Нелинейные преобразования

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
Группа Пуанкаре << Оглавление (Последняя версия в: Глава 6) >> Эрлангенская программа

Рассмотрим вектор переменных , которые мы будем называть далее координатами, и набор параметров определяющих в общем случае нелинейное преобразование:

Например, в одномерном случае преобразования трансляции и масштабирования (они линейны!) имеют вид:

Нас будут интересовать преобразования образующие непрерывную группу. Пусть при помощи параметров мы перешли в координатном пространстве от точки к , а затем, при помощи , от к . Пусть существует некоторое , которое позволяет сразу перейти от к :

(EQN)

Кроме этого, предположим, что существует единичное преобразование с параметром e, не изменяющее координат, и обратное, с параметром , которое возвращает преобразованное к исходному:

(EQN)

Для преобразований трансляции и масштабирования единичный параметр , а обратный .

Если число параметров меньше чем размерность пространства , то групповое преобразование имеет простую геометрическую интерпретацию. Так, при функция задаёт кривую в пространстве . Если зафиксировать "начальную" точку и начать изменять параметр , мы получим непрерывное множество точек образующих некоторую линию. Если взять другую точку в пространстве не лежащую на линии, мы получим другую кривую. Таким образом всё пространство "расслаивается" на множество подобных кривых.

Однако, нас интересуют не любые кривые заданные параметрическим образом, а лишь те, которые обладают свойством эквивалентности всех своих точек. В этом случае любая точка кривой может выступить в качестве "начальной", и при помощи одной и той же функции можно из неё "продолжить" кривую дальше. Подобным образом двухпараметрические группы при определяют некоторую поверхность, обладающую свойством симметрии (равноправия всех своих точек), и т.д.

Функция композиции параметров двух последовательных непрерывных преобразований является векторной, -компонентной функцией: . Она удовлетворяет таким же функциональным уравнениям как и в случае линейных преобразований (стр.\,\pageref{mat_group_def5}):

(EQN)

Без потери общности будем считать, что единичное преобразование соответствует нулевому значению параметров: . Как мы видели, в окрестности нуля эта функция имеет вид:

(EQN)

a антисимметричные по нижним индексам величины называются структурными константами.

Групповые свойства являются сильными ограничениями на возможный вид преобразований. Например, в одномерном случае наиболее общее преобразование, образующее группу, имеет дробно-линейный вид:

(EQN)

Трансляция и масштабирование являются его частными случаями. В качестве упражнения стоит проверить, что оно удовлетворяет условиям (), (), и найти функцию . Вторым упражнением является проверка того, что преобразование не удовлетворяет (), и, следовательно, не является группой.

Заметим, что всегда можно провести замену координат и переопределить параметры группы . Так, переход от декартовых координат к полярным , группу 2-мерных поворотов делает трансляционной:

Аналогично, заменой масштабирование превращается в трансляционное преобразование .

Поэтому, говоря о единственности дробно-линейных преобразований для , на самом деле, подразумевается более общее преобразование:

и аналогично, для переопределения параметров группы .

Рассмотрим произвольное, бесконечно - малое преобразование, разложив его в ряд Тейлора по параметрам :

(EQN)

Величины называются касательными векторами, так как они касаются кривой (поверхности и т.д.) при бесконечно малом изменении параметров . Действительно, разница между двумя соседними точками (сдвиг) на кривой или поверхности равна: .

Аналогично, закон композиции можно разложить в ряд по первому аргументу (параметры второго преобразования):

(EQN)

Так как при малых параметрах преобразования и для справедливо разложение (), то функция ( — символ Кронекера) имеет следующие значения:

(EQN)

Функции и , как и структурные константы , играют важную роль в теории нелинейных непрерывных групп.

Возьмём производную по от закона композиции преобразований:

и приравняем . Левая часть по определению () равна , а производная правой берётся как от сложной функции:

Таким образом, функция удовлетворяет дифференциальному уравнению:

(EQN)

Если функции одной (векторной) переменной и известны, то решение этого уравнения с начальным условием позволяет восстановить зависимость функции двух переменных .

