Преобразования координат

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
Равноускоренная система отсчёта << Оглавление (Последняя версия в: Глава 4) >> Вращающаяся система отсчёта

Найдём преобразования координат и времени некоторого события, наблюдаемого в инерциальной и неинерциальной системах отсчёта. При этом — это результаты измерений наблюдателя, находящегося в (первый корабль). Пусть событие происходит в удалённой от него точке, например, возле второго корабля, расстояние до которого известно из радиолокационных измерений и будет принято им за координату события в . Будем считать, что, как только произошло событие в момент времени (по часам второго корабля), на первый корабль посылается световой сигнал:

Niso event.png

С учётом корректировки на время распространения сигнала (), его время по часам первого корабля равно . С другой стороны, время второго корабля связано со временем события в инерциальной системе отсчета следующим образом:

где во втором равенстве подставлено и . Координата события в совпадает с координатой второго корабля ():

В результате, преобразования между инерциальной и неинерциальной системами отсчёта можно записать в следующем виде:

(EQN)

Эти преобразования получил Кристиан Мёллер \cite{Myelller1987}, рассматривая последовательность инерциальных систем отсчета сопутствующих неинерциальной. При этом использовалась другая параметризация координаты:

(EQN)

в которой . Фактически это лишь иной способ нумерации точек пространства в неинерциальной системе .

Преобразования () имеют немного иной смысл по сравнению с преобразованиями между двумя инерциальными системами. У наблюдателей в данной инерциальной системе отсчёта существует единое синхронизированное время и преобразования Лоренца одинаковы для всех таких наблюдателей. В силу этого, обычно, в каждой инерциальной системе отсчёта представляют по одному наблюдателю, которые "размазаны" по всему пространству. В неинерциальной системе каждый наблюдатель обладает своим собственным временем. Об удалённых событиях он может судить только получая некоторую информацию от наблюдателя, который реально регистрирует событие, находясь в точке где оно произошло. Поэтому
преобразования () относятся к конкретному неинерциальному наблюдателю и произвольному инерциальному.

Преобразования () несложно обратить:

(EQN)

То, что прямые и обратные преобразования имеют различную функциональную форму, является отражением неравноправности инерциального и неинерциального наблюдателей. В качестве упражнения (\,H) предлагается найти скорость точки (начало системы ) в системе и убедиться, что она совпадает со скоростью точки относительно системы .

Запишем интервал между событиями в координатах неинерциального наблюдателя. Подставляя () в , имеем:

(EQN)

Распространение света соответствует нулевому интервалу: (стр.\,\pageref{bk_h_ds_inv}). Если свет движется вдоль оси , то его траектория в координатах является линейной функцией. Именно это и закладывалось в определение радиолокационного расстояния . Если использовать координату () то получится интервал Мёллера:

(EQN)

Отличие интервалов () и () состоит в различном способе "нумерации" точек пространства неинерциальной системы отсчета. В первом в качестве координат кораблей используется радиолокационные расстояния, измеренные наблюдателем в начале системы координат. Во втором — координаты точек совпадают с начальными координатами в инерциальной системе в момент старта кораблей.

Выясним смысл сингулярности, возникающей в (), когда аргумент логарифма обращается в ноль. Для наблюдателя в события, расположенные по ходу движения , соответствуют в системе области . События в обратном направлении видны только, если . Действительно, событие будет видимым, если вспышка света, произошедшая в , "догонит" наблюдателя на первом корабле в момент времени . Это происходит, когда уравнение:

имеет решение относительно времени прихода . Несложно проверить, что при время обращается в бесконечность. При равноускоренном движении наблюдатели могут "убегать" от происходящих событий, так как постоянно увеличивают свою скорость (хотя она всё время остаётся меньше единицы). Поэтому события, находящиеся сзади далее, чем точка , в системе видны не будут:

Acsel is.png

Определим горизонт событий, как линию (поверхность), ограничивающую в пространстве событий область видимых событий данным наблюдателем системы отсчета . Для описания горизонта событий требуется две системы отсчёта — , имеющая более широкое множество событий, чем события, видимые во второй системе . Из () следует, что предельная видимая точка сзади от корабля имеет в системе координату На плоскости можно нарисовать сетку линий (выше второй рисунок), соответствующих постоянным значениям (одновременные в события) и постоянным значениям . Их уравнения имеют вид:

(EQN)

После старта корабля, его наблюдатель видит, что сзади него распространяется "волна" постепенного покраснения частоты излучения источников света (стр.\,\pageref{acsel_ref_sys_times}). Это покраснение тем сильнее, чем дальше от него находятся источники. Заметим, что о горизонте наблюдатель никогда не узнает, т.к. волна покраснения достигнет горизонта только при .

Найдём преобразования в ситуации, когда равноускоренная система начала ускоряться, уже имея некоторую скорость . Введём три системы отсчёта: "неподвижную" , инерциальную , движущаяся равномерно со скоростью относительно и , которая начинает двигаться равноускоренно относительно с нулевой начальной скоростью так, как это было описано выше. Имеем два последовательных преобразования координат и времени:

где , и в момент времени начала систем совпадали. Исключая , получаем:

(EQN)

где , , . В качестве упражнения (\,H ) стоит найти нерелятивистское приближение к ().

Несложно проверить, что преобразования () снова приводят к интервалу (). Таким образом, все равноускоренные системы отсчета, независимо от их начальной скорости , имеют один и тот же интервал. В общем случае, по определению:
системы отсчета являются равноправными, если они имеют одинаковую функциональную форму интервала.
Естественно в это определение "равноправности" попадает и вся совокупность инерциальных систем отсчета, так как преобразования Лоренца оставляют форминвариантным интервал (т.е. не изменяют его функциональной формы). Равноускоренная и инерциальные системы не равноправны, так как интервалы между двумя событиями в этих системах отсчета различны (в дальнейшем мы уточним это определение).

Запишем также трансляционные преобразования в равноускоренной системе отсчета. В координатах Мёллера между вторым () и первым кораблем () они имеют вид:

Подставляя их в интервал (), получаем: где . Этот результат вполне ожидаем. Собственное ускорение второго корабля равно , поэтому и интервал в координатах наблюдателя на втором корабле должен зависеть именно от , вместо для интервала () в координатах первого корабля.



Равноускоренная система отсчёта << Оглавление (Последняя версия в: Глава 4) >> Вращающаяся система отсчёта

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии