Как решать стохастические задачи?

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
Некоторые точные решения << Оглавление >> Теория броуновского движения


Подведём итоги рассмотренных выше методов анализа стохастических задач. Основными математическими инструментами описания эволюции системы, при воздействии на неё случайных факторов, являются стохастическое дифференциальное уравнение и уравнение Фоккера-Планка. Обычно именно стохастическое уравнение будет исходным, так как оно оперирует терминами изменения наблюдаемых переменных состояния системы (координата, импульс, количество особей, цена и т.п.). Часто стохастическое дифференциальное уравнение является естественным обобщением уже известного детерминированного уравнения эволюции системы, к которому добавляется член шумового воздействия, пропорциональный .

Функции сноса и волатильности стохастического уравнения вместе с начальными и граничными условиями полностью задают изучаемую систему. В качестве начальных условий может быть выбрано конкретное значение переменных состояния в момент времени , или некоторая их плотность вероятности . Знание сноса и волатильности позволяет легко записать уравнение Фоккера-Планка, которое обычно оказывается более удобным при наличии граничных условий.

Когда стохастическое описание применяется к реальной (естественной или искусственной) системе, важно понимать порядок значений параметров, входящих в функции сноса и волатильности. Возможно, некоторыми членами в уравнении можно пренебречь или рассматривать их как поправки к более простому уравнению. Аналогичным образом, необходимо понимать, является ли стохастика ведущим приближением в уравнении или небольшим возмущением детерминированного случая.

Часто при помощи скейлинговых замен и и соответствующего выбора констант и можно уменьшить число значимых параметров системы, сведя их к размерным величинам, характеризующим типичные масштабы времени и переменные состояния.

Полным решением стохастической задачи является марковская плотность вероятности . Она может быть задана в виде решения стохастического уравнения , выраженного через скалярную случайную переменную , или в явном виде, как функция, удовлетворяющая уравнению Фоккера - Планка. Знание плотности вероятности позволяет находить различные интегральные величины — среднее значение, волатильность, автоковариацию и т.п. Иногда именно они интересуют исследователя, а не полная плотность вероятности.

Перечислим некоторые приёмы, позволяющие получить информацию об изучаемой стохастической системе

Если задача допускает точное решение, то иногда его можно найти непосредственно из стохастического уравнения. Для этого служит алгоритм на стр. \pageref{ito_main_def_sol}.

При помощи формулы Ито и подходящей замены функций можно попытаться свести исходное уравнение к другому, точное или приближённое решение которого получить проще. В частности, всегда возможно изменить функциональную зависимость волатильности шума, изменяя при этом, естественно, и снос уравнения

Если система при длительной эволюции выходит на стационарное решение, то его удобно получать при помощи стационарного уравнения Фоккера - Планка. Для одномерных задач при этом достаточно решить обыкновенное дифференциальное уравнение, которое обычно легко интегрируется. Стационарная плотность вероятности позволяет вычислить асимптотические средние значения наблюдаемых величин.

При помощи динамических уравнений для средних можно получать важные соотношения между наблюдаемыми величинами. Иногда удаётся найти явное изменение во времени или стационарное решение, когда все или часть средних величин перестала изменяться. В последнем случае можно получить промежуточное между стационарным и динамическим решением. При этом одни переменные состояния являются константами, а эволюция других в этом пределе упрощается.

Выявление особых точек, в которых снос обращается в ноль, и линеаризация уравнений в их окрестности даёт важную качественную информацию о характере решений (см. ниже). При этом необходимо провести анализ возможных бифуркаций системы при изменении значений её параметров. Вообще, решение детерминированного уравнения обычно должно предшествовать анализу более сложной стохастической задачи.

Если в задаче есть граничные условия, то плотность вероятности можно представить в виде ряда по ортогональному базису собственных функций (стр. \pageref{sec_bounder_cond}).

Естественно, многие практически интересные задачи не позволяют получить точного решения. В этом случае на помощь приходят приближенные или численные методы, которые мы рассмотрим в девятой главе.

Как и в детерминированном, случае важно уметь понимать характер поведения решения системы стохастических уравнений, не решая их непосредственно. Рассмотрим в качестве примера двумерную задачу с уравнениями:

По индексу предполагается суммирование от единицы до двух, а компоненты вектора являются независимыми бесконечно малыми изменениями винеровского процесса.

Предположим, что в некоторой точке , сносы обоих уравнений обращаются в ноль:

Такая точка называется особой. Имеет смысл выяснить поведение решения в её окрестности. Для этого функции , разложим в ряд Тейлора до слагаемых первого порядка малости по отклонениям от особой точки , . Для матрицы волатильности возьмём нулевое приближение, вычислив её значение в особой точке:

где константа — это частная производная , вычисленная в особой точке , и аналогично , , . Если изучить поведение решений этих уравнений, мы поймём, как ведут себя в окрестности особой точки (при малых отклонениях от неё , ) и решения общего уравнения. Подобное линейное уравнение мы рассматривали в разделе , стр. \pageref{sec_line_n_dim_models}.

Уравнения для среднего совпадают с детерминированными уравнениями. Их решение можно искать в виде , , где параметр удовлетворяет характеристическому уравнению:

Это квадратное относительно уравнение имеет два решения , .

Пример подобного качественного анализа системы уравнений мы рассмотрим в седьмой главе в рамках модели "Охотник - Жертва" (стр. \pageref{predator_prey}), а пока приведём классификацию особых точек в двумерном случае.

Возможны следующие случаи:

, устойчивый узел, к которому решение стремится и в котором может находиться сколь угодно долго. При небольших отклонениях от особой точки отрицательный снос будет возвращать обратно. Естественно, как положение равновесия, так и возврат к нему имеют нерегулярный, стохастический характер. В частности, стохастика может вытолкнуть решение из окрестности особой точки, уведя его в другую часть пространства переменных состояния.

, неустойчивый узел, который решение покидает при любом малом возмущении, которых в стохастическом мире достаточно. Если предыдущий случай можно представлять как движение в потенциале в виде двухмерного параболоида, то в этом случае параболоид перевёрнут, и решение охотно с него соскальзывает, удаляясь от особой точки.

— комбинация двух предыдущих случаев, называемая седлом. В зависимости от значений параметров , это седло определённым образом повёрнуто в пространстве . Вдоль одного направления ("оси лошади") небольшие отклонения будут возвращать решение обратно к особой точке. "Перпендикулярно лошади" находится направление наибольшей неустойчивости.

. Если , то это затухающий колебательный режим, называющийся фокусом. При колебания самовозбуждаются. Если , то в системе возникают незатухающие колебания с частотой (центр). Как мы видели выше, в стохастическом случае даже при движение полностью не останавливается и происходит квазипериодическое колебание вокруг особой точки.

Необходимо помнить, что анализ решения в окрестности особой в линейном приближении будет корректен только в случае небольшой волатильности. При анализе и стационарного уравнения Фоккера-Планка мы видели, что асимптотически точное решение (3.13), для средних совпадает с линейным приближением только в пределе малых волатильностей . Это же справедливо и для многомерного случая.

Различные типы особых точек обладают качественно различным поведением решения в их окрестности. Если мы начнём медленно изменять параметры системы, то в какой-то момент она скачком может перейти из одного типа решения в другой. Говорят, что при этом произошла бифуркация, перестройка решения. Анализ подобных возможностей в изучаемых системах исключительно важен.


Некоторые точные решения << Оглавление >> Теория броуновского движения

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения