Прецессия Томаса/Введение

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск

Версия для печати: pdf


Прецессия Томаса << Оглавление >> Преобразования Лоренца

Прецессия Люэлина Хиллета Томаса [1] была введена в 1926 г. с целью объяснения спинового расщепления линий в спектрах атомов. В настоящее время последовательное построение гамильтониана для электрона, находящегося в электромагнитном поле, осуществляется при помощи уравнения Дирака. Тем не менее, кинематический эффект специальной теории относительности, учтённый Томасом, имеет самостоятельное значение. Существует обширная литература, посвящённая томасовской прецессии, прекрасный обзор которой можно найти в недавней статье [2].

Рассмотрим вращающийся гироскоп (волчок), к которому приложена сила, изменяющая скорость его поступательного движения. Если момент силы отсутствует, то в классической механике гироскоп при движении в пространстве будет сохранять направление вектора собственного момента импульса. В теории относительности преобразования Лоренца, в общем случае, не коммутативны. Это приводит к повороту момента импульса (прецессии) при изменении гироскопом скорости.

Похожую задачу можно сформулировать для небольшого стержня, движущегося по криволинейной траектории. Если его ускорение (но не скорость) невелико, то стержень можно считать условно жёстким. В качестве такого стержня может выступать одна из осей системы отсчёта, начало которой движется с переменной скоростью. Предположим, что при изменении скорости все точки стержня переносятся параллельным образом с точки зрения наблюдателей в мгновенно сопутствующей стержню инерциальной системе отсчёта (ИСО). В этом случае для наблюдателей в "неподвижной" (лабораторной) системе отсчёта поступательное движение стержня будет сопровождаться его поворотом.

Для вычисления величины поворота в поставленных задачах неинерциальная система отсчёта (НИСО), связанная с гироскопом или стержнем, аппроксимируется сопутствующими ИСО в моменты времени и . Пусть — это лабораторная система отсчёта, — сопутствующая ИСО, имеющая относительно скорость , а — сопутствующая система в следующий момент времени , движущаяся относительно со скоростью (рис.1). Предполагается, что относительно система перемещается поступательно со скоростью .

Обозначим через матрицу буста (лоренцевского преобразования без вращения), а через — матрицу 3-мерного вращения декартовых осей вокруг единичного вектора на угол .

Выполнение последовательных преобразований от к со скоростью и от к со скоростью эквивалентно композиции буста и следующего за ним поворота (см. приложение А):

(1)

где параметры бесконечно малого поворота, называемого вигнеровским вращением, равны:

(2)

а и связаны стандартным законом сложения скоростей. Здесь и далее — лоренцевский фактор, и выбрана система единиц, в которой скорость света . Последовательность умножения матриц обратна к последовательности выполняемых преобразований.

Wigner.png
Рисунок 1. Движение НИСО в моменты времени и аппроксимируется сопутствующими ИСО и . Два последовательных буста (от лабораторной системы к и затем к ) эквивалентны бусту от к и следующего за ним поворота.

Соотношение (2) лежит в основе общепринятого подхода к решению задач ускоренного движения гироскопа [2]- [3] или стержня (координатной оси НИСО) [2]. Для наблюдателей в и мгновенные положения, например, стержня параллельны друг другу. В силу вигнеровского вращения это будет не так для наблюдателей в лабораторной системе отсчёта. Иногда [4] поворот (2) интерпретируется как вращение НИСО относительно лабораторной системы отсчёта. Пусть — момент импульса гироскопа или вектор, направленный вдоль стержня. В результате поворота координатных осей меняются и любые векторы, неподвижные в НИСО: . Поэтому, вводя 3-мерное ускорение , можно записать:

(3)

Эту формулу получил Томас, а общеизвестный её вывод приводится в учебнике Мёллера [4].

Заметим, что вигнеровское вращение в (1) выполняется после лоренцевского буста со скоростью , переводящего в систему . Поэтому сопутствующая система повёрнута на угол (2) относительно , и интерпретация этого поворота относительно лабораторной системы требует определённой аккуратности. В частности в [5] предлагается учитывать замедление времени, что приводит к замене в числителе формулы (3). В этом случае, с точки зрения авторов работ [2],[5], уравнение (3) выполняется относительно лабораторной системы отсчёта.


Прецессия Томаса имеет простые физические основания. Рассмотрим стержень, расположенный "горизонтально" вдоль направления своего движения. Пусть наблюдатели в системе , связанной со стержнем, одновременно сообщают всем точкам стержня скорость в вертикальном направлении (рис.2a). Для "неподвижных" наблюдателей в горизонтальная скорость стержня не изменится, а вертикальная окажется отличной от нуля. Поэтому стержень получает ускорение , перпендикулярное к его скорости . В соответствии с уравнением (3) в момент получения ускорения должен возникнуть поворот стержня (). С физической точки зрения в основе этого эффекта лежит относительность одновременности двух событий. Если движущиеся наблюдатели одновременно начинают "поднимать вверх" левый и правый концы стержня, то эти два события будут неодновременны для неподвижных наблюдателей. Для них правый конец стержня начнёт подниматься позже левого, что в лабораторной системе будет выглядеть как поворот (рис.2b).

Variants.png
Рисунок 2. Стержень, движущийся в горизонтальном направлении приобретает вертикальную компоненту скорости. Первая картинка для горизонтального стержня выполнена "с точки зрения" наблюдателей, связанных со стержнем, вторая — для "неподвижных" наблюдателей в лабораторной системе отсчёта. На третьей картинке аналогичное ускорение получает вертикально ориентированный стержень.

Однако, в общем случае, уравнение (3) неверно описывает поведение ускоренно движущегося стержня. Из (3) следует, что такой же поворот должен произойти и для вертикально ориентированного стержня (рис.2c). В этом случае события начала смещения нижнего и верхнего конца стержня происходят на линии, перпендикулярной к скорости. Поэтому они одновременны для наблюдателей в обоих системах. Следовательно, отсутствует физическая причина к повороту в начальный момент времени (когда ускорение появилось, но скорость ещё не изменилась и перпендикулярна стержню). Тем не менее, формула Томаса предсказывает поворот стержня и в этом случае.

Похожие аргументы можно привести относительно собственного момента импульса вращающегося гироскопа. Пусть неподвижный (но вращающийся) гироскоп начинают с ускорением перемещать вдоль прямой таким образом, что векторы и всё время остаются параллельными. Тогда правая часть уравнения (3) будет равна нулю. Отсюда следует, что компоненты момента импульса гироскопа не изменяются при увеличении им скорости. Однако при этом гироскоп оказывается в движущейся ИСО (после прекращения ускорения). В силу преобразований Лоренца для момента импульса, его компоненты должны отличаться от исходных в лабораторной системе отсчёта.

Наконец, обратимся к эксперименту. Прецессия гироскопа, находящегося в гравитационном поле и движущегося под воздействием дополнительной внешней силы, описывается уравнением переноса Ферми [6]. Если отвлечься от гравитационных эффектов и записать это уравнение в трёхмерном виде в пространстве Минковского (см. раздел 8), то изменение вектора спина при ускоренном движении гироскопа будет иметь вид:

(4)

Несложно видеть, что это уравнение существенно отличается от уравнения Томаса (3).

На наш взгляд замедление времени — не единственный релятивистский эффект, который необходимо учитывать для записи вращения НИСО относительно лабораторной системы отсчёта. Как мы увидим ниже, важную роль при описании движения стержня, играет лоренцевское сокращение длины. Координатные оси двух ИСО параллельны друг другу, только если относительное движение происходит вдоль одной из координатных осей. Если же вектор скорости имеет произвольное направление, то оси движущейся ИСО для "неподвижных" наблюдателей не только не ортогональны, но и определённым образом повёрнуты относительно осей лабораторной системы отсчёта. Поэтому, если скорость системы отсчёта меняется, дополнительно к вигнеровскому вращению возникает поворот и изменение длин векторов.

Кроме этого, при обсуждении вигнеровского поворота, обычно предполагается, что все 3-мерные векторы поворачиваются одинаковым образом при изменении скорости НИСО. Это было бы так для обычного поворота неподвижной декартовой системы координат. Однако нас интересует изменение векторов, движущихся относительно лабораторной системы. В этом случае необходимо учитывать свойства этих векторов по отношению к преобразованиям Лоренца. Например, проекции спина (собственного момента вращения) являются пространственными компонентами 4-вектора. Полный момент импульса -- это три из шести компоненты 4-тензора. Разность радиус-векторов к началу и концу стержня это тоже 3-вектор. Все эти векторы одинаково ведут себя по отношению к 3-мерным вращениям, но абсолютно по разному по отношению к преобразованиям Лоренца. Это приводит к тому, что различные физические величины, выражаемые через 3-мерные векторы будут иметь различные уравнения для своего изменения.

Таким образом, существует необходимость в прояснении ряда вопросов, связанных с кинематическими эффектами специальной теории относительности, которые приводят к прецессии Томаса.

Мы рассмотрим процедуру согласования единиц измерения наблюдателями в двух ИСО, в результате которой координатные оси систем ориентируются "параллельным" образом. Затем будут получены выражения для поворота координатных осей движущейся ИСО с точки зрения неподвижных наблюдателей, если они фиксируют их положение в данный момент времени. Мы выведем уравнение, описывающее поворот ускоренно движущегося стержня, который при изменении скорости перемещается параллельно с точки зрения наблюдателей в сопутствующих ИСО. Во второй части статьи будут получены уравнения, описывающие прецессию спина (собственного момента импульса) гироскопа, движущегося по криволинейной траектории.

Примчания

  1. Thomas L. H. — "Motion of the spinning electron", Nature, 117, 514 (1926)
  2. 2,0 2,1 2,2 2,3 Малыкин Г. Б. — "Прецессия Томаса: корректные и некоректные решения", УФН 176, 8, c.865-882, (2006).
  3. Джексон Д. — "Классическая электродинамика", М. Мир. с.702, (1965)
  4. 4,0 4,1 Мёллер К. — "Теория относительности", М. Атомиздат. с.400, (1975)
  5. 5,0 5,1 Ритус В. И. — "О различии подходов Вигнера и Мёллера к описанию прецессии Томаса", УФН 177, 8, c.105-112 (2007)
  6. Вейнберг С. — "Гравитация и космология", М.:Мир (1975)



Прецессия Томаса << Оглавление >> Преобразования Лоренца