Интегрирование стохастических уравнений

Материал из synset
Перейти к: навигация, поиск
Квадратичный функционал << Оглавление >> Единственность решений


Стохастические интегралы являются традиционным способом записи решения стохастических дифференциальных уравнений. "Проинтегрировав" уравнение

можно записать:

(5.22)

Пределы интегрирования выбраны таким образом, чтобы автоматически выполнялось начальное условие . На самом деле (5.22), конечно, не решение, а интегральное уравнение, которое обычно решить сложнее, чем исходное дифференциальное.

При формальном обосновании стохастических уравнений сначала определяется стохастическое интегрирование, затем записывается интегральное уравнение, и только после этого рассматриваются дифференциальные уравнения. Мы в этой книге приняли обратную форму изложения.

Если снос и волатильность не зависят от , то интегральное уравнение оказывается решением нестационарного винеровского блуждания:

Как мы знаем из (5.12), этот интеграл выражается через скалярную гауссову величину :

и, следовательно, сводится к обычным детерминированным интегралам. Естественно, чтобы вычислить, например, корреляцию с порождающим винеровским блужданием, необходимо учесть, что в данном случае:

Поэтому в решении и в записи винеровского процесса являются различными скоррелированными случайными числами.

Иногда простыми заменами можно устранить зависимость в уравнении от , тем самым превратив интегральное уравнение в решение задачи. Рассмотрим в качестве примера уравнение Орнштейна-Уленбека:

Сделаем в нём замену переменных . В силу леммы Ито новый процесс удовлетворяет следующему уравнению:

Отсюда решение исходного уравнения имеет вид:

Обычно это решение в таком виде и остаётся, а вычисление средних проводится по формулам, подобным (5.13). Так как среднее стохастического интеграла по равно нулю, то для среднего значения процесса Орнштейна - Уленбека имеем:

Дисперсия процесса равняется:

Ito eq06.png

Для вычисления среднего необходимо воспользоваться (5.13):

Удобнее, конечно, при помощи (5.12) сразу записать решение через гауссову переменную , а затем вычислять средние.

В следующей главе (стр. \pageref{int_logistic_from_ito_N}) при помощи многомерной версии леммы Ито мы получим интегральное представление решения логистического уравнения и уравнения с линейным по сносом и волатильностью.

Стохастические интегралы — это очень изящная математическая конструкция. Однако до сих пор в этих лекциях мы их не использовали, получая решения уравнений другими методами. ( C).


Квадратичный функционал << Оглавление >> Единственность решений

Стохастический мир - простое введение в стохастические дифференциальные уравнения