Представления групп

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
Еще немного определений << Оглавление (Последняя версия в: Глава 6) >> Линейные преобразования

Группа — это абстрактное множество элементов на котором задана бинарная операция, удовлетворяющая соответствующим аксиомам. Представлением группы является реализация этого множества при помощи тех или иных математических объектов. Матричным представлением (далее просто представлением) группы называется множество матриц фиксированной размерности, произведение которых воспроизводит групповую таблицу умножения. Более точно, если — элемент группы, — ему обратный, — единичный элемент, а матрица, которая ставится в соответствие элементу , то

(EQN)

Представление называется точным, если множество матриц изоморфно множеству элементов группы (каждому элементу соответствует матрица и все эти матрицы различны). Гомоморфное отображение (нескольким элементам группы соответствует одна матрица) также считается представлением группы.

Матрицы x являются линейными операторами, которые могут действовать (умножаться) на вектор (столбик из элементов), в результате чего будет получаться новый столбик (по сумма от 1 до ):

Подобные линейные операторы можно реализовать и более сложными конструкциями, чем матрицы конечной размерности. Однако мы ограничимся именно этим классом представлений.

Если задано некоторое представление размерности (матрицы x), то при помощи некоторой несингулярной матрицы () той же размерности всегда можно построить другое представление:

(EQN)

Несложно видеть, что подобное преобразование сохраняет групповое умножение:

поэтому матрицы также являются представлением группы . Представления связанные преобразованием () называются эквивалентными. Если же два представления не могут быть связаны (), то они неэквивалентны. Подчеркнем, что в () для всех матриц данного представления используется одна и та же матрица .

Рассмотрим дискретную неабелеву группу (стр.\,\pageref{group_D3_pic}):

Sym repres.png

Элементы этой группы можно представить как операции переворота треугольника, которые сохраняют его положение в пространстве. Свяжем с треугольником декартову систему координат . Элемент группы соответствует повороту на вокруг оси . Его можно записать при помощи матрицы вращения (стр.\,\pageref{rotate_XY}) на угол . Аналогично запишем матрицу , поворота на двойной угол :

Переворот вокруг оси (элемент ) изменяет ориентацию осей и . Оставшиеся две матрицы можно получить при помощи перемножения уже записанных матриц, так как и :

Эти 6 матриц имеют таблицу умножения совпадающую с групповой таблицей . Если мы перейдём от матриц 3x3 к матрицам 2x2, отбросив последнюю строчку и колонку, то получим множество из 6 различных матриц, которое снова изоморфно группе и также является её представлением

Эта же группа допускает неточное представление при помощи следующего гомоморфного отображения:

Матрицами в этом случае выступают просто числа. Несмотря на "потерю" информации, такое представление удовлетворяет определению (). Например: . Понятно, что обычная единица 1 является неточным представлением любой группы.

В примере с группой мы построили 4 представления: матрицы 3x3, матрицы 2x2 и одномерные представления и . Посмотрим ещё раз на матрицы 3x3. Они состоят из диагональных блоков 2x2 и 1x1. Каждый из этих блоков снова является представлением группы. Говорят, что представление вполне приводимо, если все его матрицы можно представить в эквивалентном блочно-диагональном виде:

где - матрицы, вообще говоря, различной размерности.

Иногда, чтобы обнаружить приводимость представления необходимо выполнить преобразование . Если ни при какой матрице блочно-диагональный вид для всех матриц представления не получается, то говорят, что представление неприводимо. Блоки в матрицах 3x3 приводимого представления группы являются матрицами неприводимых представлений.

Представление будет также приводимым, если нулю равен только нижний левый блок матриц:

Если матрицы и/или приводимы, то для них можно получить аналогичную блочную конструкцию, и т.д. Разберемся, почему эта матрица является приводимой. Например, для матриц 3x3 запишем:

В результирующей матрице диагональные блоки 2x2 и 1x1 состоят из тех же элементов, что и в соответствующих блоках исходных матриц. Поэтому эти блоки могут быть выбраны в качестве матриц представления меньшей размерности (звездочками отмечены два элемента содержащие смесь элементов из различных блоков).

Для матриц конечной размерности, если представление приводимо (нулевая матрица в левом нижнем углу), то оно будет и вполне приводимым (блочно-диагональные матрицы). Дальше мы будем рассматривать только блочно-диагональные матрицы, опуская слово "вполне".

Выяснение всех неприводимых представлений данной группы важно, так как с их помощью можно сконструировать любое приводимое представление. Разложение представления на неприводимые представления записывается следующим образом:

где — матрицы меньшей размерности, чем .

Векторы на которые действуют матрицы являются элементами векторного пространства . Для них определено коммутативное и ассоциативное сложение

и умножение вектора на число:

Кроме этого существует выделенный нулевой вектор , такой, что для любого вектора и умножение вектора на 1 его не меняет .

Вектор -мерного векторного пространства может быть записан в виде столбика из чисел . В векторном пространстве можно ввести базисных векторов по которым разложить любой вектор ( — числа):

Для можно выбрать

Матрицы являются линейными операторами (каждому вектору ставят в соответствие другой вектор ). Линейность означает, что:

Векторное пространство на которое действуют матрицы приводимого представления разбиваются на классы , , , ... число которых равно числу блоков на диагонали матриц. Внутри каждого класса происходят независимые преобразования подмножества компонент этих векторов на которые "действует" данный блок матрицы. Так, в примере с представление 3x3 следующим образом действует на векторы:

В случае приводимого представления векторное пространство и базис расщепляются на векторные подпространства меньшей размерности.

Эрмитовым сопряжением матрицы называется её транспонирование и комплексное сопряжение: Для эрмитового сопряжения, как и для транспонирования матриц, справедливо тождество . Унитарной называют матрицу , которая обратна своему эрмитовому сопряжению:

Для всех конечных групп и многих важных классов бесконечных групп матрицы представления можно выбрать унитарными. Это утверждение называется теоремой Машке. Действительно, пусть не являются унитарными. Выберем следующим образом:

где проводится суммирование по всем элементам группы, а корень понимается как матрица, квадрат которой даёт подкоренную матрицу. Для любой матрицы представления справедливо равенство:

где учтено, что , а произведение пробегает по одному разу все элементы группы (стр.\,\pageref{group_property}), тем самым снова давая матрицу . Умножая обе стороны этого равенства слева и справа на , получаем условие унитарности:

где учтено, что матрица по её построению эрмитова, т.е. .

В теории представлений важную роль играет лемма Шура (\,H):
Матрица коммутирующая со всеми матрицами неприводимого представления пропорциональна единичной: .

Выполняется также вторая лемма Шура. Пусть неприводимое представление размерности , а другое неприводимое представление размерности . Тогда, если некоторая прямоугольная матрица размерности x удовлетворяет уравнению

то эта матрица может быть только нулевой (все элементы нули).

Для неприводимого унитарного -мерного представления группы размерности справедливо условие ортогональности:

(EQN)

Если представление унитарно, то , и второй сомножитель под знаком суммы можно записать . Для доказательства () определим матрицу x:

где — произвольная матрица и суммирование ведется по всем элементам группы. Матрица коммутирует с любой матрицей представления (\,H). Поэтому, в силу леммы Шура: Положим все элементы матрицы нулю, за исключением фиксированного элемента . Запишем соотношение в индексных обозначениях:

(EQN)

Положим и просуммируем по всем значением индекса :

где учтено, что , поэтому под суммой стоит единичных матриц. С другой стороны, в правой части () при суммировании по получится . Поэтому для фиксированных индексов и имеем , что и дает .

В качестве упражнения стоит проверить условие ортогональности на неприводимом представлении размерности 2 для группы (стр.\,\pageref{sys_D3_Ta_T2}).

Если индексами и пометить различные представления, то справедливо также более общее свойство ортогональности:

(EQN)

где — размерность -того представления (матрицы x). Для доказательства, в матрице под суммой пишем . Тогда , откуда в силу второй леммы Шура .

След матриц (сумма диагональных элементов) инвариантен относительно преобразования :

Поэтому все эквивалентные представления имеют одинаковый след, который для матрицы обозначается как . Набор чисел

для всех элементов группы называется характером представления. Так как единичному элементу соответствует единичная матрицы, для представления размерности имеем .

Обозначим через характер матрицы —того представления для элемента группы . Используя () для унитарных матриц представления несложно получить условие ортогональности для характеров:

(EQN)

В силу определения классов эквивалентности (стр.\,\pageref{group_sec_defs_class}) элементы одного класса имеют одинаковый след . Пусть у группы есть классов содержащих по элементов. Тогда ортогональность характеров () записывается следующим образом:

(EQN)
Это соотношение можно рассматривать как условие ортогональности векторов , имеющих компонент. Таким образом, характер каждого представления является базисным вектором в -мерном комплексном векторном пространстве. В результате оказывается справедливой теорема:
Число неэквивалентных неприводимых представлений группы равно числу её классов эквивалентности.
Группа содержит 3 класса эквивалентности , . Поэтому она имеет 3 неприводимых представления. Для представления матриц 2x2 характеры равны:

Для представления числами : , и представление в виде одного числа : . Учитывая, что , и несложно проверить условие ортогональности характеров ().

Пусть приводимое представление содержит раз неприводимое представление (т.е. присутствует диагональных блоков такого вида). Кроме этого оно содержит раз представление и т.д. Беря след от такой матрицы, соответствующей элементу , получаем:

(EQN)

где — целые положительные числа. Чтобы найти коэффициенты , умножим это соотношение на и просуммируем по :

где мы воспользовались условием ортогональности (). Таким образом:

(EQN)

Зная мы знаем, сколько раз неприводимое представление содержится в приводимом представлении . Если два представления имеют одинаковый набор характеров, то для них коэффициенты одинаковы и следовательно эти представления эквиваленты.

Умножим теперь () на и просуммируем по классам эквивалентности (сумма по ):

где в первом равенстве для подставлено (). В неприводимом представлении все за исключением одного, равного 1 (т.е. матрица неприводимого представления 1 раз содержится "сама в себе"). Поэтому мы приходим к критерию неприводимости:

(EQN)

Таким образом, чтобы выяснить неприводимость представления необходимо найти классов эквивалентности, число элементов в них и вычислить характеры матриц представления (на самом деле можно не искать классы эквивалентности, а просто сложить квадраты следов всех матриц). Если сумма () равна порядку группы , значит представление неприводимо. Так, для матриц 2x2 представления группы сумма квадратов следов равна: следовательно это представление неприводимо (в группе 6 элементов).


Еще немного определений << Оглавление (Последняя версия в: Глава 6) >> Линейные преобразования

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии