Нелинейная электродинамика

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
Самодействие электрона << Оглавление (Последняя версия в: Глава 7) >> Солитоны

Одним из основных принципов, который мы использовали для построения электродинамики, был принцип суперпозиции. Если он выполняется, то уравнения электромагнитного поля должны быть линейными, а лагранжиан квадратичен по полям. Линейность уравнений, в свою очередь, приводит к сингулярной кулоновской силе для точечного заряда. Если отказаться от линейности, то можно построить теорию электромагнетизма в которой на малых расстояниях от заряда сингулярности не будет. Было предложено достаточно много подобных теорий. Основным стимулом к их развитию было желание построить теорию конечной электромагнитной массы электрона.

Как только мы допускаем нелинейность уравнений поля, возникает существенный произвол в выборе лагранжиана. Единственными ограничивающими принципами остаются релятивистская и калибровочная инвариантность теории. Для калибровочно инвариантных напряженностей , существует два скаляра от которых может зависеть лагранжиан: и , где — дуальный тензор к , см. (), стр.\,\pageref{field_starFdef}. Так как теория Максвелла имеет многочисленные экспериментальные подтверждения, нелинейная теория должна зависеть от некоторой фундаментальной константы, малые значения которой соответствуют линейным уравнениям обычной электродинамики.

Первая нелинейная теория была построена Густавом Ми в 1912 г. Её лагранжиан зависел от потенциалов (был калибровочно неинвариантен). Калибровочно инвариантную теорию предложил Макс Борн (1934 г.):

(EQN)

где фундаментальная постоянная, и приближенное равенство, совпадающее с лагранжианом (), стр.\,\pageref{fld_lagrangina_elm_fld}, записано в пределе .

Наличие в лагранжиане корня от полей вида приводит к тому, что, например, в случае электростатики () электрическое поле , что, как мы увидим, снимает сингулярность поля точечного заряда. Возможной мотивацией в выборе такой нелинейности может быть аналогия с лагранжианом свободной частицы , где в качестве скорости выступает . Аналогичное ограничение на магнитное поле возникает в нелинейной теории Шрёдингера с лагранжианом .

Еще один вариант, использующий оба инварианта, был рассмотрен Борном и Инфельдом:

(EQN)

Выбор такой комбинации инвариантов связан со значением (\,H) определителя матрицы , который называют "объемом" тензора :

Поэтому лагранжиан () можно записать в следующем изящном виде:

Рассмотрим случай электростатики с , при наличии точечного заряда. Если считать, что взаимодействие токов с потенциалами остается линейным, то к лагранжиану необходимо добавить член (см. стр.\,\pageref{fld_lagrangina_elm_fld}). В итоге, для теорий () и () имеем:

где предполагается, что плотность точечного заряда описывается дельта-функцией Дирака. Так как производная по времени равна нулю (статика), уравнения Лагранжа имеют вид:

Беря производные лагранжиана, получаем уравнение:

(EQN)

Если обозначить выражение в квадратных скобках через , то получается уравнение Гаусса с решением , поэтому:

Возводя в квадрат и находя , окончательно получаем:

(EQN)

где — единичный вектор и . Модуль напряженности электрического поля остается конечным при , а при получается кулоновское выражение.

Так как лагранжиан свободного поля () отличается от лагранжиана теории Максвелла, то, естественно, изменятся и выражения для плотности энергии и импульса электромагнитного поля. Найдем тензор энергии-импульса в нелинейной электродинамике. Для этого удобно \cite{IvanenkoSokolov1951}, дополнительно к , ввести еще один антисимметричный тензор:

Его антисимметричность следует из того, что лагранжиан зависит от инвариантов, производные от которых по антисимметричны:

При помощи тензора уравнения Лагранжа для записываются также как и в линейной электродинамике:

а канонический тензор энергии импульса (), стр.\,\pageref{canon_stres_ten_em2} имеет вид:

Для электродинамики Максвелла . В нелинейной теории связь между тензорами более сложная. Для симметризации тензора энергии-импульса свободного поля, из него необходимо вычесть производную , которая тождественно удовлетворяет уравнению непрерывности. Учитывая уравнения движения с , имеем (см.стр.\,\pageref{tensor_en_mom_eld_sym}) и, следовательно, симметричный, калибровочно инвариантный тензор энергии-импульса равен:

(EQN)

В частности, плотности энергии и импульса равны:

где компоненты тензора определяются двумя 3-векторами:

которые являются аналогами электрического и магнитного поля.

В случае электростатики () имеем:

Выше мы нашли, что для точечного заряда электрическое поле и вектор [см. ()] равны:

(EQN)

Подставляя эти выражения в плотность энергии, получаем:

Интеграл этого выражения по всему объему в сферических координатах , дает полную энергию поля (массу):

где сделана замена . Получившийся интеграл удобно записать в виде разницы двух интегралов:

(EQN)

Второй интеграл равен . Чтобы это доказать, необходимо дважды проинтегрировать по частям. Первый раз вносим под дифференциал: , а второй раз вносим :

Интеграл выражается через гамма-функцию и имеет приближенное значение . Соответственно . Параметр — это характерное расстояние, определяющее масштаб на котором начинают сказываться эффекты теории. На расстояниях от заряда справедлив закон Кулона и линейная теория Максвелла. При закон Кулона модифицируется и существенными становятся нелинейные эффекты. Этот же параметр определяет величину энергии поля точечного заряда. Если вся масса электрона имеет электромагнитное происхождение, то соответствует классическому радиусу электрона (с точностью до множителя 1.23605...).

Снятие сингулярности электрического поля приводит к тому, что тензор энергии-импульса поля движущегося заряда сохраняется сам по себе и, следовательно, в нелинейной теории не возникает "проблемы 3/4". Проведем соответствующие вычисления.

Ковариантное обобщение полученных выше тензоров напряженностей электромагнитного поля для точечного заряда имеет следующий вид:

где обозначения соответствуют странице \pageref{fld_A_F_point_Q} и для краткости пишем (обратим внимание на то, что так как , то ). Действительно, тензор удовлетворяет обычному линейному уравнению Максвелла и совпадает с выражением (), стр.\,\pageref{fld_A_F_point_Q}, в котором регуляризацию делать уже не нужно. Сравнивая и из (), несложно по аналогии записать и выражение для (можно проделать его вывод строго, переходя при помощи преобразований Лоренца (),(), стр.\,\pageref{E_to_Ep} от и в "штрихованной" системе отсчета, связанной с зарядом, к системе в которой заряд движется со скоростью , см.стр.\,\pageref{elect_lorenz_vec0}).

Инварианты, от которых зависит лагранжиан равны:

Второе соотношение возникает в силу свертки антисимметричного тензора в определении с симметричными комбинациями типа . Поэтому для одиночного заряда, движущегося с постоянной скоростью лагранжианы () и () совпадают. Теперь несложно записать тензор энергии-импульса ():

Прямым вычислением, используя соотношения (), стр.\,\pageref{fld_34_partial}, можно проверить, что сохраняется:

и, следовательно, полученные с его помощью энергия и импульс поля (интегральные величины) будут правильно зависеть от скорости и связаны обычным релятивистским соотношением.

Запишем плотность энергии:

Обратим внимание на выражение в круглых скобках. При интегрировании каждое слагаемое в скобках по отдельности расходится и только их сумма дает конечный интеграл. Поэтому, замены, производимые при вычислении интеграла (), стр.\,\pageref{fld_34_int_1}, должны выполняться для всего выражения в скобках (это даст общий множитель ). В результате интегрирования, получаем полную энергию поля:

Делая замену и вводя интегралы (), находим электромагнитную массу поля:

Так как , масса постоянна и равна Аналогично, компоненты дают вектор плотности импульса:

интеграл от которой приводит к релятивистскому выражению .

Таким образом, нелинейная электродинамика с лагранжианом Борна-Инфельда имеет ряд привлекательных особенностей. В ней автоматически отсутствует сингулярность в законе Кулона, что приводит к конечной массе электромагнитного поля точечного заряда и верным выражениям для энергии и импульса поля (нет необходимости в компенсирующем тензоре энергии-импульса, который реализует натяжения Пуанкаре).

Тем не мене, не все так здорово. Во-первых лагранжиан выбран достаточно произвольно. Во-вторых рассмотренная выше теория, по всей видимости, противоречит опыту. Столкновения электронов с высокой энергией подтверждает справедливость закона Кулона на расстояниях существенно меньших классического радиуса . Это можно было бы объяснить наличием отрицательной неэлектромагнитной составляющей в массе электрона (для уменьшения параметра ). Однако это уже слишком большая плата за сохранение теории. Кроме этого точечность заряда электрона, сохраненная в теории, не выглядит вполне физичной.


Самодействие электрона << Оглавление (Последняя версия в: Глава 7) >> Солитоны

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии