Линейные преобразования

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
Представления групп << Оглавление (Последняя версия в: Глава 6) >> Группы O(3) и SO(3)

При описании симметрий пространства и времени важную роль играют бесконечные непрерывные группы, элементы которых нумеруются одним или несколькими непрерывными параметрами. Такие группы называются параметрическими или группами Ли. Важным подмножеством этих групп являются линейные преобразования.

Рассмотрим вектор величин , которые будем называть координатами, и набор параметров , определяющих линейное преобразование, которое мы запишем в матричном виде:

По повторяющемуся индексу предполагается суммирование от 1 до , знак которого не приводится. Для нумерации параметров мы используем верхние индексы, а для координат — нижние. Примером подобных преобразований являются 2-мерные повороты на угол (стр.\,\pageref{sec_space-time}):

Rotate so2.png

Последовательность матричных преобразований снова является матричным преобразованием. Например, если от координат мы переходим к , а затем к , это можно записать в виде одной матрицы:

Если вектор представлен в виде столбика, то матрица на него действует слева направо. Поэтому в композиции преобразований крайняя справа матрица является первым преобразованием, а крайняя слева — последним (порядок матриц обратный по сравнению с порядком преобразований и умножением элементов абстрактных групп).

По определению, матричное умножение обладает ассоциативностью. Групповое преобразование замкнуто. Это означает, что если и два последовательных преобразования (композиция) с параметрами и , то их матричное умножение также будет преобразованием с параметром . Единице группы соответствует единичная матрица с единицами на диагонали и нулями для других элементов. Кроме этого мы требуем, чтобы матрицы были несингулярными () и каждая из них имела обратную. Заметим, что подходящим выбором способа параметризации всегда можно добиться чтобы значение соответствовало единичному преобразованию: .

И так, множество несингулярных матриц данной размерности x образуют группу. Если коэффициенты матриц являются комплексными числами, то такая группа обозначается следующим образом: . Подгруппой этой группы будет множество матриц с действительными коэффициентами: . Буквы в названии имеют следующий смысл: — group, — linear, — complex, — real. (n,C)}

Обычно на матрицы накладываются те или иные условия, что сужает их множество. Если внутри этого множества выполняются групповые аксиомы, то снова получается некоторая подгруппа группы .

Группа (унитарная группа) — это множество унитарных матриц x, для которых выполняется условие:

где — эрмитово сопряжение (транспонирование матрицы и взятие комплексного сопряжения: ). Стоит проверить (\,H), что унитарные матрицы образуют группу. Эта группа преобразований сохраняет норму вектора: если то , где . Так как определитель при транспонировании не меняется, а определитель произведения матриц равен произведению их определителей, то или .

Группа (специальная унитарная группа) (n)$} — подгруппа всех унитарных матриц, имеющих единичный определитель:

Группа (ортогональная группа — это множество действительных ортогональных матриц x, для которых выполняется условие:

Она является частным случаем (подгруппой) унитарной группы. Ортогональные матрицы сохраняют длину вектора на который они действуют. Для ортогональных матриц или .

Группа (специальная ортогональная группа) (n)$} — подгруппа всех ортогональных матриц, с единичным определителем:

Заметим, что матрицы с образуют группу, тогда как множество матриц с группой не являются. Действительно, их произведение будет давать матрицу с единичным определителем и следовательно не сохраняет свойства .

Так как последовательные матричные преобразования , снова приводят к преобразованию, то существует некоторая функция, при помощи которой можно получить значения итоговых параметров:

Такая функция композиции (сначала на , затем на ) удовлетворяет некоторым функциональным уравнениям. Так, из ассоциативности следует:

(EQN)

Единичное (при ) преобразование даёт:

(EQN)

Важную роль играет поведение функции в окрестности единичного преобразования (нулевого параметра ). Разложим в ряд Тейлора (по повторяющимся индексам суммирование от 1 до ):

где верхний индекс является не степенью, а номером параметра. Для первых двух слагаемых разложения сразу учтено условие (). Сохраняя порядок малости, подставим это разложение в уравнение ассоциативности (). Чтобы не погрязнуть в индексах опустим их, представив всё в "матричной" форме, и, сохраняя второй порядок малости, получим:

или ещё раз раскладывая функцию:

Члены линейные по параметрам, и пропорциональные успешно сокращаются, чего нельзя сказать о членах с и . Поэтому условие ассоциативности при любых , и выполняется только при , , и, следовательно, в окрестности нуля:

(EQN)

Антисимметричные по нижним индексам коэффициенты:

(EQN)

называют структурными константами. Они играют фундаментальную роль в теории групп Ли.

Разложим матрицу в окрестности единичного преобразования:

где по повторяющимся индексам проводится суммирование. Обратим внимание, что нижние индексы у матриц , — это их номера, а не элементы матриц! Для первого порядка малости по нам необходимо матриц , где — число параметров. Для следующего члена разложения требуется уже матриц , однако благодаря симметричному тензору , на самом деле этих матриц , так как . Для последовательности двух преобразований имеем:

Перемножим скобки с сохранением порядка малости по и :

С другой стороны, результат умножения равен , поэтому, подставляя разложение (), имеем:

Сравнивая , полученные двумя способами находим (\,H):

Запишем это же уравнение с переставленными индексами , , и вычтем его из исходного. Так как матрицы по и симметричны, то:

(EQN)

где - структурные константы, и квадратные скобки являются коммутатором матриц: .

Матрицы ,..., называют генераторами группы, а систему матричных уравнений () — алгеброй Ли. Слово алгебра происходит из того, что операция коммутирования двум матрицам ставит в соответствие третью. Эта третья матрица для параметрических групп всегда является линейной комбинацией генераторов с множителями равными структурным константам.

В качестве упражнения предлагается записать генератор однопараметрической группы поворотов в плоскости (стр.\,\pageref{sym_rot_so2}) и найти результат бесконечного произведения преобразований, соответствующих бесконечно малому параметру (\,H).

Иногда при вычислении коммутаторов удобно использовать не матрицы, а дифференциальные операторы. Введем инфинитезимальные операторы связанные с матричными генераторами следующим образом:

(EQN)

где — матричные элементы -того генератора, а — частная производная. Если преобразование записать в виде

то оператор выражается через производную функции преобразования в окрестности единичного преобразования следующим образом: .

Для операторов, как и для матриц, можно записывать коммутационные соотношения. Предполагается, что любое операторное выражение действует на некоторую функцию координат , поэтому:

Убедимся, что операторная алгебра имеет такие же структурные константы, что и матричная. Подставляя в коммутатор соотношение () и вынося не зависящие от координат коэффициенты, имеем:

Производные действуют на всё, что стоит справа, поэтому, например, для первого слагаемого, вычисляя производную произведения, имеем:

— символ Кронекера (частная производная по различным координатам равна нулю: , а по совпадающим единице: ). Аналогично берется производная произведения для второго слагаемого. Члены со вторыми производными сокращаются, поэтому:

где переставлены матричные элементы и проведена свёртка с символами Кронекера. Переименовывая индексы, получаем:

Таким образом, коммутатор операторов инфинитезимальных преобразований, равен свертке операторов со структурными константами:

где опущена произвольная функция .

Коммутатор можно рассматривать как бинарную функцию (зависящую от двух матриц), которая дает новую матрицу. Если матрицы перестановочны , то говорят, что они коммутируют. Для таких матриц коммутатор равен нулю (нулевой матрице).

Непосредственно используя определение коммутатора, несложно проверить, что для любых матриц он антисимметричен и линеен (\,H):

(EQN)

Кроме этого, для любых трёх матриц и справедлива формула "произведения" (\,H):

(EQN)

Наконец, для произвольных трех матриц выполняется тождество Якоби для "вложенных" коммутаторов (\,H):

Подставляя в тождество Якоби , , и дважды применяя алгебру Ли (), можно получить соотношение

(EQN)

называемое тождеством Якоби для структурных констант. В нём происходит циклическая перестановка индексов (, а по — суммирование.

В заключение сделаем замечание технического характера. Линейные преобразования можно также записывать, умножая строку координат справа на матрицу:

В этом случае порядок преобразований и умножений матриц будет совпадать (сначала , затем ). При такой записи матрицы (и соответственно) генераторы будут транспонированными по сравнению с принятым выше ( ). При транспонировании матрицы меняются местами, и знак коммутатора изменяется . Если по-прежнему , то алгебра Ли останется без изменений (см.вывод на стр.\,\pageref{mat_group_generator_algebra}). Поэтому для транспонированных генераторов структурные константы будут иметь обратный знак по сравнению с принятым в этом разделе. Несложно также проверить, что переставляются индексы и исчезает минус в операторной записи генератора: .


Представления групп << Оглавление (Последняя версия в: Глава 6) >> Группы O(3) и SO(3)

Релятивистский мир - лекции по теории относительности, гравитации и космологии