращение << Оглавление >> Неинерциальные системы отсчёта

Пусть в НИСО находится стержень, один из концов которого (точка ) расположен в начале системы отсчёта. Это начало НИСО движется с переменной скоростью и ускорением относительно неподвижной (лабораторной) системы . Стержень перемещается параллельно с точки зрения наблюдателей в мгновенно сопутствующей к стержню ИСО. Нас интересует: как такое движение выглядит для наблюдателей в системе ? Для них положение второго конца стержня (точка ) относительно точки будет изменяться. Что бы описать это изменение можно рассмотреть две ИСО и , сопутствующих к НИСО, учесть вигнеровское вращение и результаты предыдущего раздела (см. приложение B). Однако в этом разделе мы будем использовать более простые рассуждения.

Рассмотрим неподвижный относительно ИСО стержень, один конец которого находится в начале системы (точка на рисунке 6). Пусть другой "точно такой же" стержень движется относительно первого с небольшой постоянной скоростью (относительно ) так, что в момент времени все точки обоих стержней совпадают. Можно считать, что второй стержень эквивалентен первому стержню, который в момент времени (в системе ) приобрел небольшую поступательную скорость в произвольном направлении. Разница ориентации этих двух стержней для наблюдателей в лабораторной системе даст требуемый поворот ускоренно движущегося стержня.

Пусть система отсчёта движется относительно "неподвижной" системы отсчёта со скоростью . В момент времени концы стержней в точке и начала систем отсчёта и совпадают. Однако, в силу относительности одновременности, вторые концы стержней (точки ) совпадать не будут (хотя это так в системе ). Для неподвижных наблюдателей в стержни оказываются повёрнутыми вокруг точки .


Main0.png
Рисунок 6. Левый рисунок выполнен с точки зрения наблюдателя в системе , в которой находятся два совпадающих при стержня, один из которых неподвижен, а второй движется со скоростью . На правом рисунке для наблюдателей в стержни не совпадают.

Уравнения движения некоторой точки, имеющей постоянную скорость в системах и , имеют вид:

(16)

Найдём связь скоростей , и начальных положений , точки в момент времени и соответственно. Подставим уравнения движения в обратные преобразования Лоренца (9):

(17)
(18)

В левую часть уравнения (18) подставим время из (17) и сгруппируем слагаемые при :

(19)

Это соотношение выполняется при любом , если его левая и правая части равны нулю. В результате приходим к известной формуле сложения скоростей:

(20)

и получаем связь начальных положений точки в двух системах отсчёта:

(21)

В момент времени точки первого и второго стержня совпадают и находятся в началах систем отсчёта (). Точка первого стержня имеет скорость и . Поэтому из (21) следует, что в момент времени в системе она имеет координаты:

(22)

где учтено (8). Как и следовало ожидать, это соотношение совпадает с (10) при .

Точка второго стержня имеет скорости и . Из (21) получаем её положение в момент в системе :

(23)

Вычитая из (23) уравнение (22), мы получим изменение положения точки относительно точки (смещение конца второго стержня относительно первого) для наблюдателей в системе . Значение точек для обоих стержней в системе одинаковы (стержни при совпадают).

Введём вектор , соединяющий концы стержня и . Так как радиус-вектор точки нулевой, имеем . После изменения стержнем скорости в (23) . Поэтому:

(24)

где — положение точки стержней в системе . Во втором равенстве, c учётом (11), подставлено . Вводя вектор 3-мерного ускорения , окончательно приходим к уравнению:

V a s r.png
(25)

Так как точки обоих стержней совпадали, в уравнении (25) производная по времени от имеет смысл скорости изменения ориентации и длины стержня (изменение положения точки относительно ). Сама же точка независимо движется с переменной скоростью .

В результате изменения скорости происходит как изменение длины стержня, так и его ориентации. Можно разделить эти два эффекта. Вводя длину стержня и единичный вектор в его направлении , из (25) несложно получить:

(26)

Из последнего уравнения следует, что угловая скорость поворота зависит от ориентации стержня . Это существенно отличает полученные уравнения от формулы Томаса (3).

При помощи уравнения (25) несложно проанализировать рассмотренное во введении изменение вертикальной скорости стержня, который движется в горизонтальном направлении. Если стержень перед началом ускорения был ориентирован горизонтально вдоль его скорости, то и угловая скорость поворота будет перпендикулярна рисунку. Угол поворота равен , где — приращение вертикальной составляющей скорости. Угол же поворота в соответствии с формулой Томаса составит и при малых скоростях оказывается в два раза меньше.

Если стержень ориентирован перпендикулярно к движению, то , и никакого поворота не будет. Этот же результат следует из соображений, основанных на относительности одновременности. Как отмечалось во введении, формула Томаса в этом случае, тем не менее, предсказывает вращение стержня.


Лоренцевское сокращение << Оглавление >> Неинерциальные системы отсчёта