Найдём уравнение которому удовлетворяют касательные векторы . Возьмём производную () по и положим :

где мы воспользовались определением () и значениями (). Переставим местами индексы , и вычтем из исходного уравнения. Учитывая, что вторая производная по и симметрична, получаем:

(EQN)

где и - структурные константы группы.

Перепишем () в операторной форме при помощи величин:

(EQN)

которые удовлетворяют алгебре Ли:

(EQN)

где как и раньше коммутатор операторов. Действительно, так как операторы, соотношение () понимается в смысле его действия на произвольную функцию :

где раскрыта производная произведения и учтены уравнения ().

Рассмотрим в качестве примера группу масштабирования и сдвига одномерного пространства . В этом случае, в соответствии с (), касательные векторы равны и (индекса нет, так это одномерный случай). Поэтому генераторы группы имеют вид:

Вычислим их коммутатор:

Таким образом

(EQN)

и не нулевые структурные константы равны .

В качестве упражнения (\,H), предлагается найти генераторы и структурные константы для дробно-линейной группы (), стр.\,\pageref{group_1D_drlin}.

Функция композиции также как и удовлетворяет определённым дифференциальным уравнениям. Их вывод полностью аналогичен выводу уравнений для и . Вообще, параметрическую композицию можно рассматривать как преобразование задающее некоторую кривую в параметрическом пространстве начинающуюся в точке при изменении парамера .

Запишем для закона композиции свойство ассоциативности:

возьмём его производную по и приравняем . Учитывая определение (), имеем

Поэтому уравнение для функции имеет вид:

(EQN)

Для получения дифференциальных ограничений на функции возьмём производную этого уравнения по и положим . Учитывая () имеем:

Sym tbl11.png

Переставив индексы и , и вычтя из исходного уравнения, получим:

(EQN)

где . Взяв производную по и положив , можно снова прийти к тождеством Якоби для структурных констант () стр.\,\pageref{group_jacobi}.

При известных структурных константах , решение уравнения () даёт функцию . С её помощью далее решается уравнение () и находится функция композиции .

В случае трансляций и масштабирования одномерного пространства закон композиции имеет вид (функция и параметры имеют 2 компоненты и индексы опущены вниз):

(EQN)

Следовательно, , а остальные коэффициенты равны нулю. Поэтому, ненулевая структурная константа равна , что и было получено выше ().

Иногда удачный выбор способа параметризации группы существенно упрощает групповое преобразование. Рассмотрим случай однопараметрической группы . В этом случае структурные константы равны нулю. Уравнение () для функции тождественно выполняется, а уравнение () для имеет вид:

Интегрируя его с "начальным" условием , получаем:

где . Таким образом, с точностью до переопределения параметров однопараметрическое преобразование должно иметь аддитивный закон композиции . Для трансляции и поворотов в плоскости это очевидно, а для преобразования масштабирования в виде имеем . Параметризация при которой называется канонической.

Функция координат называется инвариантом группы, если её функциональная зависимость не изменяется при групповом преобразовании и, следовательно, не зависит от . Поэтому производная по в нуле должна равняться нулю:

Справедливо и обратное утверждение: если некоторая функция удовлетворяет уравнениям , то она будет инвариантной относительно группы определяемой генераторами .

Для однопараметрической группы генератор один. В -мерном пространстве уравнение является уравнением первого порядка в частных производных. В соответствии с методом характеристик оно решается при помощи системы обыкновенных дифференциальных уравнений:

Эта система имеет интегралов , ..., . Общее решение уравнения будет иметь вид , где - произвольная функция аргументов. Функции , называются базовыми инвариантами. Произвольный инвариант является их функцией. В качестве упражнения, предлагается найти инварианты 1-параметрической группы масштабирования 2-мерного пространства , (\,H) и группы (\,H).


Группа Пуанкаре << Оглавление (Последняя версия в: Глава 6) >> Эрлангенская программа

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии