Прецессия Томаса/Движение по окружности стержня

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск

Версия для печати: pdf


Неинерциальные системы отсчёта << Оглавление >> Момент импульса и спин

Рассмотрим теперь движение начала системы отсчёта по окружности радиуса с постоянной по модулю скоростью . При периоде обращения скорость равна , где — круговая частота. Модуль ускорения равен .


Thomas.png
Рисунок 8. Вращение стержня по окружности. На центральном рисунке, горизонтальный при , стержень после оборота по окружности () повернётся и станет короче. На последнем рисунке этот же стержень при расположен вертикально и после оборота удлиняется.

При равномерном движении по окружности ускорение всегда перпендикулярно скорости (), и справедливы следующие соотношения:

(33)

где — постоянный единичный вектор, нормальный к плоскости орбиты.

При помощи этих соотношений и уравнения (25):

(34)

несложно получить следующие уравнения:

(35)

По-отдельности величины и удовлетворяют уравнениям:

(36)

Поэтому решения (34) при движении по окружности имеют вид:

(37)

где нулевой индекс помечает начальное значение скалярных произведений в момент времени , а значение производных при записано при помощи уравнений (35).

Таким образом, относительно подвижного базиса, построенного на векторах , , конец стержня вращается с угловой скоростью .

Найдём зависимость координат конца стержня относительно его начала в неподвижной системе отсчёта. Пусть движение по окружности происходит против часовой стрелки. Координаты начала стержня при этом равны: . Поэтому компоненты скорости и ускорения имеют вид:

(38)

В момент времени имеем , , поэтому , и решения (37) приводят к системе:

(39)

Сумма квадратов уравнений даёт квадрат длины стержня . Если угол с осью при равен и , , то:

(40)

где , .

При помощи соотношения (11), можно найти связь начальной длины стержня в неподвижной системе с собственной длинной стержня :

(41)

Длина восстанавливается () в моменты времени , где Если — начальная ориентация стержня, то через время его угол будет таким, что , или . Начало стержня движется против часовой стрелки. При этом стержень поворачивается по часовой стрелке, поэтому отрицательно, и необходимо выбрать . Таким образом, минимальный угол поворота, при котором длина стержня восстанавливается, по модулю равен:

(42)

Если — рациональное число, то конец стержня будет описывать правильный -угольник. При этом равно несократимой дроби .

После оборотов по окружности () координаты конца стержня будут равны:

(43)

При малых скоростях , поэтому:

(44)

Таким образом, после каждого оборота по окружности () стержень поворачивается на малый угол .

К такому же результату при малых скоростях приводит и формула Томаса (3), для которой . Подобное совпадение решений уравнений (3) и (25) происходит только при малых скоростях и в случае равномерного движения по окружности.

Если же скорости большие, то угол поворота зависит от начальной ориентации стержня (начинает сказываться лоренцевское сокращение длины). При одном обороте по окружности (), стержень повернётся на угол , где :

(45)

В ультрарелятивистском случае , множество раз повернувшись, стержень отклонится от первоначального положения на угол для целых и полуцелых и на в остальных случаях.

На рисунках 9 - 12 изображены траектории конца стержня относительно его начала (расположенного в центре графика) при различной скорости движения по окружности. В собственной системе отсчёта стержень имеет единичную длину. Левая картинка соответствует одному обороту по окружности и 24 точки идут с равным шагом по времени. Правая картинка — это результат 10 оборотов по окружности. Движение начала стержня начинается из положения часовой стрелки на 3 часа.

Вращение стержня всегда происходит в противоположную сторону от направления вращении по окружности. Если начало стержня движется против часовой стрелки, то его конец — по часовой. Горизонтальный стержень () при изменении скорости сначала укорачивается, а вертикальный (), наоборот, начинает с удлинения, так как длина минимальна, когда стержень направлен по скорости. На рисунке 10 приведен пример иррационального значения . Конец стержня при движении постепенно заполняет на плоскости кольцо с радиусами и , где — собственная длина стержня.


Thomas3.png
Рисунок 9. , ; .


Thomas2.png
Рисунок 10. , ; .


Thomas7.png
Рисунок 11. , ; .


Thomas4.png
Рисунок 12. , ; .

Неинерциальные системы отсчёта << Оглавление >> Момент импульса и спин