Нежёсткая равноускоренная система отсчёта

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
Вращающаяся система отсчёта << Оглавление (Последняя версия в: Глава 4) >> Произвольные неинерциальные системы

Хорошо известно, что в обычном 3-мерном евклидовом пространстве мы должны различать геометрические и координатные величины. Точки пространства — это геометрические сущности, которые мы можем "нумеровать" при помощи различных координат (декартовой: , полярной , и т.д.). К геометрическим объектам относятся также расстояние между двумя точками и угол между прямыми. От выбора системы координат геометрические объекты не зависят.

При описании физики в псевдоевклидовом пространстве-времени Минковского ситуация полностью аналогична. Точки этого пространства (события) можно нумеровать при помощи произвольно выбранной четверки чисел , в которой число необязательно имеет смысл физического времени события в данной системе отсчета.

В этой главе нас интересуют неинерциальные системы отсчета и их связь с инерциальными. Для нумерации событий в инерциальной системе мы по-прежнему будем использовать физическое время и декартовы координаты . Четвёрку чисел будем называть лоренцевыми координатами. Интервал между двумя бесконечно близкими событиями в этих координатах имеет вид:

(EQN)
В неинерциальной системе отсчёта (НИСО) эти же события нумеруются при помощи четырех чисел . Будем считать, что — это номер фиксированной точки в 3-пространстве неинерциальной системы отсчета. Фиксированность не означает жесткости системы отсчета. Так, туча пчёл, разлетающихся по своим делам от улья образует систему отсчёта. С любой пчелой связан номер, состоящий из трех чисел . Сами по себе эти числа могут и не иметь простого геометрического смысла. Но главное, что они задают неизменный номер в системе пчел и однозначно характеризует данную пчелу (точку 3-пространства неинерциальной системы отсчета). В пространстве может быть множество наблюдателей, движущихся с различными скоростями относительно друг друга. Любое их подмножество можно назвать системой отсчёта. При такой общей точки зрения на системы отсчёта, выбор наблюдателей, которые связаны с данной системой достаточно произволен. По определению:
система отсчета — это множество наблюдателей непрерывно заполняющих пространство, умеющих измерять время и расстояние в своей непосредственной окрестности.

Удобно определять неинерциальную систему отсчета, задавая траектории движения всех её точек относительно инерциальной (лабораторной) системы. Рассмотрим, например, нежесткую равноускоренную систему отсчета, которая имеет одинаковые траектории движения каждой своей точки относительно лабораторной системы. Соответствующее координатное преобразование можно записать следующим образом:

(EQN)

где — координата (номер) фиксированной точки НИСО, а — время и координата этой же точки в лабораторной системе. Обратим внимание, что в () параметр является константой, которая находится из начального условия Значение константы определяет фиксированную точку НИСО. Рассматривая все точки НИСО, мы уже считаем переменной величиной, а () становится координатным преобразованием между двумя системами отсчета. Величины имеют ясный физический смысл, тогда как смысл координаты ещё необходимо установить. Последнее означает, что число требуется связать с конкретными измерительными процедурами, проводимыми некоторым наблюдателем. Этот наблюдатель, например, может находиться в начале НИСО, имея координату . Важно помнить, что такой наблюдатель не "размазан" по всему пространству, а находится в конкретной его точке. Он измеряет время, расстояние и скорость в своей непосредственной окрестности. Информацию об удаленном событии, произошедшем в точке с координатой он может получать только при помощи некоторых сигналов (например, световых).

Для дальнейших построений нам необходимо иметь явный вид интервала в координатах неинерциального наблюдателя. Для этого, кроме координатного преобразования (), потребуется связь времен событий. Аналогично пространственным координатам, для нумерации времени события можно использовать достаточно произвольные числа . Будем предполагать, что они упорядочены так, что меньшим значениям соответствуют более ранние события. В качестве такого времени можно выбрать, например, собственное время часов, движущихся по траектории () и оказавшихся в момент времени в окрестности события:

(EQN)

Это соотношение связывает время , прошедшее у наблюдателя после начала его ускорения (см.\,стр.\,\pageref{time_del_acsel0}). Оно сравнивается с временем , которое показывают синхронизированные часы, расставленные вдоль траектории движения в инерциальной системе отсчета.

Таким образом, преобразования от лоренцевых координат инерциальной системы отсчета к координатам нежёсткой равноускоренной системы отсчета имеют вид:

(EQN)

Подставляя их в интервал (), получаем \cite{Logunov1987}:

(EQN)

В инерциальной системе отсчета интервал физического времени , измеряемый одними часами равен интервалу между событиями, происходящими в одной точке пространства системы . Аналогично, в произвольной системе отсчета собственным физическим временем данной точки системы назовем интервал между событиями, происходящими в этой точке . Для метрики () физическое время совпадает с координатным , так как в () в качестве выбрано собственное время наблюдателя ().

Подчеркнем, что это "тик" на часах, расположенных в фиксированной точке . Эти часы находятся у наблюдателя в этой точке и именно он непосредственно измеряет этот тик. Как может узнать время на этих часах (а, следовательно, время события в их окрестности) наблюдатель находящийся, например, в начале координат? Только при помощи получения светового (или иного) сигнала от удаленных часов с последующей корректировкой на время распространения сигнала. Как в инерциальных, так и в неинерциальных системах отсчета, события, связанные с распространением света, имеют нулевой интервал . Это условие для метрики () приводит к дифференциальному уравнению, определяющему траекторию светового импульса распространяющегося параллельно оси (мимо наблюдателей НИСО с ):

Выделяя полный квадрат, несложно получить:

(EQN)

Решение этого дифференциального уравнения имеет вид:

(EQN)

где — константа интегрирования, а знаки соответствуют направлению движения импульса (минус — координата увеличивается при движении (), а плюс — уменьшается).

Рассмотрим в координатах радиолокационный эксперимент, проводимый наблюдателем, находящимся в точке с координатой . В момент времени он отправляет световой импульс, который достигает в момент времени точку с координатой , где отражается и возвращается обратно в момент времени . Для определения константы в траектории () при движении импульса от наблюдателя мы выберем начальное условие , а при движении в обратную сторону :

Nonin light x.png

В точке отражения , поэтому:

(EQN)

Исключая , находим радиолокационное расстояние:

(EQN)

где приближенное равенство записано для малых . Зная и наблюдатель в начале системы может определить координату точки отражения сигнала . Из () следует, что радиолокационное расстояние к фиксированной точке такой равноускоренной системы меняется со временем (зависит от ). Поэтому систему () мы и называем нежесткой равноускоренной системой. Физика в этой системе отличается от физики в жесткой равноускоренной системе, рассмотренной в первом разделе.

Аналогично находится частота сигнала, получаемого от удаленного источника. Дифференцируя второе уравнение () и исключая , имеем:

Интервалы времени и — это периоды излучения и приема сигналов по различным часам наблюдателей, находящихся в точках и . Отношение этих периодов зависит от координаты и меняется со временем приёма сигнала .

Обратим внимание, что функция в () подразумевает, что вдоль траектории движения светового импульса находятся наблюдатели НИСО. У каждого из них есть часы, измеряющие собственное время c нулевым отсчетом в момент начала ускорения. Однако координата , вообще говоря, не является физическим расстоянием, поэтому координатная скорость света () отлична от единицы.


Вращающаяся система отсчёта << Оглавление (Последняя версия в: Глава 4) >> Произвольные неинерциальные системы

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии